高一数学必修第二册期末测评(二)

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解析 由函数y＝sin2x＋6π的图象向左平移1π2个单位，得到函数y＝sin2x＋π3的 图象，再将函数的图象的横坐标伸长为原来的2倍，即可得到函数f(x)＝sinx＋π3＝ cosx－π6的图象．故选D.
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6．若球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的
期末测评(二)
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时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i为虚数单位，复数z＝12－＋2ii，则下列命题正确的是( D ) A．z的共对应的点在第一象限 D．|z|＝1
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7．若θ为第二象限角，且tan(θ－π)＝－
1 2
，则
1＋1s－incθo－s θ32π的值是( B ) A．4
1 C.4
B．－4 D．－14
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1＋cos θ 1－sinπ2－θ
－
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解析 由tan(θ－π)＝－12，知tan θ＝－12，
原式＝
1＋cos 1－cos
截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为4 2 π，圆锥
的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为( B )
8π A. 3
B．323π
C．16π
D．32π
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解析 设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，若一个直角圆锥的侧面积为4 2
π，设母线为l，则l2＋l2＝4r2⇒l＝ 2r，所以直角圆锥的侧面积为S侧＝12×2πr·l＝12 ×2πr· 2r＝4 2π，可得r＝2，l＝ 2r＝2 2，圆锥的高BO1＝ l2－r2＝ 8－4＝2， 由r2＋(2－R)2＝R2，解得R＝2，所以球O的体积等于43πR3＝43π×8＝332π.故选B.
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11．设函数f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x，则下列结论正确的是( ABC ) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于直线x＝1π2对称 C．f(x)的一个零点为x＝π3 D．f(x)的最大值为 3＋1
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12．骑自行车的好处有很多，长时间骑自行车锻炼可以改善血管的弹性，减少 血管老化程度，还可以防止和治疗慢性疾病．如图是一品牌自行车结构示意图，已 知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为 3，△ABE，△BCE，△ECD均为边长为 3的等边三角形，其中A，E，D在同一水平面上，P为后轮上一点，则( ABD )
A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，n⊥α，则m⊥n C．若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交 D．若m⊥α，α∥β，则m⊥β
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解析 α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，对于A，若m⊂α，n⊂α，
m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若m∥α，n⊥α，则由线面垂 直的性质得m⊥n，故B正确；对于C，若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交 或平行，故C错误；对于D，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故D 正确．故选BD.
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二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知复数z满足z＝i(1＋i)(i为虚数单位)，则下列结论正确的是( BD )
A．z的虚部为i
B．|z|＝ 2
C. z ＝1＋i
θ－ θ
1－cos 1＋cos
θ＝ θ
11＋－ccooss2θθ2－
11－－ccooss2θθ2＝1＋sicnoθs θ－
1－cos sin θ
θ＝1＋sincoθs
θ－1－sincoθs
θ＝2scionsθθ＝tan2
θ＝－4.故选B.
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8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴
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解析 由∠B＝∠D＝90°，可知三棱锥P-ABC外接球的直径为AC，三棱锥
AB P-ABC外接球的半径R＝A2C＝cos260°＝2，故三棱锥P-ABC外接球的表面积S＝4πR2＝ 16π.由题意得点P到直线AC的距离d＝APsin 60°＝ 3，因为二面角B-AC-P的大小为 60°，所以点P到平面ABC的距离h＝dsin 60°＝32，故三棱锥P-ABC的体积V＝13S△ABCh ＝13×2×22 3×32＝ 3.
A.A→D＝－2a＋b B.A→D＝12a＋12b C.A→D＝13a＋23b D.A→D＝23a＋13b
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解析 ∵D→B＝－2D→C，向量A→B＝a，A→C＝b，∴A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋23B→C＝A→B ＋23(A→C－A→B)＝13A→B＋23A→C＝13a＋23b，故选C.
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5．把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 ，再把所得曲线向右平移 1π2 个单位长度，得到函数y＝sin2x＋6π的图象，则( D )
A．f(x)＝cos4x－π3 B．f(x)＝cosx＋3π C．f(x)＝cos4x＋6π D．f(x)＝cosx－π6
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四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤)
17．(10分)在①复平面上表示复数z的点在直线x－y＝0上；②z z ＝2(a>0)；③z(1
－i)>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
已知复数z＝a＋i(a∈R，i为虚数单位)，满足
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3．在空间中，“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的( A ) A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 根据题意，在空间中，若直线AB与CD没有公共点，则直线AB和CD平行
或异面，反之，若直线AB与CD异面，则直线AB与CD没有公共点．故“直线AB与 CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的必要不充分条件，故选A.
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解得m＝－2. 若选条件③， ∵z(1－i)＝(a＋i)(1－i)>0， ∴a＋1＋(1－a)i>0， ∴a＋1>0且1－a＝0， 故a＝1， 故z＝1＋i是实系数一元二次方程x2＋mx＋4＋m＝0的根，
．若z是实系数一元二次
方程x2＋mx＋4＋m＝0的根，求实数m的值．
(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
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解 若选条件①， ∵复平面上表示复数z＝a＋i的点为(a,1)， ∴a－1＝0，即a＝1， 故z＝1＋i是实系数一元二次方程x2＋mx＋4＋m＝0的根， 即(1＋i)2＋m(1＋i)＋4＋m＝0， 即2i＋m＋mi＋4＋m＝0， 故2＋m＝0且2m＋4＝0， 解得m＝－2.
t1a－n AtatnanABta－n B1＝1，∵C∈(0，π)，∴C＝π4，∴cos
C＝cosπ4＝
2 2.
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16．如图，在平面四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝AD＝ 2，将△ACD沿AC折起到△PAC的位置，此时二面角B-AC-P的大小为60°，连接BP， 则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 16π ；三棱锥P-ABC的体积为 3 .
A．|A→C|＝3 3 B.A→C·C→D＝0 C．当C→E∥D→P时，A→C·D→P＝9 2 3 D.A→C·C→P的最大值为9
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解析 如图，对于A，∵△ABE，△BCE，△ECD均为边长为3的等边三角形，
∴AC＝2AF＝2AEcos 30°＝2×3× 23＝3 3，∴A正确；对于B，∵△ABE，△ BCE，△ECD均为边长为3的等边三角形，∴AC⊥CD，∴A→C·C→D＝0，∴B正确；对 于C，∵C→E∥D→P，∴〈A→C，D→P〉＝30°或150°，∴A→C·D→P＝3 3× 3×cos 30°＝923 或A→C·D→P＝3 3× 3×cos 150°＝－923，∴C错误；对于D，如图，作平行CD的圆
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4．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，且β为第三象限角，则tan β＝( C )
4 A.3
B．45
3 C.4
D．35
解析 ∵sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35＝sin(α－β－α)＝－sin β，∴sin β＝
－35.结合β为第三象限角，∴cos β＝－ 1－sin2 β＝－45，则tan β＝csoins ββ＝34，故选C.
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解析 ∵z＝12－＋2ii＝12－＋2ii11＋＋22ii＝2－1－2＋2ii＋2 4i＝i，∴ z ＝－i，z的虚部为1，z 在复平面内对应的点在虚轴上，|z|＝1.故选D.
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2．在△ABC中，已知 D→B ＝－2 D→C ，若向量 A→B ＝a， A→C ＝b，则以下各式正确的 是( C )
D．z2为纯虚数
解析 z＝i(1＋i)＝－1＋i，对于A，z的虚部为1，故A错误；对于B，|z|＝
－12＋12＝ 2，故B正确；对于C， z ＝－1－i，故C错误；对于D，z2＝(－1＋i)2 ＝－2i为纯虚数，故D正确．故选BD.
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10．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列叙述正确的 是( BD )
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的切线HP交直线AC于点H，则CH＝DP＝r＝ 3，∵A→C·C→P＝|A→C|·(|C→P|cos〈A→C， C→P〉)＝3 3·(|C→P|cos〈A→C，C→P〉)，而|C→P|·cos〈A→C，C→P〉的最大值为图中CH线段 长，∴A→C·C→P的最大值为3 3× 3＝9，∴D正确．故选ABD.
两底面之间)，则圆台的体积为( A )
259π A. 3
B．373π
C．(25＋35 2)π
D．(25＋7 2)π
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解析 由题意得OA＝OB＝5，O1A＝3，O2B＝4，如图．
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则OO1＝ OA2－O1A2＝ 52－32＝4，OO2＝ OB2－O2B2＝ 52－42＝3，∴圆台 的高为O1O2＝4＋3＝7，∴圆台的体积为13×7×(9π＋12π＋16π)＝2539π.故选A.
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三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 173．e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1＋e2，b＝3e1＋4e2，则a在b上的投影数 量为 5 . 解析 因为e1，e2是互相垂直的单位向量，所以e1·e2＝0，则b2＝(3e1＋4e2)2＝9e21
＋24e1·e2＋16e22＝25，所以|b|＝5，而a·b＝(e1＋e2)·(3e1＋4e2)＝3e12＋7e1·e2＋4e22＝7， 所以a在b上的投影数量为ab·b ＝75.
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14．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，于 2022.2.4—2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．某公司设计了一 款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12 cm，则扇形的面积为 36 cm2.
解析 设扇形所在的圆的半径为r，则12＝2r，解得r＝6.则扇形的面积S＝12
×62×2＝36.
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2 15．在△ABC中，A，B为锐角，且(1－tan A)(1－tan B)＝2，则cos C＝ 2 .
解析 ∵(1－tan A)(1－tan B)＝2，整理可得
tan Atan B－1＝tan A＋tan B，∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－1t－antAan＋AttaannBB＝－
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若选条件②， ∵z＝a＋i，∴ z ＝a－i， ∴z z ＝a2＋1＝2， 又∵a>0，∴a＝1， 故z＝1＋i是实系数一元二次方程x2＋mx＋4＋m＝0的根， 即(1＋i)2＋m(1＋i)＋4＋m＝0， 即2i＋m＋mi＋4＋m＝0， 故2＋m＝0且2m＋4＝0，
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