2017-2018学年北京二中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京二中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.cos600°等于（）
A. 1
2B. 3
2
C. −3
2
D. −1
2
2.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）
A. 第一或第二象限角
B. 第二或第三象限角
C. 第三或第四象限角
D. 第一或第四象限角
3.终边在直线y=−3
3
x上的角的集合为（）
A. {α|α=k⋅360∘+120∘,k∈Z}
B. {α|α=k⋅360∘+150∘,k∈Z}
C. {α|α=k⋅180∘+120∘,k∈Z}
D. {α|α=k⋅180∘+150∘,k∈Z}
4.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于（）
A. a+b
B. −a−b
C. a−b
D. b−a
5.扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其中心角的弧度数是（）
A. 1或4
B. 1或2
C. 2或4
D. 1或5
6.如果cos(α+π
2)=−5
13
，α∈(π
2
，π)，那么tanα等于（）
A. −5
12B. 5
12
C. −12
5
D. 12
5
7.设a，b是不共线的两个向量，已知BA=a+2b，BC=4a−4b，CD=−a+
2b，则（）
A. A、B、D三点共线
B. A、C、D三点共线
C. A、B、C三点共线
D. B、C、D三点共线
8.函数f（x）=cos2x+2sin x的最小值和最大值分别为（）
A. −3，1
B. −2，2
C. −3，3
2D. −2，3
2
9.若θ∈[π
4，π
2
]，sin2θ=37
8
，则sinθ=（）
A. 3
5B. 4
5
C. 7
4
D. 3
4
10.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π
2
）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g （x）=sin2x的图象（）
A. 向左平移π
3
个单位长度 B. 向右平
移π
3
个单位长度
C. 向左平移π
6个单位长度 D. 向右平移π
6
个单位长度
11.已知函数y=sin x+a cos x的图象关于x=5π
3
对称，则函数y=a sin x+cos x的图象的一条对称轴是（）
A. x=11π
6B. x=2π
3
C. x=π
3
D. x=π
12.在△ABC中，若4a BC+2b CA+3c AB=0，则cos B等于（）
A. −11
24B. −29
36
C. 11
24
D. 29
36
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
13.函数y=tan（ 3x+π
3
）的定义域为______．
14.设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，−5)，且cosα=2
4
x，则sin x=______．
15.计算：sinπ
12-cosπ
12
=______．
16.已知tanα=2，则sinα−3cosα
sinα+cosα
=______，sin2α+2sinαcosα=______．
17.函数y=1−2cosx的单调增区间是______．
18.在△ABC中，a2+c2=b2+ac，tan A=3
4
，则B=______，tan C=______．
19.△ABC中，cosA=−1
7
，a=8，b=7，则c=______，△ABC外接圆半径为______．
20.已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于M(3π
4
，0)对称，在
区间[0，π
2
]上是单调函数，则φ=______，ω=______．
三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）
21.f（x）=3sinxcosx−cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和函数的对称中心；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间．
22.已知α为锐角，sin(α+π
3)=3
5
．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）求sin(2α+π
6
)的值．
23.在△ABC中，b cos C+c cos B=4a cos B．
（Ⅰ）求cos B；
（Ⅱ）若a+c=7，△ABC的面积为15，求b．
24.△ABC中，其内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）求函数y=7cos2B
2+4sin(B+π
4
)+42cos2B
2
的最大值及此时cos B；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：a+c≤3b．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：cos600°=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-，
故选：D．
由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】
解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0，
∴角θ是第三或第四象限角，
故选C．
根据cosθ•tanθ＜0和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角θ所在的象限．
本题的考点是三角函数值的符号判断，本题化简后能比较直接得出答案，一
般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断．
3.【答案】D
【解析】
解：当角的终边在第二象限时，
角的集合为{α|α=k•360°+150°，k∈Z}={α|α=2k•180°+150°，k∈Z}．
当角的终边在第四象限时，
角的集合为{α|α=k•360°+330°，k∈Z}={α|α=（2k+1）•180°+150°，k∈Z}．
∴终边在直线上的角的集合为
{α|α=2k•180°+150°，k∈Z}∪{α|α=（2k+1）•180°+150°，k∈Z}={α|α=k•180°+150°，k∈Z}．
故选：D．
分别写出终边在射线（x＜0）与射线（x＞0）上的角的集合，
取并集得答案．
本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查终边相同角的集合，是基础题．
4.【答案】B
【解析】
解：=-=--=-（）=，
故选：B．
利用减法的三角形法则可得答案．
本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题．
5.【答案】A
【解析】
解：设扇形的半径为r，弧长为l，
则由题意可得，
解得或，
当时，其中心角的弧度数α==4；
当时，其中心角的弧度数α==1
故选：A．
设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可得r和l的方程组，解方程组代入α=计算可得．
本题考查扇形的面积公式，涉及圆心角和弧长半径的关系，属基础题．
6.【答案】A
【解析】
解：，
可得sinα=，cosα=，
tanα=．
故选：A．
利用诱导公式求出正弦函数值，然后求解正切函数值即可．
本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
7.【答案】B
【解析】
解：∵，∴，
又，∴=．
∴A、C、D三点共线．
故选：B．
由已知可得，由共线向量基本定理得答案．
本题考查向量的加减法法则，考查平面向量共线的条件，是基础题．
8.【答案】C
【解析】
解：∵，
∴当时，，
当sinx=-1时，f min（x）=-3．
故选：C．
用二倍角公式把二倍角变为一倍角，得到关于sinx的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，解题时注意正弦的取值范围．
三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可
9.【答案】D
【解析】
解：由θ∈[，]，得2θ∈[，π]，又sin2θ=，
∴cos2θ=-=-，
∵cos2θ=1-2sin2θ，sinθ＞0，
∴sinθ==，
故选：D．
由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．
本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题，是中档题．
10.【答案】C
【解析】
解：由图可知，A=1，，
∴，即ω=2．
由五点作图的第三点可知，+φ=π，得φ=（|φ|＜），
则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．
∴为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．
由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案．
本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题．
11.【答案】A
【解析】
解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），（令tan∅=a）又
图象关于对称，
∴+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，
由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，
∴函数y=-sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=-）
其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，
即x=kπ+-θ
又tanθ=-，故θ=k1π-，k1∈z
故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k1）π++=（k-k1）π+，k-k1∈z，
当k-k1=1时，对称轴方程为x=
故选：A．
函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），tan∅=a又图象关于对称，
+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．
本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．
12.【答案】A
【解析】
解：在△ABC中，利用三角形法则：，
所以：，
整理得：，
所以：4a=3c=2b，
所以：．
故选：A．
直接利用向量的线性运算求出三角形的三边关系，进一步利用余弦定理求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算和余弦定理的应用．
13.【答案】{x|x≠kπ
3+π
18
}(k∈Z)
【解析】
解：函数有意义，则：，
据此可得：，
即函数的定义域为：．
故答案为：．
利用函数的解析式，使得求解正切的角的终边不落在y轴上即可，据此得到关于x的不等式，求解不等式即可求得最终结果．
本题考查了函数定义域的求解，正切函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
14.【答案】-10
4
【解析】
解：α为第四象限角，其终边上的一个点是，∴x＞0．
∵=，求得x=，
则sinx==-，
故答案为：-．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，从而求得sinx的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
15.【答案】-2
2
【解析】
解：sin-cos=×（sin cos-sin cos）=sin（-）=sin（-）
=-．
故答案为：-．
由特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值得解．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式在
三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】−1
3；8
5
【解析】
解：∵tanα=2，
∴=；
sin2α+2sinαcosα===．
故答案为：．
把要求值的式子化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
17.【答案】[2kπ+π
，2kπ+π]，k∈Z
3
【解析】
解：由1-2cosx≥0得cosx≤，
由复合函数单调性的关系得要求的单调增区间，
即求y=1-2cosx的递增区间，
即求y=cosx在cosx≤时的递减区间，
即2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z，
即数的单调增区间是[2kπ+，2kπ+π]，k∈Z，
故答案为：[2kπ+，2kπ+π]，k∈Z．
根据复合函数单调性之间的关系，结合余弦函数的单调性进行求解即可．
本题主要函数单调区间的求解，结合复合函数单调性的关系进行转化是解决本题的关键．
18.【答案】π
；-53
3
【解析】
解：△ABC中，a2+c2=b2+ac，
则：，
所以：B=，
所以：tanB=，
tanA=，
则：tanC=-tan（A+B）=-=-5．
故答案为：，
直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变变换及相关的运算问题的应用．
19.【答案】3；73
3
【解析】
解：∵，
∴由a2=b2+c2-2bccosA，可得：64=49+c2-2×，可得：c2+2c-15=0，
∴解得：c=3或-5（舍去），
∵sinA==，
∴设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理R===．
故答案为：3，．
由已知利用余弦定理可求得c2+2c-15=0，即可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理即可计算得解．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】π
2；2或2
3
【解析】
解：由题意，f（x）是偶函数．则φ=，k∈Z．
∵0≤φ≤π，
∴φ=．
那么f（x）=cos（ωx）
图象关于对称，在区间上是单调函数．
∴=，k∈Z
又，
即T≥π
∴=2．
故得ω=2或
故答案为：，2或．
根据f（x）是偶函数．则φ=，图象关于对称，在区间上是单调函数即可求解．
本题考查正弦函数的对称性，求得其对称中心为：=，k∈Z及
，是关键，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=3sinxcosx−cos2x=3
2sin2x−1
2
cos2x−1
2
=sin(2x−π
6
)−1
2
，
∴T=2kπ
2
=kπ，当k=1时，取得最小值，即：最小正周期为π，
对称中心设为(x0，−1
2)，2x0−π
6
=kπ，x0=kπ
2
+π
12
(k∈Z)，
∴对称中心为(kπ
2+π
12
，−1
2
)，(k∈Z)；
（Ⅱ）f（x）的单调增区间为2kπ−π
2≤2x−π
6
≤2kπ+π
2
(k∈Z)，
化简得kπ−π
6≤x≤kπ+π
3
(k∈Z)，
当k=0时，增区间为[−π
6，π
2
]，
当k=1时，增区间为[5π
6，11π
6
]，
∴f（x）在[0，π]上的单调增区间为[0，π
3]，[5π
6
，π]．
【解析】
（Ⅰ）利用三角函数间的关系式可化简f（x）=sin（2x-），利用正弦函数的性质可求得f（x）的最小正周期和函数的对称中心；
（Ⅱ）由f（x）的单调增区间为，进一步化简计算即可得到它的单调增区间．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性与单调性，属于中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）为锐角，sin(α+π
3)=3
5
，∴α+π
3
∈（3π
4
，π），∴sin（α+π
3
）
=-1−cos2(α+π
3)=-4
5
，
∴sinα=sin[（α+π
3）-π
3
]=sin（α+π
3
）cosπ
3
-cos（α+π
3
）sinπ
3
=3
5
⋅1
2
+4
5
⋅3
2
=43+3
10
．
（Ⅱ）sin(2α+π
6)=sin（2α+2π
3
-π
2
）=sin[2（α+π
3
）-π
2
]=-cos2（α+π
3
）=-[1-2sin2(α+π
3
)]=-
（1-2•9
25）=-7
25
．
【解析】
（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α+）的值，再利用两角差的正弦公式，求得sinα的=sin[（α+）-]值．
（Ⅱ）把2α+变为2（α+）-，再利用诱导公式、二倍角公式，求得
的值．
本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
23.【答案】（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵b cos C+c cos B=4a cos B，
∴sin B cos C+sin C cos B=4sin A cos B，
∴sin（B+C）=4sin A cos B，
∴sin A=4sin A cos B，
∵sin A≠0，
∴cosB=1
4
．
（Ⅱ）∵cosB=1
4，sinB=15
4
，
∵a+c=7，1
2
acsinB=15，可得：ac=8，
∴cosB=a2+c2−b2
2ac =(a+c)2−2ac−b2
2ac
=72−2×8−b2
2×8
=1
4
，
∴b=29．
【解析】
（Ⅰ）由已知利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA=4sinAcosB，结合sinA≠0，可求cosB的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理可求b的值．
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．
24.【答案】解：（Ⅰ）
y=
7cos2B
2+4sin(B+π
4
)+42sin2B
2
=7(1+cosB
2
)+4(2
2
sinB+2
2
cosB)+42(1−cosB
2
)
=7
2
cosB+22sinB+7
2
+22
=9
2
sin(B+φ)+7
2
+22
，
由于：tanϕ=72
8
，
∴y max=9
2+7
2
+22=8+22，
tanφ=72
8
sin(B+φ)=1
，
则：cosB=7
9
（Ⅱ）证明：cosB=7
9=a2+c2−b2
2ac
，
化简得9b2=9（a+c）2-32ac，
∴9b2≥9(a+c)2−32(a+c
2
)2，
9b2≥（a+c）2，
∴3b≥a+c，
∴a+c≤3b．
【解析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用余弦定理和基本不等式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，余弦定理和基本不等式的应用．。