2020年高一数学下学期期末试卷及答案(五)

2020年高一数学下学期期末试卷及答案（五）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线y=x+1的倾斜角是（）
A．30°B．45°C．60° D．90°
2．已知向量=（1，1），（2，x），若+与垂直，则实数x的值是（）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
3．若等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，则a5+a7的值是（）
A．﹣22 B．22 C．﹣46 D．46
4．对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．＜B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．＞
5．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）
A．4 B． C．6 D．
6．若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），则a﹣b的值是（）
A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．14
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinA=3sinB=4sinC，则△ABC 的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
8．用数学归纳法证明++…+＞时，由k到k+1，不等式左边的变化是（）A．增加项
B．增加和两项
C．增加和两项同时减少项
D．以上结论都不对
9．对任意的n∈N*，数列{a n}满足|a n﹣cos2n|≤且|a n+sin2n|≤，则a n等于（）A．﹣sin2n B．sin2n﹣C．﹣cos2n D．cos2n+
10．已知，，是同一平面内的三个向量，且||=1，⊥，•=2，•=1，当|﹣|取得最小值时，与夹角的正切值等于（）
A． B．C．1 D．
二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分）
11．已知直线l1：mx+2y+3=0与l2：x+（m+1）y﹣1=0．当m=时，l1∥l2，当m=时，l1⊥l2．
12．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，b=5，c=7，则角C=，△ABC的面积S=．
13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+t，则a2=，t=．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|（a＞0）的最小值是2，则a的值是，不等式f（x）≥4的解集是．
15．若直线y=k（x+1）经过可行域，则实数k的取值范围是．
16．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），设S n为{b n}的前n项和．若a12=a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于．
17．若正实数x，y满足2x+y=2，则+的最小值是．
三、解答题（共5小题，满分74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．已知直线l1：x﹣2y+2=0与l2：2x﹣y+4=0交于点A．
（1）求过点A且与l1垂直的直线l3的方程；
（2）求点P（2，2）道直线l3的距离．
19．已知平面向量，满足||=1，|3﹣2|=，且，的夹角为60°．
（1）求||的值；
（2）求2﹣和﹣2夹角的余弦值．
20．正项数列{a n}中，a1=1，奇数项a1，a3，a5，…，a2k﹣1，…构成公差为d的等差数列，偶数项a2，a4，a6，…，a2k，…构成公比q=2的等比数列，且a1，a2，a3成等比数列，a4，a5，a7成等差数列．
（1）求a2和d；
（2）求数列{a n}的前2n项和S2n．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，cosB=．
（1）若b=2，求sinA的值；
（2）若点D在边AC上，且=，||=，求a的值．
22．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n+1=2S n+6，且a1=6．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为T n，证明： +++…+＜3．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线y=x+1的倾斜角是（）
A．30°B．45°C．60° D．90°
【考点】I2：直线的倾斜角．
【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角．
【解答】解：∵直线y=x+1的斜率是1，
∴tanα=1，
∵α∈[0°，180°），
∴它的倾斜角为45°．
故选B．
2．已知向量=（1，1），（2，x），若+与垂直，则实数x的值是（）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由+与垂直，能求出实数x的值．【解答】解：∵向量=（1，1），（2，x），
=（3，1+x），
∴+与垂直，
∴（）•=3×1+（1+x）×1=0，
解得x=﹣4．
∴实数x的值为﹣4．
故选：A．
3．若等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，则a5+a7的值是（）
A．﹣22 B．22 C．﹣46 D．46
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，先求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，
∴，
解得a1=﹣7，d=6，
∴a5+a7=a1+4d+a1+6d=﹣7+24﹣7+36=46．
故选：D．
4．对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．＜B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．＞
【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、当a=2，b=﹣2时，＞，故A错误；
对于B、当a=1，b=﹣2时，a2＜b2，故B错误；
对于C、由不等式的性质可得C正确；
对于D、当a=1，b=﹣1时，=，故D错误；
故选：C．
5．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）
A．4 B． C．6 D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
6．若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），则a﹣b的值是（）
A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．14
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】根据不等式与对应的方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出a、b的值，问题得以解决．
【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），∴关于x的方程ax2+bx+2=0的两个实数根为﹣和，且a＜0，
由根与系数的关系，得；
解得a=﹣12，b=2，
∴a﹣b=﹣12﹣2=﹣14
故选：A
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinA=3sinB=4sinC，则△ABC 的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【考点】HP：正弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到三边之比，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值得解A为钝角，从而得解．
【解答】解：∵△ABC中，2sinA=3sinB=4sinC，
∴由正弦定理化简得：2a=3b=4c，
即b=a，c=a，
则cosA===﹣＜0，
∴A为钝角，△ABC的形状是钝角三角形．
故选：C．
8．用数学归纳法证明++…+＞时，由k到k+1，不等式左边的变化是（）A．增加项
B．增加和两项
C．增加和两项同时减少项
D．以上结论都不对
【考点】RG：数学归纳法．
【分析】观察不等式++…+＞左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．
【解答】解：n=k时，左边=++…+
n=k+1时，左边=++…+
由“n=k”变成“n=k+1”时， +﹣
故选：C．
9．对任意的n∈N*，数列{a n}满足|a n﹣cos2n|≤且|a n+sin2n|≤，则a n等于（）A．﹣sin2n B．sin2n﹣C．﹣cos2n D．cos2n+
【考点】8H：数列递推式．
【分析】|a n﹣cos2n|≤且|a n+sin2n|≤，可得cos2n﹣≤a n≤cos2n+，﹣sin2n﹣≤
a n≤﹣sin2n+，即cos2n﹣≤a n≤cos2n﹣，即可得出．
【解答】解：∵|a n﹣cos2n|≤且|a n+sin2n|≤，
∴cos2n﹣≤a n≤cos2n+，﹣sin2n﹣≤a n≤﹣sin2n+，即cos2n﹣≤a n≤cos2n﹣，∴a n=cos2n﹣=﹣sin2n．
故选：A．
10．已知，，是同一平面内的三个向量，且||=1，⊥，•=2，•=1，当|﹣|取得最小值时，与夹角的正切值等于（）
A． B．C．1 D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，分别以，为x、y轴建立平面直角坐标系，设与的夹角为θ，则与的夹角为﹣θ，θ为锐角；用数量积求出||、||的值，计算|﹣|取得最小值时与夹角的正切值即可．
【解答】解：根据题意，分别以，为x、y轴建立平面直角坐标系，
设与的夹角为θ，则与的夹角为﹣θ，θ为锐角；
∵||=1，•=2，•=1，
∴||•cosθ=2，||•cos（﹣θ）=||•sinθ=1，
∴||=，||=；
∴=﹣2•+
=+
=（+）（sin2θ+cos2θ）
=5++≥5+2=9，
当且仅当2sin2θ=cos2θ，即ta nθ=时“=”成立；
此时|﹣|取得最小值3，且与夹角的正切值为．
故选：D．
二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分）
11．已知直线l1：mx+2y+3=0与l2：x+（m+1）y﹣1=0．当m=﹣2或1时，l1∥l2，当m=﹣时，l1⊥l2．
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时根据斜率相等建立关系式，求出m的值；
由两条直线垂直的条件，建立关于m的方程，解之可得实数m的值．
【解答】解：（1）①当m=﹣1时，显然l1与l2不平行；
②当m≠﹣1时，若l1∥l2，由﹣=﹣，解得m=﹣2或m=1，经验证都成立，因此，m的值为﹣2或1，
（2）①当m=﹣1时，显然l1与l2不垂直；
②当m≠﹣1时，若l1⊥l2，则有﹣•（﹣）=﹣1，解得m=﹣，
故答案为：﹣2或1，﹣
12．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，b=5，c=7，则角C=，△ABC的面积S=．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】由a=3，b=5，c=7，利用余弦定理能求出角C，由△ABC的面积S=
能求出△ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
a=3，b=5，c=7，则
∴cosC==﹣，
∵0＜C＜π，∴C=，
∴△ABC的面积S===．
故答案为：，．
13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+t，则a2=6，t=﹣1．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】利用，求出数列的前三项，再由a1，a2，a3成等比数列，能求出t的值．
【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=3n+t，
∴a1=S1=3+t，
a2=S2﹣S1=（9+t）﹣（3+t）=6，
a3=S3﹣S2=（27+t）﹣（9+t）=18，
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴，即62=（3+t）×18，
解得t=﹣1．
故答案为：6，﹣1．
14．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|（a＞0）的最小值是2，则a的值是3，不等式f（x）≥4的解集是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
【考点】R4：绝对值三角不等式．
【分析】根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a﹣x+1|=|1﹣a|=2，
故1﹣a=2或1﹣a=﹣2，
解得：a=﹣1或a=3，
而a＞0，故a=3，
故f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，
由f（x）≥4，即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，
故或或，
解得：x≥4或x≤0，
故不等式的解集是（﹣∞，0]∪[4，+∞），
故答案为：3，（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
15．若直线y=k（x+1）经过可行域，则实数k的取值范围是[0，] ．【考点】7C：简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线y=k（x+1）过定点（﹣1，0），再利用k的几何意义，只需求出直线y=k（x+1）过可行域的最优解，即可求解k的范围．【解答】解：直线y=k（x+1）过定点（﹣1，0），
作可行域如图所示，
由，
得A（2，4）．
当定点（﹣1，0）和A点连接时，
斜率最大，此时k==，
则k的最大值为：．
则实数k的取值范围是：[0，]
故答案为：[0，]．
16．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），设S n为{b n}的前n项和．若a12=a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于16．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】根据等差数列的通项公式，以及数列的递推关系，即可得到结论．
【解答】解：设{a n}的公差为d，由a12=a5＞0得a1=﹣d，a12＜a5，
即d＜0，
所以a n=（n﹣）d，
从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．
从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，
故S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16．
因为a15=﹣d＞0，a18=d＜0，
所以a15+a18=﹣d+d=d＜0，
所以b15+b16=a16a17（a15+a18）＞0，
所以S16＞S14，故S n中S16最大．
故答案为：16
17．若正实数x，y满足2x+y=2，则+的最小值是．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】根据题意，由分式的运算性质分析可得+=+﹣9，又由2x+y=2，则有2（x+1）+（y+1）=5，进而分析可得+=（+）﹣9=（16+9++）﹣9，由基本不等式的性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若2x+y=2，
则+=+=+2=（y+1）++2（x+1）+﹣14=+﹣9；
又由2x+y=2，则有2（x+1）+（y+1）=5，
则+=（+）﹣9=（16+9++）﹣9≥（25+2）﹣9≥；
当且仅当y+1=2（x+1）=时，等号成立；
即+的最小值是；
故答案为：．
三、解答题（共5小题，满分74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知直线l1：x﹣2y+2=0与l2：2x﹣y+4=0交于点A．
（1）求过点A且与l1垂直的直线l3的方程；
（2）求点P（2，2）道直线l3的距离．
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（1）解方程组求出直线l1与l2的交点A，再根据垂直关系求出直线l3的斜率，利用点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）利用点到直线的距离公式计算即可．
【解答】解：（1）直线l1：x﹣2y+2=0与l2：2x﹣y+4=0交于点A，
，
解得；
则过点A（﹣2，0）且与l1垂直的直线l3的斜率为k=﹣2，
方程为y﹣0=﹣2（x+2），即2x+y+4=0；
（2）点P（2，2）直线l3：2x+y+4=0的距离为：
d===2．
19．已知平面向量，满足||=1，|3﹣2|=，且，的夹角为60°．
（1）求||的值；
（2）求2﹣和﹣2夹角的余弦值．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用模长平方与向量的平分相等，将已知|3﹣2|=两边平方展开，得到关于||的方程解之即可；
（2）分别求出2﹣和﹣2模长以及数量积，利用数量积公式求夹角．
【解答】解：（1）由已知|3﹣2|2=13，展开得到9，所以4||2﹣6| |﹣4=0，解得||=2；
（2）由已知得到=1，所以（2﹣）2=4=4，（﹣2）==13，所以|2﹣|=2，|﹣2|=，且（2﹣）（﹣2）=2+2﹣5=2+8﹣5=5；
所以2﹣和﹣2夹角的余弦值为：=．
20．正项数列{a n}中，a1=1，奇数项a1，a3，a5，…，a2k﹣1，…构成公差为d的等差数列，偶数项a2，a4，a6，…，a2k，…构成公比q=2的等比数列，且a1，a2，a3成等比数列，a4，a5，a7成等差数列．
（1）求a2和d；
（2）求数列{a n}的前2n项和S2n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）根据a3=a4和等差数列、等比数列的性质计算；
（2）分别对等差数列和等比数列求和即可．
【解答】解：（1）∵a3，a5，a7成等差数列，a4，a5，a7成等差数列，
∴a3=a4，
∴a1，a2，a4成等比数列，∴a2=a1q=2，
∴a3=a4=4，
∴d=a3﹣a1=3．
（2）S2n=na1++=n+﹣+2（2n﹣1）=2n+1+﹣﹣2．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，cosB=．
（1）若b=2，求sinA的值；
（2）若点D在边AC上，且=，||=，求a的值．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）由cosB=，b=2，得sinB=，由正弦定理得sinC=，从而cosC=，由此能求出sinA．
（2）求出==，由此能求出a的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
c=2，cosB=，b=2，
∴sinB=，
正弦定理得==3，∴sinC=，
∵c＜b，∴C为锐角，∴cosC=，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
==．
（2）∵点D在边AC上，且=，||=，
∴==，
∴||2=
=
=，
解得a=3．
22．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n+1=2S n+6，且a1=6．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为T n，证明： +++…+＜3．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）根据a n=S n﹣S n﹣1得出{a n}是等比数列，从而可得{a n}的通项；
（2）求出T n，利用裂项法计算+++…+得出结论．
【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n满足a n+1=2S n+6，且a1=6．
∴当n=1时，a2=2S1+6=2a1+6=18，∴a2=18，
由a n+1=2S n+6得a n=2S n﹣1+6（n≥2），
∴a n+1﹣a n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，
∴a n+1=3a n（n≥2），
又a1=6，
∴数列{a n}是以6为首项，公比为3的等比数列，
∴=2•3n．
证明：（2）=，
∴T n=（）
==（1﹣），
∴===＜=6（﹣），∴+++…+＜6（﹣+﹣+…+﹣）
=6（﹣）=3﹣＜3．
∴+++…+＜3．。