人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题专项训练学能测试试题

人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题专项训练学能测试试题
一、平面向量多选题
1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，
AB =BC =1，0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，以下正确的是
（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC
【答案】ABCD 【分析】
根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】
在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵
0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，
∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠
APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，
在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，
∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CD
PCA P CD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪'∠=∠⎩
，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即
1
2
BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP AC
CP BC
==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.
2．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．21
2
AO AB AB ⋅=
B ．OA OB OA O
C OB OC ⋅=⋅=⋅
C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则
1
1
3λ
μ
+
=
D ．AH 与
cos cos AB AC AB B
AC C
+
共线
【答案】ACD 【分析】
根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直，从而说明D 正确.
【详解】
如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=
()
21
·cos cos ?22
AB
AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正
确；
··OAOB OAOC =等价于()
·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，
对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误； 设BC 的中点为D ,
则()
2111111
33333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫=
=+=+=+ ⎪⎝⎭
， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴
+=，即11
3λμ
+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+
⋅=+ ⎪⎝⎭
()
cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B
AC C
π⋅-⋅=
+
0BC BC =-+=,
∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与AH
共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.
3．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）
A B C D 【答案】ABC 【分析】
先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出13
77
OM OA OB =+，设
OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出
13177x y λμ+=
+=，然后将λμ+与13
77λμ
+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】
先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.
充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即
()
OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，
因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，
所以，()1OM xOE x OF =+-，即()
OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.
本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：
D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且1
2
DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即6
7
AC AN =，
//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴
==，6
7
AM AD ∴=， 1
2
AD OD OA OB OA =-=-，
6611
37727
7OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+
=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.
OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，
所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得173
7x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，由1x y +=可得
13177λμ+=， 由基本不等式可得
()1313134247777μλ
μλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
437+=. 当且仅当3μλ=
时，等号成立.
所以，λμ+423
+ABC 选项均不满足423λμ++≥
. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出
13
177λμ
+=；
（2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.
4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是
AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）
A ．0OE OC +=
B ．1AB CE ⋅=-
C ．32
OA OB OC ++= D ．132
DE =
【答案】AC 【分析】
建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析. 【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，
因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =
，又因为1
2
CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确； B ．因为E 为AB 中点，所以AB
CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；
C ．因为()()(3,1,0,1,0,3O A B C ⎛- ⎝⎭
，所以
33331,1,0,0,2222OA OB OC ⎛⎛⎫⎛⎛++=-+--+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以3
2
OA OB OC ++=
，故正确； D ．因为()123,,0,033D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以123,33DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以133DE =，故错误， 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.
5．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）
A ．若a b ⊥，则tan θ=
B ．若b 在a 上的投影为12
-
，则向量a 与b 的夹角为23π
C ．存在θ，使得||||||a b a b +=+
D ．a b 【答案】BCD 【分析】
若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-，且||1b =，则2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若b 在a 上的投影为1
2
-
，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；
2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.
【详解】
若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-
，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若2()2a b a b a b =+2
2
++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C
正确；
2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π
02ϕ<<，则当π2
θϕ+=时，
a b ，故D 正确，
故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底
C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则2
23
()||||2
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故2
3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===
+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
7．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）
A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上
B ．123O
C OC OC ==
C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅
D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅
【答案】AC 【分析】
利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】
()
12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()2332
32C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1
2
23C C
C C =，A 正确.
由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.
21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()
2
1OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，
()2
2
22OC OB OA OB OB OA OB OB
⋅=+⋅=⋅+，
同理2
33OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-
【答案】CD 【分析】
对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，
2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所
以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】
对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；
对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；
对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】AD 【分析】
由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】
平面向量,,a b c 两两夹角相等，
∴两两向量所成的角是0︒或120︒.
当夹角为0︒时，
,,a b c 同向共线，
则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，
,a b 为单位向量，
1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，
又
2c =，
1a b c ∴++=.
故选：AD. 【点睛】
本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC
C ．a b ⊥
D ．()
6a b BC +⊥
【答案】ABD 【分析】
求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判
断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A 选项，
3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；
对于C 选项，21123cos 0333
a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()22
60a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。