【教学论文】赋值法——解决抽象函数问题的利器【教师职称评定】

赋值法——解决抽象函数问题的利器
在高中数学学习中，我们经常遇到一类只给出函数符号()f x 而没有具体解析式的函数问题，这就是抽象函数问题．用抽象函数可考查思维的灵活性与深刻性，是历年高考中常考常新的一个热点．高考时抽象函数往往以选择题或填空题形式出现，结合函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等进行考查．但由于没有具体解析式，很多同学感到很抽象，无从下手．其实，只要掌握了赋值法，就能比较迅速地解决这类抽象函数问题．下面请看几个例子． 例1、已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，都满足1212()()()f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x >．
(1)求(0)f 的值；
(2)试判断()f x 的奇偶性；
(3)试判断()f x 的单调性，并证明．
解：(1)令120x x ==，则(0)2(0)(0)0f f f =⇒=．
(2)令12,x x x x ==-，则有0(0)()()()()f f x f x f x f x ==+-⇒-=-，
∴()f x 为奇函数．
(3)对任意的12,x x R ∈，设12x x <，则210x x ->，则由已知，21()0f x x -> ∴1212122112()()()()()()0()()f x f x f x f x f x x f x x f x f x -=+-=-=--<⇒<． ∴()f x 在R 上是增函数．
【点评】(1)对于抽象函数问题，常用赋值法进行求值，并用定义法判断函数的奇偶性、单调性．
(2)由1212()()()f x x f x f x +=+对任意实数12,x x 都成立，易联想到正比例函数
()(0)f x k x k =≠
，这可给解题带来明确的方向． 例2、函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数12,x x 恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+．
(1)设,x y 为任意两正数，求证：()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
；
(2)若当1x >时，有()0f x <，求证：()f x 在(0,)+∞上是减函数；
(3)已知(8)3f =，解不等式(21)1f x +>．
解：(1)由已知()()()().x x x f x f y f f y f f x f y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+∴=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2)设任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞<且，则
211x x >．由(1)及已知得，设12x x < 221211()()0()()0x f x f x f f x f x x ⎛⎫-=<∴-< ⎪⎝⎭
即12()()f x f x >
∴()f x 在(0,)+∞上是减函数．
(3)由3(8)(42)(4)(2)(22)(2)3(2)f f f f f f f ==⨯=+=⨯+=，得(2)1f =． ∴(21)1(21)(2)f x f x f +>⇔+>．由(2)()f x 在定义域(0,)+∞上是减函数，
∴原不等式可化为0212x <+<，解得1122x -<<．原不等式解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭． 【点评】(1)解抽象函数不等式问题，常利用函数的单调性把函数符号“f ”去掉，化为普通不等式进行求解，同时应注意函数的定义域．
(2)由1212()()()f x x f x f x ⋅=+对任意正数12,x x 都成立，可联想对数函数()log a f x x =． 例3、设函数()f x 是实数集R 上的增函数，令()()()2F x f x f x =--．
(1)求证：()F x 在R 上是增函数；
(2)若12()()0F x F x +>，求证：122x x +>．
证明：(1)任取12,x x R ∈，且12x x <，则1222x x ->-．∵()f x 在R 上是增函数， ∴()()()()1212,22f x f x f x f x <->-即()()()()12120,220f x f x f x f x -<--->． ∴()()()()()()12112222F x F x f x f x f x f x -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()1221220f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+---<，即()()12F x F x <，
∴()F x 在R 上是增函数．
(2)∵12()()0F x F x +>，∴12()()F x F x >-．由于()()()2222F x f x f x -=---⎡⎤⎣⎦ ()()()()()2222222222f x f x f x f x F x =--=----=-⎡⎤⎣⎦，∴12()(2)F x F x >- 又∵()F x 在R 上是增函数，∴122x x >-，∴122x x +>．
练一练：1、已知函数()y f x =对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，()213
f =-． (1)判断并证明()f x 在R 上的单调性；
(2)求()f x 在[-3，3]上的最大值、最小值．
2、定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1),f x f x x R +=-∈．已知()f x 在[1，2]上是增函数，讨论它在[-1，0]上的单调性．
3、已知定义域为[0，1]的函数()f x 同时满足以下三条性质：①对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有1212()()()f x x f x f x +≥+成立．
(1)求(0)f 的值；
(2)函数()21x
g x =-在区间[0，1]上是否同时满足①②③？并予以证明；
(3)假设存在0[0,1]x ∈，使得0()[0,1]f x ∈且00[()]f f x x =，求证00()f x x =．
答案：1、(1)()f x 是R 上的减函数；(2)()f x 在[-3，3]上的最大值是()()3312f f -=-=，最小值是()()3312f f ==-．
2、∵(1)(1)f x f x +=-，用1+x 代换x ，得()()1111()f x f x f x ++=-+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又()f x 是偶函数，∴()2()()f x f x f x +=-=．
设1210x x -≤<≤，则121222x x ≤+<+≤，∵()f x 在[1，2]上是增函数，
∴12(2)(2)f x f x +<+，即12()()f x f x <，∴()f x 在[-1，0]上是增函数．
3、(1)令120x x ==，由③得(0)(0)(0)(0)0f f f f ≥+⇒≤，由①(0)0f ≥，∴(0)0f =．
(2)显然()21x g x =-在区间[0，1]上满足①()0g x ≥，②(1)1g =． 若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则12121212()[()()]21[2121]x x x x g x x g x g x ++-+=---+- 1212122221(21)(21)0x x x x x x +=--+=--≥，∴()21x g x =-在区间[0，1]上满足③． 综上，()21x g x =-在区间[0，1]上同时满足①②③．
(3)由③知，对任意,[0,1],m n m n ∈<，有[0,1]n m -∈，
∴()[()]()()()f n f n m m f n m f m f m =-+≥-+≥，即()()f m f n ≤． 若00()x f x <，则[]000()()f x f f x x ≤=，前后矛盾；
若00()x f x >，则[]000()()f x f f x x ≥=，前后矛盾．∴00()f x x =．。