【配套K12】[学习]江苏省常州一中2018-2019学年高二数学上学期期初考试试题

常州市第一中学2018--2019学年期初考试
高二数学试题
（考试时间120分钟 满分160分）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上)
1．函数3sin(2)4
y x π
=+的最小正周期为 .
2．不等式
1
021
x x +≤-的解集为 . 3．在等比数列{}n a 中, 416a =-，61a =-，则5a 的值为 . 4．已知向量(1,1)a =,(2,)b x =，若()a b a +⊥，则实数x ＝ . 5．函数1
ln(2)
y x =
-的定义域为 .
6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y ++-=平行，则实数m ＝ . 7．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝ ． 8．已知两正数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11
x
y
+
的最小值为 . 9．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
,则2z x y =+的最小值为 .
10．已知直线20kx y -+=与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆O 上，且有
OM OA OB =+，则实数k ＝ .
11．已知函数lg (010)()16(10)2
x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c
⋅⋅的取值范围是 .
12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取
值范围是 ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，
若曲线x y x b =+的距离为1，
则b 的取值范围是 .
14．已知函数2()44f x x x =++，若存在实数t ，当[4,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 .
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+．
(1)当3
A π
=时，求||n 的值；
(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b ．
16．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：(1)CE ∥平面PAD ； (2)CE ⊥平面PAB ．
17．已知圆O ：224x y +=．
(1)设直线l ：10x y +-=，求直线l 被圆O 截得的弦长；
(2)设圆O 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆O 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线3x = 于D ，E 两点．当点P 变化时，以DE 为直径的圆C 是否经过定点？请证明你的结论；
18．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？
(扇形的弧长公式：l r θ=⋅；扇形的面积公式：2112
2
S l r r θ=⋅=⋅)
19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数2()24f x ax x a =+-，a R ∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”，并说明理由；
(2)若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； (3)若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.
20．已知数列{}n a 满足15
(1)2
n n n n a a +++-=*(N )n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求13a a +的值； (2)若1532a a a +=．
① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224p m S S =*(N )p m ∈，的所有数对()p m ，．
常州市第一中学2018--2019学年期初考试
高二数学试题答案
（考试时间120分钟 满分160分）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．
) 1．函数3sin(2)4
y x π
=+的最小正周期为 .π
2．不等式
1
021
x x +≤-的解集为 .1[1,)2-
3．在等比数列{}n a 中, 416a =-，61a =-，则5a 的值为 .4± 4．已知向量(1,1)a =,(2,)b x =，若()a b a +⊥，则实数x ＝ .4- 5．函数1
ln(2)
y x =
-的定义域为 .(2,3)∪(3,＋∞)
6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y ++-=平行，则实数m ＝ .2 7．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝ ．23 8．已知两正数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11
x
y
+
的最小值为 .9 9．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
,则2z x y =+的最小值为 .－1
10．已知直线20kx y -+=与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆O 上，且有
OM OA OB =+，则实数k ＝
.
11．已知函数lg (010)()16(10)2
x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c
⋅⋅的取值范围是 .(10,12)
12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取
值范围是 ．(2,)+∞ 13．在平面直角坐标系xOy 中，
若曲线x y x b =+的距离为1，
则b 的取值范围是
.(3]-
14．已知函数2()44f x x x =++，若存在实数t ，当[4,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m
的最大值为 .9
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+．
(1)当3
A π
=时，求||n 的值；
(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b ．
16．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝
AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．
求证：(1)CE ∥平面PAD ； (2)CE ⊥平面PAB ． 【证】（1）取PA 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分
因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．
因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分
EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，
从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，
故CE ∥平面PAD ． …………………… 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是PA 的中点，所以DF PA ⊥．
因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以
DF AB ⊥．… 10分
因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA
AB ⊂，平面PAB ，PA AB A =，所以
CE ⊥平面PAB ．
因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ． …… 14分
17．已知圆O ：224x y +=．
(1)设直线l ：10x y +-=，求直线l 被圆O 截得的弦长；
(2)设圆O 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆O 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线3x = 于D ，E 两点．当点P 变化时，以DE 为直径的圆C 是否经过定点？请证明你的结论；
解：(3
18．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x 的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？
(扇形的弧长公式：l r θ=⋅；扇形的面积公式：2112
2
S l r r θ=⋅=⋅) 解：(1)设扇环的圆心角为，则()30102(10)x x θ=++-，
所以10210x
x
θ+=
+，…………………………5分 (2) 花坛的面积为
2221
(10)(5)(10)550,(010)2
x x x x x x θ-=+-=-++<<．………7分 装饰总费用为
()9108(10)17010x x x θ++-=+， ………………………………………10分
所以花坛的面积与装饰总费用的比
22550550==1701010(17)
x x x x y x x -++---++， …………………12分
令17t x =+，则3913243
()101010
y t t =
-+≤，
当且仅当t =18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………………16分
19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数2()24f x ax x a =+-，a R ∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”，并说明理由；
(2)若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； (3)若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.
20．已知数列{}n a 满足15
(1)2
n n n n a a +++-=*(N )n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求13a a +的值； (2)若1532a a a +=．
① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224p m S S =*(N )p m ∈，的所有数对()p m ，．
精品K12教育教学资料
精品K12教育教学资料 【解】(1)由条件，得2132372a a a a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，②得 1312
a a +=．……………………… 3分 (2)①证明：因为15(1)2n n n n a a +++-=，所以221212242252
n n n n n a a n a a -++⎧-=⎪⎨+⎪+=⎩③④， ④③得 212112
n n a a -++=， ……………………………………………… 6分 于是13353111()()422
a a a a a =+=+++=， 所以314a =，从而114
a =． ……………………………………………… 8分 所以121231111()(1)()0444n n n a a a ----=--==--=L ， 所以2114n a -=，将其代入③式，得294n a n =+， 所以2(1)21n n a a +-=（常数），所以数列{}2n a 为等差数列．……………… 10分 ②注意到121n a a +=，
所以2122n n S a a a =+++L 2345221()()()n n a a a a a a +=++++++L
2125322n
k k n n =+==+∑， 由224p m S S =知()
2234322p m p m +=+． 所以22(26)(3)27m p +=++，
即(29)(23)27m p m p ++-+=，又*p m ∈N ，，
所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，
均为正整数， 所以2927231
m p m p ++=⎧⎨-+=⎩，解得104p m ==，，
所以所求数对为(104)，
．………………………………………………… 16分。