人教版课程标准实验教科书“数与代数”教学问题研讨

人教版课程标准实验教科书“数和代数”教学问题研讨
仙桃市教育科学研究院 秦和平
一、“数和代数”的教学内容 1、数的认识
数的种类：整数、小数、分数、百分数、负数。

利用数轴可以将小学阶段所认识的数分类如下：
认识目标：数的意义、读写方法、大小比较、性质和改写。

2、数的运算：
运算内容：加、减、乘、除四则计算及其运算的意义、方法、定律、性质和使用 运算方法：口算、笔算、估算、机（器）算
算用结合：运用计算解决相关现实问题或者数学问题。

例如，传统的解决问题：一般问题、平均问题、归一问题、行程问题、分数问题、百分数问题等，新增的解决问题：排列组合、逻辑推理、等量代换、容斥原理、植树问题、鸡兔同笼、抽屉原理等。

3、式和方程：用字母表示数，简单方程及其运用。

4、常见的量：长度、面积、体积、容积、质量、时间单位等的意义和改写。

5、比和比例：比和比例的意义、性质及其运用。

6、数学思考：运用数学思想和方法解决数学问题，如：发现规律、枚举组合、逻辑推理、图表运用等。

二、“数和代数”的教学目标
第一学段（1-3年级）
知识技能：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的量；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能；在具体情境中，能进行简单的估算。

数
负数 0 正数 数 整数 小数 分数
（百分数）
数和代数
数的认识 数的运算 式和方程 常见的量 比和比例
数学思考
数学思考：．在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感；在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想；能独立思考问题，表达自己的想法。

问题解决：能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决；了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法；体验和他人合作交流解决问题的过程；经历回顾解决问题过程的活动。

情感态度：对身边和数学有关的事物有好奇心，能参和数学活动；在他人帮助下，感受数学活动中的成功，能尝试克服困难；了解数学可以描述生活中的一些现象，感受数学和生活有密切联系；能尝试对别人的想法提出建议，知道应该尊重客观事实。

第二学段（4-6年级）
知识技能：体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数，掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程；能借助数字计算器解决简单的使用问题。

数学思考：在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自我的思考过程和结果；能独立思考，体会一些数学的基本思想。

问题解决：能从社会生活中发现并提出简单的数学问题，并综合运用一些知识加以解决；能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性；从事和他人合作解决问题的活动，尝试解释自己的思考过程；能初步判断结果的合理性，经历整理解决问题过程和结果的活动。

情感态度：愿意了解社会生活中和数学相关的信息，主动参和数学学习活动；在他人的鼓励和引导下，体验克服困难、解决问题的过程，相信自己能够学好数学；在运用数学解决问题的过程中，认识数学的价值；初步养成乐于思考、勇于质疑、实事求是等良好品质。

在“数和代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。

数感主要是指关于数和数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感悟。

建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。

建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。

培养运算能力还有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。

建立和求解模型的过程包括：从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。

这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习兴趣和使用意识。

三、“数和代数”的教学问题研讨
一年级上册
（一）在分类教学中，有的学生分类的结果和答案不符，老师应如何评价？
学生已有的知识经验不同，对问题
的认识和理解也存在差异。

例如，题目
的要求是“找出上图中不同的是什么？”个别学生的答案是护士，因为只有护士戴帽子。

对学生的这类看似有一定道理的答案该如何评价呢？我们认为，当学生出现这种答案时，老师首先要肯定他积极回答问题，但是
老师不要鼓励学生这样的思考方式，而是引导学生抓住事物间的本质特征进行分类，否则学生会认为这种“标新立异”的分类结果是值得提倡的，从而导致头绪众多，结果繁杂，失去了分类教学的意义，也达不到教学目标。

（二）在看图列式时，已知总体求部分，学生列加法算式是否可以？
由于图中两部分的数目都可以数出来，所以学生这样列式是有一
定道理的，老师不应该断然否定。

但这不等于可以放任学生的想法，
老师还是要正确引导学生理解题意，明确图中的条件和问题，否则一
旦形成了这种解决问题的模式，学生今后解决类似问题时会遇到一定
的困难。

例如，当数目增大，不能通过数数知道两部分的确切数目，
学生的这种解题思路就会受挫。

如果在教学中遇到这类情况，建议老
师不要急于对学生的答案作对错的评价，可以先请学生依次说一说这张图提供了什么信息，问题是什么，然后逐步帮助学生理清图中的条件和问题，明确这类问题使用什么方法解决，从而达到学生正确列式计算的目的。

（三）在数的认识和加减法单元教学数的分解、组成是否有必要？
数的分解、组成作为数概念的一部分，是一种非常直观的表达方式，在数的认识和加减运算中起着很重要的作用。

首先，它可以加深学生对数概念的理解，巩固对数的大小和数序的认识；其次，数的分解组成对学生建立一图四式的表象、理解加减运算的关系是很有帮助的；再次，数的分解、组成也是进行加减计算的基础，尤其是10的分解和组成，在计算进位加法和退位减法时要经常用到。

基于以上考虑，仍然应将“数的分解、组成”作为重要的内容进行教学。

(四)教学“认识钟表”单元时的几点困惑。

1．学生对半时的认识比较困难。

“认识钟表”这一单元在认识整时的基础上，增加了认识半时。

有老师提出由于学生没有学过1时＝60分，在用电子表显示半时的时候，学生对双点右边的“30”表示半时不易理解。

其实，在这部分内容的教学中，学生只要知道“30”表示半时，知道半时怎么写就达到要求了，不要求学生根据时、分的关系进行推理。

所以，教学时注意不拔高要求，并在日常生活中培养、巩固学生对时间的认识，学生基本能够达到教学目标。

2．一段时间是否也用“时”表示？
有关时间叙述和书写的问题，我们依据的是国家计量局颁布的《常用法定计量单位名称
量的名称单位中文名称（亦读法）错误的单位名称正确的单位符号时间国际符号中文符号
年a年
小时点钟h时
分分钟min分
秒秒钟s秒
使用“小时”和“分钟”。

一年级下册
(一)有关计算教学的问题。

1．有关算法多样化的问题。

计算教学提倡算法多样化，是这次课程改革中计算教学方面的一个显著特点。

其内涵主要是尊重学生的个体差异，鼓励学生独立思考，积极主动地解决问题。

这一点也得到了老
师们的认可，并很快在课堂中得到明显体现。

但随着改革的逐步深入，一些问题浮现出来，老师们也由最初的激情实践，转为理性思考。

（1）是不是算法越多越能体现多样化？
答案是否定的，因为算法多样化追求是尊重差异、尊重本色、尊重真实，学生自发想出的算法是最真实、最本色的。

因此教学应实事求是，应主要呈现学生自发想出的算法，然后进行分析比较，在此基础上再选择或推荐一般性的算法。

不能为多样而多样，让学生绞尽脑汁，想出和众不同的，费解的算法。

（2）如何处理学生的多种算法？
对于学生出现的算法，不能散乱的摆放在黑板上，应该进行分类梳理，逐一分析算理。

我们结合“20以内的退位减法”来说明。

如12－9，学生可能会出现下面一些算法。

①破十法：10－9＝1，2＋1＝3。

②连续减：12－2＝10，10－7＝3。

③想加算减：9＋3＝12，12－9＝3。

④其他，如数数，联想：11－9＝2，2＋1＝3等。

对于这些方法，不能只停留在罗列的层面上，应在分类梳理的基础上选择一般性的算法，如第①～③种，让学生理解其算理。

可采用先让汇报学生讲算理，再让其他学生复述算理的方式，使学生了解他人算法，修正自己的算法，在原有的基础上得到进步和提高。

（3）在多种算法中教师能否有一定的倾向性？
在诸多算法中，有特殊算法和一般性算法。

特殊算法往往受到数据和个体思维习惯等因素的影响，某种特殊算法对某人或某一题比较适合，但对另一人或另一题可能就不方便了，有的虽然可行，但操作烦琐，效率比较低。

而一般性算法具有通用性和简捷性，一般不受个体和题目的限制，是通法通则。

如上面呈现的“破十法”“连续减”以及“想加算减”都是一般性算法，其中最具优势的是“想加算减”。

其原因是：第一，简便快捷。

因为“破十法”、“连续减”都需要两步，而“想加算减”只需一步。

它对后续学习非常重要，如在多位数减法中，当某一步需要退位时，如果用“破十法”或“连续减”计算，仅退位这一步就需要两步计算，如此下来整个计算步骤就会增加，出错率也会增加，如果用“想加算减”整个计算就变得简捷明了。

第二，沟通了加减法的内在联系。

第三，能帮助学生进一步巩固20以内的进位加法，具有一举两得的功效。

既然“想加算减”有如此多好处，那么教师能否倾向于“想加算减”？回答是当然可以，但要注意处理好算法多样化和一般方法之间的关系。

在开始学习时，几种一般性算法可以由学生根据自己的特点灵活选择，在以后的学习中再采取一定策略，让学生逐步体会“想加算减”的优势，促使学生自发选择和掌握“想加算减”的方法。

2．本册的计算，在熟练程度上有无量化标准？
本册的计算都是最基本的，按照《数学课程标准》第56页评价建议中提出的相关目标，到学期末学生应能比较熟练地进行计算，“20以内的退位减法”绝大多数学生应达到每分钟做8～10题，“100以内的加减法” 绝大多数学生应达到每分钟做2～3题。

教学时，教师可以根据学生的实际情况按此标准适当调整。

3．如何处理练习量不够的问题？
本册计算非常重要但练习量不够，学生要达到计算熟悉仅靠课本上的习题远远不够。

借助一些常规性的口算训练方式，可能对熟练掌握本册计算有所帮助，现简要介绍几种，供参考。

（1）制作口算卡片，经常练习。

可以用硬纸自制，每张纸大约长25厘米，宽10厘米，上面写一道算式，供课堂练习用。

练习时，可以根据一年级儿童的特点，以“开火车”“找朋友”“给小动物找家”“对号入座”等游戏、比赛方式进行。

最好每天坚持课前5分钟的“开火车”口算训练。

（2）印制口算题单。

在32开大小（即课本大小）的纸上印制口算题，每页印3栏，每栏20题（带等号），共60题。

教学时，可以根据进度和需要选择合适的条目进行练习。

练习时，学生可以拿一张纸放在一栏试题的右边，对准每道题直接写出得数。

可以分别记出所用时间，全部算完以后，大家一起对得数，看谁算得又对又快；也可以全班同学同时进行练习，规定一个时间，在同一时间内看谁算得又对又快。

这种练习，不费多少时间，全班每人都能得到练习。

经常做这样的练习，还可记录每个学生的进步情况。

这种题单，可以反复使用。

除此之外，还应经常了解学生的情况，不断采取针对性的措施帮助有困难的学生逐步达到要求。

(二)有关“人民币的认识”的教学问题。

1．小数表示的人民币的计算要求到什么程度？
有老师反映在“人民币的认识”中，用小数表
示的人民币计算，思维步骤较多，学生学习起来比
较困难。

如下图，思维步骤有（1）将1.20元转化
成1元2角，0.8元转化成8角，列出加法算式。

（2）
将1元2角变换成12角。

（3）计算12角＋8角，
等于20角。

（4）将20角变换成2元。

像这样涉及
复名数和进或退位的计算要不要学生掌握？
人民币的认识离不开商品价钱，而在实际生活
中，商品的标价大多是用小数表示的，因此教材出示了用小数表示的人民币。

但考虑到学生还未学习小数，所以这里出现的商品标价只出到角，并且只要求学生知道几点几元（如1.30元）表示几元几角就可以了。

而相应的小数表示的人民币的计算也主要是为认识人民币服务的。

像上面那样的计算，如果学生接受起来困难，可以在练习和测试时降低难度，如限定计算范围，只出单名数的计算（如0.4元＋0.7元）；如果要出复名数的题目，也不要涉及进位或退位，（如1.2元＋0.5元）。

这样调整后，学生接受起来可能会容易些。

2．有些计算题超出所学范围怎么处理？
人民币的计算，有个别题目的计算超出了
所学范围。

如第55页第11题（下图），一袋
大米20元，一桶油39元，问买这两样东西共
要多少钱？解决这一问题，要算20＋39，这样
的计算要到下一单元“100以内的加减法”才
学，计算超出了范围，这样的练习如何处
理？
这样的习题在“100以内的加减法”之前出现确实不妥，在教材修改前，可选用下面两个办法。

一是，改变数据使计算限定在所学范围。

二是将“人民币的认识”整个单元移到“100以内的加法和减法（一）”之后教学。

（三）关于100以内的退位减法中的问题。

教材第68页，通过36－8教学两位数减一位数
的退位减法，呈现了学生摆小棒的计算过程（如下
图）。

左边学生提出疑问：“36－8，6减8不够减
怎么办？”右边学生用“想加算减”的方法算：先从
3捆中拿出一捆打开和原来的6根合起来，变成16
根，算16－8＝8，再算20＋8＝28。

但实际教学中，
如果摆小棒计算，学生不一定用这种方法。

他们通常
用“连续减”和“破十法”。

“连续减”这样想：36－8，先从36根中拿走6根，再打开一捆，拿出2根，最后剩下28根，所以36－8＝28。

“破十法”这样想：36－8，6减8不够减，从3捆中打开一捆拿出8根剩下2根，和原来的2捆零6根合起来，就是28根，所以36－8＝28。

那么现在如何处理学生的实际算法和教材算法的关系？
这一问题实质上是如何处理“连续减”“破十法”和“想加算减”三种方法的问题。

前面我们已经谈到过，“想加算减”在多位数的退位减法中较其他两种算法有明显优势，在脱离操作，计算多位数的退位减法时，用的都是“想加算减”的方法，所以教材主要呈现的是这种方法，提示教师在学生多样化的算法基础上，引导学生学习和掌握这种方法。

但要注意我们主张这种方法，并不是否定学生的算法，学生的真实算法，可以反应出他们对已有知识掌握的程度，有助于对“想加算减”方法的理解和掌握。

因此一定要给予充分的肯定和鼓励，以保护学生积极主动解决问题的积极性和独立思考的良好习惯。

二年级上册
（一）关于加减法估算的问题
1．估算的意义是什么？
笔算、口算、心算和估算是小学生计算的几种主要方式，从计算结果的角度来看，笔算、口算、心算可归入精确计算，而估算则可看作是一种近似计算方法。

估算是对事物的数量或计算的结果做出粗略的推断或预测的过程，也是学生计算能力的重要组成部分。

在以往的小学数学教学中，比较注重学生笔算、口算能力的培养，对估算的要求较低。

但在日常生活中，人们往往又离不开估算，比如：从家到学校估计有2千米，步行上学估计要用15分钟；带了10元钱去买菜，估计只能买一斤猪肉和2斤西红柿，18+23经估算知结果应是40左右……所以《数学课程标准》明确提出“应重视口算，加强估算”“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”“能结合具体情况进行估算，并能解释估算的过程”。

此外，估算和精确计算也并不是完全对立的，二者也是互有联系。

如笔算除法中的试商、粗略估计计算器得到的结果是否正确等都要用到估算；同样，估算时也常常离不开基本口算，并且为了提高估算的精度，调整估算的策略，往往也需要以精确计算的结果作为支撑。

可见，从加减法运算开始逐步培养孩子的估算意识是非常必要的。

2．加减法估算的方法和策略有哪些？
和笔算和口算相比，估算的方法更加多样化，可采用的策略也是极为丰富的。

就加减法估算而言，主要就有：
四舍五入法：48+3450+30=80；
取‘整’法：72－2670－20=50；
前后协调法：54+2450+30=80
……
例如：教科书第31页的例4，要计算100元钱买3种商品够不够，除已经呈现的2种算法外，还可以先估计买茶杯和水壶大约要50元，剩下50元买茶壶够了等等。

学生采用的估算方法不同，得到的结果也会不一致，即使估算的结果相同，所采取的估算策略也可能是不同的。

学生的估算方法，只要合理可行，体现了估算的思想，都应给予鼓励。

不要对学生的估算方法进行过多的评判，尤其不能以是否接近精确结果为依据来判断估算方法的优劣。

另外，教学中还应让学生意识到是否采用估算，以及估算方法和策略的选用也是跟具体的问题密切相关。

如一套水杯24元，一个热水壶28元，问带50元钱够吗？则就不应把24估得太低。

（二）乘法计算中还要强调“几个几”吗？两个因数的地位有何区别吗？
在实验教材里，乘法算式中两个相乘的数都称为“因数”，不作“被乘数”和“乘数”的区分，这样编排主要是为了更好地体现乘法在数学上的含义。

在数学研究中，对“加、减、乘、除”四种运算而言，真正有意义的研究是“加”和“乘”这两类运算，因为“减”和“除”在本质上仅仅是“加”和“乘”的诱导变形，即：在学生学了负数和倒数后，“减”和“除”就已经被吸纳进“加”和“乘”的运算中了。

如：。

在数学上，当一种运算具备“可交换性”（即交换律）时，则各个元素在运算中的地位就是完全平等的，孰前孰后无关紧要，故乘法运算中区分“被乘数”和“乘数”是没有意义的，因为二者在运算过程中的作用和地位是完全对等的，正如加法运算中两个加数彼此地位相等一样。

结合我国小学数学教学的历史和现状，不少老师对下
面的问题还有疑惑：在实际教学中，还要强调“几个几”
吗？我们认为这和两个因数地位是否相等是两个不相关的
问题，理由如下：在描述或说明特定的情景时，是可以而
且应该使用“几个几”这样的词语的，但根据“几个几”
来列乘法算式时，则两种列法都是正确的。

如：该图用文
字描述可为“3个5”，但据此写出乘法算式时，3×5和
5×3都可以。

又如：3+3+3+3+3+3=18，表示6个3相加得18，改写成乘法算式时，3×6和6×3也都对。

二年级下册
（一）有关“解决问题”教学中的问题。

1．“解决问题”教学目标如何把握？
实验教材中没有了以往教材中“使用题”的编排，而安排了若干“解决问题”的单元，很多老师对如何把握这部分的教学要求，以及它和以前的“使用题”教学有何区别等存在疑惑，所以在这里首先说明一下。

从实质上说，“解决问题”教学的目标和“使用题”教学是相同的，都是让学生学会使用所学的数学知识解决简单的实际问题。

但是，在编排上“解决问题”教学和原“使用题”有着很大的不同。

以前的“使用题”是独立于其他知识单独编排的，和其他知识的结合不够紧密，另外，教师们通过长期的实践，在“使用题”教学中积累了丰富的经验，对使用题的解题方法形成了固定的格式，这对于学生掌握解题技巧确实很有帮助。

但是当学生掌握了这种解题模式，就不去分析数量关系了，使得解使用题变成了机械的训练，也就失去了“使用题”教学培养学生思维能力、使用意识等的作用。

实验教材中，“解决问题”的编排是融于其他知识中的，在学生掌握了相关的数学知识后，给学生创设现实的具体情境，让学生运用这些知识来解决一些相应的实际问题。

比如第一单元和第四单元，就是结合计算知识教学使用这些知识解决相应的实际问题；又如在空间和图形的有关单元，教学利用这些知识解决相应的实际问题；等等。

这样就使解决问题教学和各部分数学知识的教学有机的结合在一起，同时从现实情境中提出问题还可以让学生体会数学在实际生活中的使用。

“解决问题”的教学目标是培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，体会数学知识在解决实际问题中的作用。

这里让学生学会分析数量关系，明确解题方法是不变的初衷。

2．如何引导学生学习解决问题的方法和思路?
有些老师提出在教学用两步计算的方法解决问题时，很多学生往往只解决一步就结束了。

要解决这个问题，首先要让学生学会看图，明确题意。

因为现在的实际问题大都用图示来呈现，要让学生能从图中找出有用的信息，为解决问题做好准备。

接下来，引导学生学会分析数量关系。

因为本单元解决的是两步运算的实际问题，在引入时，老师可以从一步过渡到两步。

比如教学例1时，老师可以先从一步计算的实际问题引入，创设这样的情境：原来看木偶戏的有22人，现在走了6人。

让学生根据这些信息自己提出问题：现在看戏的还有多少人？然后自己解决。

接下来，老师再出示又有13人来看戏，再让学生提出问题：现在一共有多少人看戏？学生有了前面的铺垫，知道用剩下的人加上新来的人数就可以了，也就是16+13=29人。

在此基础上，老师再把中间的过渡问题去掉，让学生直接解决：原来看木偶戏的有22人，现在走了6人，又有13人来看戏。

现在一共有多少人看戏？在学生交流分析思路时，老师要强调为什么用两步，在学生汇报用两步计算解决问题的时候，老师要问一问每一步解决的是什么，帮助学生理清思路，培养学生学会分析问题，找到解决问题的方法。

3．书写格式的要求。

教材在用两步计算解决问题的时候，出现了分步计算和列综合算式的两种形式，而且在连减中的不同方法中认识了小括号，在第四单元“表内除法（二）”的解决问题中出现了用递等式的书写形式计算综合算式。

老师也就自然想知道：学生在解决实际问题的时候是不是要求必须列综合算式和使用小括号呢？综合算式是否一定要用脱式计算？还有要不要写答语等。

解决问题教学的重点是培养学生分析数量关系，找出解决实际问题的方法。

至于是用分步列式还是列综合算式，只是书写形式的不同，对解决问题的要求没有影响。

教材在这里介绍了综合算式和小括号，是让学生知道两步计算也可以用综合算式表示，同时也是初步渗透四则运算的计算顺序。

在实际教学中，如果学生没有出现列综合算式解决的，老师可以加以引导和介绍，但对列综合算式或有小括号的综合算式解决问题不作统一要求。

另外，教材中缺少四则运算的练习，为了后续的学习，老师可以适当增加一些这部分的单项练习，让学生通过练习掌握四则运算的计算顺序并初步体会小括号的作用。

关于写答语，在本册教材不作要求，学生可以口答完成。

到了四年级，会作具体的要求。

至于用递等式的脱式计算，教材在这里也只是介绍了这种写法，对学生也不做统一要求，在后面的学习中还会正式教学。

（二）是否要求学生看除法算式说意义。

有老师问：要不要求学生看除法算式说意义，比如：18÷6＝3 表示18里面有3个6还是6个3？
对于这个问题，我们认为对于单独的除法算式，一般不要讨论它的意义，除法的意义最好结合具体的情景来理解。

对于除法的意义，要建立在平均分的基础上，让学生通过操作体会除法的意义。

（三）“万以内数的认识和加减法”教学中的问题。

1．“1000以内数的认识”教学中的问题。

有些老师觉得这部分内容比较简单，认为学生已经有了100以内数的认识，1000以内数的认识中数的组成、计数关系等就不是教学的重点，教学中更重视培养学生的数感，注重联系学生的生活实际，给学生提供更加丰富的素材，而忽略了基础知识、基本技能的培养。

比如有的老师整堂课都在让学生估数，认为这样能培养学生的数感，而把计数单位、数的组成等作为练习让学生自己完成。