【数学】【推荐】历年自主招生考试数学试题大全-2014年哈尔滨工程大学自主招生考试数学试题 扫描版(1)

七校高2017级第三次诊断性考试
数学(文科)试题
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题只有一个选项是符合题目要
求的）
1．已知}{
0322
≤--=x x x A ，{
}
32
+==x y y B ，则=⋂B A （ ）
A ． ⎡⎣
B ．
C ．⎤⎦
D ．⎡⎣
2．复数
i
435
+的共轭复数为（ ） A ．i 43-
B ．
i 5
453+
C ．i 43+
D ．
i 5
453-
3．若函数()x
ax x f 1
2
+
=，则下列结论正确的是（ ） A ．R a ∈∀，函数()x f 是奇函数 B ．R a ∈∃，函数()x f 是偶函数
C ．R a ∈∀，函数()x f 在()+∞,0上是增函数
D ．R a ∈∃，函数()x f 在()+∞,0上是减函数
4．双曲线C 方程为：)0(2
2
2
>=-a a y x ，曲线C 的其中一个焦点到一条渐近线的距离为2，则实数a 的值为（ ） A ．2
B ．2
C ．1
D ．22
5．向量,()()
⊥+⊥+2,,2（ ）
A ．4
B ．
C ．2
D 6．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）
A ．9921
2-
B ．99212+
C ．1010212-
D ．10
10221
+
7．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t (单位：百万元)
经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程5.175.6+=m t ，则p 的值为（ ） A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
8．已知函数()()2cos 2,2f x x πϕϕ⎛
⎫
=+<
⎪⎝
⎭
的图像向右平移
6
π
个单位后得到的函数图像关于坐标原点对称，则函数()f x 在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的最小值为（ ） A ．3 B ．3—
C ．1
D ．—1
9．已知：4sin ,(,)52πααπ=
∈则tan 2
α
的值为（ ） A ．－2
B ．
2
1
C ．
2
1
或2 D ．2
10．函数f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内零点的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A ．28＋6 5
B ．30＋6 5
C ．56＋12 5
D ．60＋12 5
12．设过曲线()x
f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲
线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2-
B ．()1,2-
C ．
[]2,1- D ．()2,1-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 。

13．设y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥--≤+-07053013y x y x y x ，则y x z 24-=的最大值是（ ）
14．阿基米德的“圆柱容球”指出：球与其外切圆柱的面积（体积）之比为 15．（原创）已知关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则函数()ln f x x a x =-在
[]2,x ∈+∞为增函数的概率
16．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且c A b B a 2
1
cos cos =
-，当)tan(B A -取最大值时，角B 的值为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，13b =，且{}n b 的前n 项和为n S ，2
332
27,S a S q a +==. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足3
2n n
c S =
，求{}n c 的前n 项和n T .
D
P
A
C
M
18．（本小题满分12分）
广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征．2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70）
，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数；
（2）估计这40名广场舞者年龄的众数和中位数； （3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40）的概率．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且0
60,DAB PA PD ∠==，M 为CD 的中点，BD PM ⊥.
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）若0
90APD ∠=，四棱锥P ABCD -
A PBM -的高.
20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>(2,0)A 。

（1）求椭圆C 的方程； （2）在x 轴上是否存在定点M ，使得过M 的直线l 交椭圆于B 、D 两点，且34
AB AD k k =-恒成立?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ＋1)ln x . （1）若函数f (x )有两个极值点，求a 的取值范围；
（2）证明：若－1<a <3，则对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f x 1
－f x 2
x 1－x 2
>2.
选作：考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多答，按所做第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上
一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径；
（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.
23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半 轴为极轴
建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为1=ρ，曲线2C 的极坐标方程为.cos 4θρ=
（1）求21,C C 的交点的直角坐标； （2）若直线l 与21,C C 均相切，求l 的方程. 24．（本小题满分10分）
（1）若0≥x ，试比较152-x 和1332++x x 的大小； （2）若0>>b a ，求证：()
.2
b
a b
a a
b b a +>
数 学（文科）答案
1-6 C B D A B A
7-12 D B D C B A
13．16 14．2:3
15．
4
1
16．
6
π 17．解：()1设数列{}n b 的公差为d ，
2
332
27,S a S q a +==
∴ 22318,6q d d q +=+= ，3,3q d == ⋅
4分
13n n a -=，3n b n = ， ⋅
6分
()2由题意得：()332n n n S += ，()332111
22311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭ 11111
1111122334
111
n n
T n n n n =-+-+-+
+
-=-=
+++ ………12分. 18．解：（1）由表中数据知，这40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数为
()0.02+0.03+0.0251040=30⨯⨯ ……………………………………4分
（2）由直方图可知这组数据的众数为55 ……………………………… …6分
因为
0.005+0.01+0.02+0.01510=0.5⨯（） 故中位数为55…………8分 （3）由直方图可知，年龄在[20,30）有2人，分别记为12,a a ，在[30,40）有4人，分别记为
1234,,,b b b b ，现从这6人中任选两人，共有如下15种选法：
()()()()()1211121314,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b ()21,,a b
()()()()()()()()()222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b b b b b b b b b b b b b
其中恰有1人在[30,40）有8种，故其概率为
8
15 …………………12分
19．（Ⅰ）证明：取AD 的中点E ，连接PE ，EM ，AC ．
PD PA =，AD PE ⊥∴． 底面ABCD 为菱形，AC BD ⊥∴， 又EM ∥AC ，BD EM ⊥∴．又PM BD ⊥，⊥∴BD 平面PEM ， 则PE BD ⊥．⊥∴PE 平面ABCD ．又⊂PE 平面PAD ，
∴平面PAD ⊥平面ABCD ．………………………………………………6分
(Ⅱ)解：设a PD PA ==，由︒=∠90APD ，可得a AD 2=
，
a PE 22=
，2232)2(4
3a a S ABCD =⨯⨯=. 由（Ⅰ）可知⊥PE 平面ABCD ，则
ABCD P V -ABCD S PE ⨯⨯=31=3
3
2663223132=
=⨯⨯a a a 223=∴a ，则2==PD PA ，2=AD ．……………………………8分
可得1=PE ，3=
==BM EM BE ，2==PM PB ．
∴4
39
=
∆PBM S ，3=∆ABM S ． 设三棱锥PBM A -的高为h ，则由ABM P PBM A V V --=可得
ABM PBM S PE S h ∆∆⨯⨯=⨯⨯3
1
31．即1313
44
393==h ． 所以三棱锥PBM A -的高为
13
134．……………12分
20．解（1
）由2c a a ==得2
1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=………4分
（2）设1122(,),(,),(,0)B x y D x y M m ,直线l 的方程设为x ky m =+,与椭圆的方程联立得:222(4)240k y kmy m +++-=
………6分
所以212122
242,,44
m km
y y y y k k -=+=-++ 从而121233
4224
AB AD y y k k x x =-
⇒⋅=---,整理得:
22
222
42(34)3(2)3(2)044m km k k m m k k -+--+-=++ ………10分 解得: 2m =(舍去)或1m =
故在x 轴上存在定点M (1,0), 使得过M 的直线l 交椭圆于B 、D 两点，且34
AB AD k k =-恒成立. ………12分
21．解: (1)由题意知，f ′(x )＝2⎝
⎛⎭⎫x －a ＋a ＋1x ＝2·x 2－ax ＋a ＋1x (x >0)，
因为函数f (x )有两个极值点，所以x 2－ax ＋a ＋1
x
＝0有两个不等的正根，
即x 2－ax ＋a ＋1＝0有两个不等的正根，
所以24(1)0010a a a a ⎧-+>⎪
>⎨⎪+>⎩
,解得a >2＋22,所以a 的取值范围是(2＋22,＋∞)．6分
（2）证明：构造函数g (x )＝f (x )－2x ＝x 2－2ax ＋2(a ＋1)ln x －2x ，
则g ′(x )＝2x －2(a ＋1)＋2·a ＋1x ≥4x ·a ＋1
x
－2(a ＋1)＝4a ＋1－2(a ＋1)＝2a ＋1(2－
a ＋1)．
由于－1<a <3,0<a ＋1<2，故g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 从而当0<x 2<x 1时，有g (x 1)－g (x 2)>0，
即f (x 1)－f (x 2)－2x 1＋2x 2>0，故1212
()()
2f x f x x x ->-；
当0<x 1<x 2时，同理可证
1212
()()
2f x f x x x ->-.
综上，对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有
1212
()()
2f x f x x x ->-…12分
22．证明：（1）PD 为切线，ABD PDA ∠=∠∴，又PG PD = ，PGD PDA ∠=∠∴，
AGE PGD ABD ∠=∠=∠∴，︒=∠+∠90BAD AGE ，︒=∠+∠∴90ABD BAD ，故︒=∠90ADB ，AB ∴为直径。

（2）由（1）知AB 为直径且EC AB ⊥，AC AE =∴，由题BD AE =，BAD EDA ∠=∠∴，
︒=∠+∠=∠+∠∴90AGE BAD ADP EDA ，即PD ED ⊥，所以ED 为直径，ED AB =∴
23．解：（1）联立得41cos =θ，4
15sin ±=θ，故交点的直角坐标是.415,41⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛± （2）设l 与x 轴交于A 点，由几何关系易算得()0,2-A ，斜率.3
3
±
=k 故l 的方程为：023=+±y x 。

24．解：（1）作差得：()
()()212232133152
2
2
-+=--=++--x x x x x x x ；
当2>x 时，1331522++>-x x x ，当2=x 时1331522++=-x x x ；
当20<≤x 时，1331522++<-x x x ；
（2）作商得：
()
2
2
b a b a b a b a ab b
a -+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=，因0>>b a 得
1>b
a
且0>-b a ， 所以12
>⎪⎭
⎫
⎝⎛-b
a b a ，得证。