2019高三数学理北师大版一轮课件：第7章 第3节 平行关系

平面
定 如果两个平行平面同时和
理 第三个平面相交，那么它 们的交线平行
α∥β，a α⇒a∥β
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥l
3.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α，b⊥α⇒ a∥b . (2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β .
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
第 章 立体几何 第三节 平行关系
[考纲传真] (教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的 结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练
(对应学生用书第 111 页) [基础知识填充]
D [在 A 中，若 m∥α，m∥n，则 n∥α 或 n α，故 A 错误．在 B 中，若 m α，n β，m∥β，n∥α，则 α 与 β 相交或平行，故 B 错误．在 C 中，若 α⊥β， m∥α，n∥β，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 C 错误．在 D 中，若 α∥β， m∥α，n∥m，n⊆/ β，则由线面平行的判定定理得 n∥β，故 D 正确．]
(2)在△ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点，
∴EF∥BC．
∵EF⊆/ 平面 BCHG，BC 平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G═ ∥EB， ∴四边形 A1EBG 是平行四边形，则 A1E∥GB.
∵A1E⊆/ 平面 BCHG，GB 平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．下列命题中，正确的是( ) A．若 a∥b，b α，则 a∥α B．若 a∥α，b α，则 a∥b C．若 a∥α，b∥α，则 a∥b D．若 a∥b，b∥α，a⊆/ α，则 a∥α
D [A 中还有可能 a α，B 中还有可能 a 与 b 异面，C 中还有可能 a 与 b 相 交或异面，只有选项 D 正确．]
平面与平面平行的判定与性质
如图 7-3-4 所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB， AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
图 7-3-4
[证明] (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线，GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面．
在本例条件下，若点 D 为 BC1 的中点，求证：HD∥平面 A1B1BA．
[证明] 如图所示，连接 HD，A1B， ∵D 为 BC1 的中点，H 为 A1C1 的中点， ∴HD∥A1B. 又 HD⊆/ 平面 A1B1BA， A1B 平面 A1B1BA，
∴HD∥平面 A1B1BA．
[规律方法] 证明面面平行的常用方法 1利用面面平行的定义. 2利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个 平面，那么这两个平面平行. 3利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”. 4利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”. 5利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( ) (2)若直线 a∥平面 α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条．( ) (3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( ) (4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( ) (5)如 果两个平面平 行，那么分别在这 两个平面内的 两条直线平行或 异 面．( )
(2)A 项，作如图(1)所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD∥AB. ∵QD∩平面 MNQ＝Q，∴QD 与平面 MNQ 相交， ∴直线 AB 与平面 MNQ 相交． B 项，作如图(2)所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又 AB⊆/ 平面 MNQ，MQ 平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ.
(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不 平行的是( )
(1)D (2)A [(1)A 项，α，β 可能相交，故错误； B 项，直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C 项，若 m α，α∩β＝n，m∥n，则 m∥β，故错误； D 项，假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 m∥n，∴原命题正确，故 D 项 正确．
图 7-3-1
[解] (1)证明：由已知得 AM＝32AD＝2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TN∥BC， TN＝12BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN═ ∥AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形， 于是 MN∥AT. 因为 AT 平面 PAB，MN⊆/ 平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB.
[跟踪训练] 如图 7-3-3 所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC， A1C1 的中点．
(1)证明：AD1∥平面 BDC1； (2)证明：BD∥平面 AB1D1.
图 7-3-3
[证明] (1)∵D1，D 分别为 A1C1，AC 的中点，四边形 ACC1A1 为平行四边形， ∴C1D1═∥DA，∴四边形 ADC1D1 为平行四边形，∴AD1∥C1D，又 AD1⊆/ 平 面 BDC1，C1D 平面 BDC1，∴AD1∥平面 BDC1.
4．三棱柱 ABC-A1B1C1 中，过棱 A1C1，B1C1，BC，AC 的中点 E，F，G，H 的 平面与平面________平行．
A1B1BA [ 如图所示，连接各中点后，易知平面 EFGH 与平面 A1B1BA 平行．]
5．(教材改编)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系是________．
[规律方法] 1.证明线面平行的常用方法 1利用线面平行的定义无公共点. 2利用线面平行的判定定理a⊆/ α， ，a∥b⇒a∥α. 3利用面面平行的性质定理α∥β， ⇒a∥β. 4利用面面平行的性质α∥β，a⊆/ β，a∥α⇒a∥β. 2.利用判定定理判定线面平行，注意三条件缺一不可，关键是找平面内与已知直 线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作 一平面找其交线.
C 项，作如图(3)所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又 AB⊆/ 平面 MNQ，MQ 平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ. D 项，作如图(4)所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ. 又 AB⊆/ 平面 MNQ，NQ 平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ.故选 A．]
l∥α，l 平面 β， α∩β＝b⇒l∥b
2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面．
(2)判定定理与性质定理 文字语言
判 一个平面内的两条 定 相交直线与另 一个 定 平面平行，则这两 理 个平面平行
图形表示
符号表示
a α，b α，a∩b＝ P ， a∥β ， b∥β ⇒ α∥β
(2)因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，
所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA．
如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.
由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5.
由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，
故 S△BCM＝12×4× 5＝2 5.
所以四面体
平行 [如图所示，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF，则 EF 是△BDD1 的中位 线，
∴EF∥BD1， 又 EF 平面 ACE， BD1 平面 ACE， ∴BD1∥平面 ACE.]
(对应学生用书第 112 页) 与线面平行相关命题的真假判断
(1)已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列命题正确 的是( ) A．若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若 α，β 不．平．行．，则在 α 内不．存．在．与 β 平行的直线 D．若 m，n 不．平．行．，则 m 与 n 不．可．能．垂直于同一平面
[规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各 个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟 悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. 2.1结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. 2特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否 定结论或用反证法推断命题是否正确.
直线与平面平行的判定与性质 ◎角度 1 直线与平面平行的判定
(2016·全国卷Ⅲ)如图 7-3-1，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD， N 为 PC 的中点．
(1)证明：MN∥平面 PAB； (2)求四面体 N-BCM 的体积．
[跟踪训练] (2017·唐山模拟)若 m，n 表示不同的直线，α，β 表示不同的平面， 则下列结论中正确的是( ) 【导学号：79140229】 A．若 m∥α，m∥n，则 n∥α B．若 m α，n β，m∥β，n∥α，则 α∥β C．若 α⊥β，m∥α，n∥β，则 m∥n D．若 α∥β，m∥α，n∥m，n⊆/ β，则 n∥β
3．设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m α，“m∥β ”是“α∥β ”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B [当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交，因而 m∥β⇒/α∥β； 当 α∥β 时，α 内任一直线与 β 平行，因为 m α，所以 m∥β.综上知，“m∥β ” 是“α∥β ”的必要而不充分条件．]
1．直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面 α 没有公共点，则称直线 l 与平面 α 平行．
(2)判定定理与性质定理 文字语言
判 若平面外 一条直线与此平
定 面内的一条直线 平行，则
定 该直线平行于此平面
理
图形表示
符号表示
l⊆/ 平面 α，b l， l∥b⇒l∥α
性 一条直线和一个平面平行， 质 则过这条直线的任一平面 定 与此平面的交线 与该直线 理 平行
(2)连接 D1D， ∵BB1∥平面 ACC1A1，BB1 平面 BB1D1D，平面 ACC1A1∩平面 BB1D1D＝D1D， ∴BB1∥D1D， 又∵D1，D 分别为 A1C1，AC 的中点， ∴BB1＝DD1， 故四边形 BDD1B1 为平行四边形，∴BD∥B1D1，又 BD⊆/ 平面 AB1D1，B1D1 平 面 AB1D1，∴BD∥平面 AB1D1.
N-BCM
的体积
VN-BCM＝31×S△BCM×P2A＝4
3
5 .
◎角度 2 线面平行性质定理的应用 如图 7-3-2 所示，CD，AB 均与平面 EFGH 平行，E，F，G，H 分别
在 BD，BC，AC，AD 上，且 CD⊥AB.求证：四边形 EFGH 是矩形．
图 7-3-2
[证明] ∵CD∥平面 EFGH， 而平面 EFGH∩平面 BCD＝EF， ∴CD∥EF. 同理 HG∥CD，∴EF∥HG. 同理 HE∥GF，∴四边形 EFGH 为平行四边形， ∴CD∥EF，HE∥AB， ∴∠HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角． 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四边形 EFGH 为矩形．