大学物理竞赛辅导-力学部分2015

N kx ( m m ) a 1 2 c
k ac x m 1 m 2
f
N
x l
kl acmax m 1 m 2
F
f m2
18
②质心 的最大速度 m2过平衡位置时的速度
k m1 m2
F
1 2 1 2 kl m v 2max 2 2
v 2 max
k l m2
=0
然坐标下切、法向加速度， * 极坐标下径向速
度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运
动，角量描述，相对运动
2
1.运动学中的两类问题
(1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要 是利用求导数的方法。 dv dr dt dt
r ( t )
v ( t )
a ( t )
v
(2)已知质点加速度函数a＝a(x，v，t)以及初始条件，建 立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。 t v t dv a dv adt 0 dt v0 t0 t0 t r t d r
mB a 0
6
解(1) 非惯性系，惯性力 m g m a ( m m ) a B B 0 A B
m B a (ga 0) m Am B
mA
(2)仅考虑B与桌面的摩擦， mA/ mB 车厢具有向右的均匀a0,求物体B相对于 车厢不动时a0的取值范围。 设向下
mB a 0
m g m a m a 0 B B 0 A 0
常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。
11
解：由变质量的运动方程：
( m d m ) ( v d v ) m v u d m m g d t
此处
u 0
dm dv v m mg dt dt dm kmv dt dv 2 kmv m mg dt dv g kv 2 dt
π 2
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例（19th,4）质量分别为m1 和m2 的 两物块与劲度系数为 k 的 轻 弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水平外 力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系统质心 C 可获得的最大加速度为 ，可获得的最大速度值为 。 解： ①质心 的最大加速度 k m1 m1 m2 F


v v adt
d t

dr vdt
r 0 t0
r r0 vdt
t0
3
例1 一艘船以速率ｕ驶向码头P，另一艘
船以速率v自码头离去，试证当两船的距 离最短时，两船与码头的距离之比为： 设航路均为直线，为两直线的夹角。
2 2 2
A
P x l
u v u cos : u v cos
1 2 2
1
. .2
H
v 2gH
第十九届题(4分) S
v 2gy
d V vS d t
23
23届填空5
26届填空2 31届填空5
四、刚体力学
基本内容： 刚体运动学，角量描述，定轴转动定理，转动惯量， 转动动能定理，对轴的角动量定理及守恒定律，刚 体平面运动。
24
例：平行轴，垂直轴定理，转动动能定理 一个半径为R，质量为m的硬币，竖直地立放在
2 MgR /( M m ) ，它对碗底的正压
力大小为
3M 2m mg M
。
8
（31th,3)如图所示，长l的轻细杆两端连接质量相同的小球A、B，
开始时细杆处于竖直方位，下端B球据水平地面高度记为h。某刻 让B球具有水平朝右初速度 （其大小 v0
2v0
v0
其上方A球具有水平朝右初速度

y B v
证：设任一时刻船与码头的距离为x、y，两船的距离为l， 则有 对ｔ求导，得
l x y 2 xy cos
d l d x d y d y d x 2 l 2 x 2 y 2 cos x 2 cos y d t d t d t d t d t


将
dl dx dy 0 u, v 代入上式，并应用 d t dt dt

8g 5R
8Rg 5
vc R
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关于刚体的平面运动 23届填空4 •人、梯质量M, 人爬到中间, 的临界值？
A
FA
基本方法：力平衡 +力矩平衡
x: F F A B
y: 2 Mg F B
2 Mg
60° FB B
FB
l1 3 Mg F l B点为轴 2 A 22 2
3 6
作为求极值的条
4
件，则得
0 ux v y x v cos yu cos
x u v cos y v u cos
由此可求得
x v ucos y u v cos




即当两船的距离最短时，两船与码头的距 离之比为
v u cos : u v cos
解 以 m0和v0 为飞船进入尘 埃前的质量和速度，m和v为 飞船在尘埃中的质量和速度， 那么由动量守恒有
v m
t dt 此外，在 t 时间内，由于飞船在尘埃间 作完全非弹性碰撞，而粘贴在宇宙飞船上尘埃的 质量即飞船所增加的质量为
13
m v 0 0 mv
d m Sv d t v v 2 d
m B a0 g mA m B
mA mB
设向上
m a m g m a 0 A 0 B B 0
m B a0 g mA m B
0
矛盾！ a0
7
m B a0 g mA m B
例 (31th,2)如图所示，水平桌面上静放着质量为M，内半
径为R的半球面形薄瓷碗，碗的底座与桌面间无摩擦。将 质量为m的小滑块在图示的碗边位置静止释放，随后将会 无摩擦的沿碗的内表面滑下。小滑块到达最低位置时， 它相对桌面的速度大小为
设匀质薄球壳的质量面密度为
d m 2 R sin d
2
16
y Rsin Rd
由图可知匀质薄球壳 的质心处于
R
2 y 2 R si d n 2 2 R

O
d
Rcos
x
y C
y d m m

cos 所以上式为 由于 yR
1 y R cos sin d R C 0 2 即质心位于 y R 2j C R 2 处,其位置矢量为 r
的尘埃这些尘埃相对相对惯性参考系是静止的有一质量为m0的宇宙飞船以初速v0穿过宇宙尘埃由于尘埃粘贴在飞船上致使飞船的速度发生变化求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系为便于计算设想飞船的外形是面积为s的圆柱体
大学物理竞赛辅导 一力学部分
1
一．质点运动学
基本内容：
位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自
(3)应指明系统的范围，以便区分内力和外力。 对于内力还要分清保守内力和非保守内力，并 判断守恒条件是否成立。
22
例：水平放置柱形桶盛水高度为H，底部有一 小孔，水在小孔中的流速v =?
伯努利方程
p gH 0 0 2 1 p g 0 v 0 2
1 2
p gy v 常量
速度增加到右边为0时，加速度为0，速度不再变 化。
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例 : 设在宇宙中有密度为 的尘埃，这些尘埃相对相对 惯性参考系是静止的，有一质量为m0的宇宙飞船以初速v0 穿过宇宙尘埃 ，由于尘埃粘贴在飞船上，致使飞船的速 度发生变化，求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系， 为便于计算，设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体。
5
r r r 位移关系： 0 速度关系：v v u
2.相对运动及惯性力
* f惯性力 m a
例2：车厢内水平桌面… (1)车厢具有向上的均匀a0,忽略所有摩擦， 求物体B相对于车厢的加速度。 mA (2)仅考虑B与桌面的摩擦， mA/ mB 车厢具有向右的均匀a0,求物体B相对于 车厢不动时a0的取值范围。
克尼希定理:
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例： 求半径为R的匀质半薄球壳的质心。
解 ： 选如图所示的坐标轴，由于球壳对Oy轴对称， 质心显然位于图中的Oy轴上，在半球壳上取一圆环， 圆环的平面与Oy轴垂直。 y
Rsin Rd
圆环的面积为 d s 2 R sin R d 圆环的质量为
R
O

d
Rcos x
km 2 m v m v 1 1 2 2 l v ( ) c max max m1 m 2 m m 1 2
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例：（11th,12）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点 开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以 纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平 面上从缺口处以速度 v 进入框内，图中v 的方向的角 =45° ，设 小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（１） 小球必将通过缺口离开框架。（２）框架每边长为a，则小球从进 入框架到离开框架，相对于水平面的位移为： 2 2am v 解：（ 1 ） ( M m )v
m v 0 0
从而得
Sv d t v d v
m v 0 0
2
由已知条件上式积分为

1 2

(
v v0
dv v3

1 2 v0
S m 0v0

)
t 0
dt t v0
14
1 v2

)
0
S m 0v0
1 2
v (
m0 2 Sv 0 t m
显然，飞船在尘埃中飞行的时间愈长，其速度就愈低。
r d m 2、质心系统 r C m
P m v C —质点系的总动量
F m a 外 C — 质心运动定理
dLc Mc dt
L L r p O c c
1 2 E E K m c KC 2 1 m c2 质心的动能—整体随质心运动 2 E KC 质点系相对于质心的动能
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纯滚动（无滑动的滚动）
质心的速度为 v c
质心的加速度为 a c
相对于质心系的角加速度为
相对于质心系的角速度为
接触点对地的速度为零
vc R
ac R
vc
A B
28
例： （18th, 8）半径为R 的圆环静止在水平地面上。 t ＝0 时 刻开始以恒定角加速度 沿直线纯滚动。任意时刻 t > 0，环 上最低点 A 的加速度的大小为 , 最高点 B 的加速度 的大小为 。
(3)若遇到变质量系统，要正确分析出t时刻和(t＋dt)时刻的 动量。
10
n
1、可变质量系统
例3、一雨滴的初始质量为 m 0 ，在重力的影响下，
由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，
其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度
dm kmv dt 式中为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为
的乘积：
v
2 a 2

v
v

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（2）
M r r M m m r c (M m )
. m V rC v c m M
. . . M r M mr m rc ( M m)
v

v
小 球在框架内运动的时间为 T
2a 2 2 T4 a 2v v
基本内容：质点及质点系动量定理，动量守恒定律，
质心及其运动定理
(1) 若 F i 外 0 ，则系统无论在哪个方向动量都守恒； n i1 若 F i 外 0 ，但系统在某一方向上的合外力为零，则该 i1 方向上动量守恒。 (2) 碰撞、打击问题中，在 Δt→0 时，只能忽略恒定的有限 大小的主动外力 (例如重力)，而随碰撞而变化的被动外 力(例如支持力)一般是不能忽略的。
在T 时间间隔内பைடு நூலகம்质心的位移为
2 2ma m 22 v S v T v a c (m M )v m M v
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三、功与能
基本内容：
功，动能定理，功能原理，机械能守恒定律
(1)一对内力功之和仅由它们的相对位移决定，
这一结论给解题带来许多方便。
(2)势能函数的形式与势能零点的选取有关。
则h可取的最小值 地过程中其水平位移s= = hmin
。假设而后A、B同时着地，
时， B从开始运动到着 hmin
A 2V0 V0 h
gl ）， 2
，取 。
l
B
2 2 2 h ( gl 4 v ) /( 8 v ) mi n 0 0
3 S ( 1 )l / 2 2
9
二、动量定理及守恒定律
粗糙的水平桌面上．开始时处于静止状态，而后硬 币受到轻微扰动而倒下．求硬币平面与桌面碰撞前 (即硬币平面在水平位置)时质心的速度大小．(已 知质量为m,半径为R的圆盘对沿盘直径的轴的转动 惯量为)
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解：对硬币，由动能定理有
而 可得
1 2 mgR J 2 1 2 5 2 2 J mR mR mR 4 4