三次数学危机及其影响
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但是，新的系统的相容性尚未证明。因此， 但是，新的系统的相容性尚未证明。因此， 庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久， 庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久， 形象地评论道： 为了防狼， 形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱 笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼” 笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。 这就是说，第三次数学危机的解决，并不是 这就是说，第三次数学危机的解决， 完全令人满意的。 完全令人满意的。
理发师悖论
罗素悖论的通俗化——“理 理 罗素悖论的通俗化 发师悖论” 发师悖论”：某村的一个理 发师宣称， 发师宣称，他给且只给村里 自己不给自己刮脸的人刮脸。 自己不给自己刮脸的人刮脸。 理发师是否给自己刮脸？ 问：理发师是否给自己刮脸？
罗素
最后，这些既属于自己而又不属于自己 这些既属于自己而又不属于自己 自己而又不属于 的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， ，便成了集合论的矛盾， 起第三次数学危机 数学危机。 引发起第三次数学危机。
危机的解决
彻底解决这一危机是在19世纪， 彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系 19世纪 的扩张。直到人类认识了实数系， 的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决， 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事 情了
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七 世纪。 世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派 内部提出的， 内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学 派的外部、贝克莱大主教提出的， 派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。 无穷小量”说法的质疑引起的。
三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光 ． 数学基础”的曙光——集合论 集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 世纪，数学从各方面走向成熟。 世纪 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论） 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 整个数学的基础在哪里？正在这时， 世纪末， 世纪末 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。 人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
参考网址：香港皇家数学
数学人文精神论坛
维基百科
危机的消除
危机出现以后， 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论， 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
危机的实质： 危机的实质： 是无理 2 数，全体整数之构成的 是有理数系，有理数系 是有理数系， 需要扩充， 需要扩充，需要添加无 理数. 理数.
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一 危机。他采用了一个十分巧妙的关于“ 危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法， 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 而是用几何的方法去处理不可公度比 不可公度比。 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了， 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法， 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中， 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。 学的基础。
1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了 年 策梅洛（ ） 条公理组成的集合论体系， 系统。 由7条公理组成的集合论体系，称为 系统。 条公理组成的集合论体系 称为Z-系统 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 年 弗兰克（ ）又加进一条公理， 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的 系统。 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 系统 后来，还有改进的 系统。 后来，还有改进的ZFC-系统。 系统 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过 程，悖论消除了。 悖论消除了。
微积分的奠基人
莱布尼茨
牛顿
所以， 所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机， 无穷小”引发的第二次数学危机， 实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作 为微积分学的基础。 为微积分学的基础。
无穷小量 无穷小量
例如：微积分有时把无穷小量看作 例如：微积分有时 无穷小量看作 分有 无穷小量 无穷小量 = 0 无穷小量 无穷小量 ≠ 0 由于这些问题，引起了数学界的极大争论， 由于这些问题，引起了数学界的极大争论， 就就是所谓【第二次数学危机】 就就是所谓【第二次数学危机】.
数学历史之： 数学历史之： 三次数学危机及其影响
一. 第一次数学危机
一. 第一次数学危机
1.危机的起因 1.危机的起因： 第一次数学危机是由 不 能写成两个整数 2 之比引发的。 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
例：如边长为1的正方形，对角线的 边长为 的正方形，对角线的 的正方形 度就不能以整数之比表示。 整数之比表示 长度就不能以整数之比表示。
罗素悖论
年出版了《 的原理》 但罗素在1903年出版了《数学的原理》，书 罗素在 年出版了 数学的原理 中提到著名的罗素悖论 罗素悖论， 数学基础产生了 中提到著名的罗素悖论，使数学基础产生了 因而震动了整个数学 个数学界 就是所说 裂纹，因而震动了整个数学界，这就是所说 第三次数学危机 数学危机。 的第三次数学危机。
但是，新的系统的相容性尚未证明。因此， 但是，新的系统的相容性尚未证明。因此， 庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久， 庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久， 形象地评论道： 为了防狼， 形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱 笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼” 笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。 这就是说，第三次数学危机的解决，并不是 这就是说，第三次数学危机的解决， 完全令人满意的。 完全令人满意的。
理发师悖论
罗素悖论的通俗化——“理 理 罗素悖论的通俗化 发师悖论” 发师悖论”：某村的一个理 发师宣称， 发师宣称，他给且只给村里 自己不给自己刮脸的人刮脸。 自己不给自己刮脸的人刮脸。 理发师是否给自己刮脸？ 问：理发师是否给自己刮脸？
罗素
最后，这些既属于自己而又不属于自己 这些既属于自己而又不属于自己 自己而又不属于 的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， ，便成了集合论的矛盾， 起第三次数学危机 数学危机。 引发起第三次数学危机。
危机的解决
彻底解决这一危机是在19世纪， 彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系 19世纪 的扩张。直到人类认识了实数系， 的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决， 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事 情了
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七 世纪。 世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派 内部提出的， 内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学 派的外部、贝克莱大主教提出的， 派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。 无穷小量”说法的质疑引起的。
三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光 ． 数学基础”的曙光——集合论 集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 世纪，数学从各方面走向成熟。 世纪 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论） 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 整个数学的基础在哪里？正在这时， 世纪末， 世纪末 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。 人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
参考网址：香港皇家数学
数学人文精神论坛
维基百科
危机的消除
危机出现以后， 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论， 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
危机的实质： 危机的实质： 是无理 2 数，全体整数之构成的 是有理数系，有理数系 是有理数系， 需要扩充， 需要扩充，需要添加无 理数. 理数.
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一 危机。他采用了一个十分巧妙的关于“ 危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法， 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 而是用几何的方法去处理不可公度比 不可公度比。 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了， 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法， 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中， 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。 学的基础。
1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了 年 策梅洛（ ） 条公理组成的集合论体系， 系统。 由7条公理组成的集合论体系，称为 系统。 条公理组成的集合论体系 称为Z-系统 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 年 弗兰克（ ）又加进一条公理， 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的 系统。 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 系统 后来，还有改进的 系统。 后来，还有改进的ZFC-系统。 系统 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过 程，悖论消除了。 悖论消除了。
微积分的奠基人
莱布尼茨
牛顿
所以， 所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机， 无穷小”引发的第二次数学危机， 实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作 为微积分学的基础。 为微积分学的基础。
无穷小量 无穷小量
例如：微积分有时把无穷小量看作 例如：微积分有时 无穷小量看作 分有 无穷小量 无穷小量 = 0 无穷小量 无穷小量 ≠ 0 由于这些问题，引起了数学界的极大争论， 由于这些问题，引起了数学界的极大争论， 就就是所谓【第二次数学危机】 就就是所谓【第二次数学危机】.
数学历史之： 数学历史之： 三次数学危机及其影响
一. 第一次数学危机
一. 第一次数学危机
1.危机的起因 1.危机的起因： 第一次数学危机是由 不 能写成两个整数 2 之比引发的。 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
例：如边长为1的正方形，对角线的 边长为 的正方形，对角线的 的正方形 度就不能以整数之比表示。 整数之比表示 长度就不能以整数之比表示。
罗素悖论
年出版了《 的原理》 但罗素在1903年出版了《数学的原理》，书 罗素在 年出版了 数学的原理 中提到著名的罗素悖论 罗素悖论， 数学基础产生了 中提到著名的罗素悖论，使数学基础产生了 因而震动了整个数学 个数学界 就是所说 裂纹，因而震动了整个数学界，这就是所说 第三次数学危机 数学危机。 的第三次数学危机。