第四章+能控性和能观测性-对偶原理研究报告

PC的构成
r个线性无关列向量 任意n-r个列向量
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4.5 线性系统的结构分解
则
x Ax Bu y Cx
其中： APC1APC
A 11
A 12
r
B
PC1B
B1 0
r n-r
0
A22 nr
r nr
C C P C 1 C 2 c
r n-r
x
xc
x
c
xc Rr --能控状态子向量
好处
对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析 十分方便。
能控标准型对于 状态反馈比较方便
能观标准型对于 状态观测器的设计 及系统辩识比较方便
8
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的 A 和 B 表现为能控的标准形式。
能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的 A 和 C 表现为能观的标准形式。
且能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函 数矩阵相同 （换言之，不完全能控系统中，传递函数矩阵只 描述能控子系统的特性）。
G ( s ) C ( s I A ) 1 B C ( s I A ) 1 B
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4.5 线性系统的结构分解
能控子系统的 传递函数矩阵
由前面知识，已知，分 解后的能控子系统：
设系统的状态空间表达式为：x Axbu y Cx
若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换
xTo~x
将系统变换为能观标准形 x Ao x bou
y co x
变换矩阵为：
C 1 0
T o T 1A 1 T A n 1 T 1
T1
CA
0
CA
n 1
1
22
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
C ~ C o 0 T 00 1
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例4.14 试判断如下系统是否能观。如果能观，则
变换成能观标准形。
x1 0
1 2x,
y1 1 2x
解：1）判断能观性
UO
能观性矩阵：
c cA
1 1
1 2
0
2）求变换矩阵
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TT1
A1T21
3 4
ycT x 11 2 2 1 4 3 x01 x
G1T(s) 2、互为对偶的系统，其特征值相同。
sIA 2sIA 1TsIA 1
5
4.3 对偶原理
二、对偶原理
系统 1(A 1,B 1,C 1)与 2(A 2,B 2,C 2)是互为 对偶的两个系统， 则 1 的能控性等价于 2 的 能观性, 1 的能观性等价于 2的能控性。或者 说，若 1是状态完全能控的（完全能观的）， 则 2是状态完全能观的（完全能控的）。
可写出其状态空间表 x Axbu
达式：
y Cx
能控标准形
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
0
0
b
0
1
C b 0 ,b 1 b n 1
12
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
设系统的状态空间表达式为： x Axbu y Cx
0
0
1
0
APAP1
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1
0
b P b 0
s A I s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0
C C - 1 C 0 P C 1C 2 C n 1
1
14
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
且线性变换矩阵：
9
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线 性变换
关键：在于寻找相应的变换矩阵。 理论依据：非奇异变换不改变系统的自然模
态及能控、能观性
注意：只有系统完全能控（能观）才能化 成能控（能观）标准型
10
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
一、能控标准形
如果一个系统的状态空间表达式为：
非能观 标准型
x AxbuxTo~x y Cx
x~ y
CA~~x~x~
b~u
能观标 准型
0 0 0 0 a0
A~
To1ATo
1 0
0 1
0 0
0 0
a1
a2
b0
b~
T
o
1
b
b1
b2
b n 1
0 0 0 1 an1
s A I s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0
c
c
y2 2xc 39
4.5 线性系统的结构分解 练习：为了进一步理解在构造变换阵列时，
第n-r个列向量是任意选取的（只需保证 变换阵为非奇异的前提条件下）
若对例4.15，选取 PC3101T
x1 0 1 0 0 x1 0
x2
0
0
1
0
x2
0
xn1
0
0
0
0u 1 xn1
能 控 标
xn a0 a1 a2 an1xn 1 准
形
y C 0C 1C 2 C n 1 x
则，该系统一定完全能控。
11
回顾：s)bn s n 1s n a 1n 1b sn n 2 1s n 2 a 1 b s1 s a0 b0
✓ 采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态 变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分 成四类子系统，这些统称为系统的结构分解。
把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来，
将有利于更深入了解系统的内部结构。
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4.5 线性系统的结构分解
xc0
x
x
c
0
x
x
cc c0
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
例4.13 试将下列系统变换为能控标准形
1 1 1 x1 0x1u
y1 0x
解：（1）先判别系统的能控性
Qc b
Ab11
0 1
rankc Q2
∴ 系统是能控的
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
（2）计算非奇异变化矩阵
Qc1b
Ab111
0 1
x c 0 --能控能观
x c0
--能控不能观
x c o --不能控能观
x c o --不能控不能观
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4.5 线性系统的结构分解
一、按系统的能控性分解
.
x AxBu
设线性定常系统为
y Cx
其能控性判别矩阵，raQ nckrn系统不能控。
存在非奇异变换矩阵 PC ，对系统进行状态变换
x PC x
P1
1
0
1 1
19
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
（3）求得能控 标准形：
x Ac x bcu
y Cc x
20
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
二、 系统的能观测标准形
如果一个系统的状态空间表达式为：
x1 0 0 0 0 a0 x1 b0
x2
1 0 0 0
a1
x2
c
c
y2
2x c
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4.5 线性系统的结构分解
1 0 0 若改P选 c 1 1 0同理可得分解后方的程动：态
0 1 1
能控子系统：
xc
0 1
1 1 1 2xc 2xc 0u
y1 1 1xc
不能控子系统:
x c x c y2 2xc
xc 10
1 1 1 2xc 2xc 0u
y11 1xc x x
b1
0 xn1 xn 0
1 0
0 0
0 0 1
a2
xn1
b2
u
能观
an1 xn bn1 标准形
y 000 1 x则系统必定完全能观测。
G (s)bn s n 1s n a 1n 1b sn n 2 1s n 2 a 1 b s1 s a0 b0
21
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
xc A11xc A12xc B1u
y1 C1xc
35
4.5 线性系统的结构分解
例4.15、试对系统进行能控性分解。
0 0 1 1
x. 1 0 3x1u y0 1 2x
0 1 3 0
解： ranQ kc rankb Ab A2b
1 0 1 rank1 1 323
0 1 2
所以系统不能控。 36
1能控 2能观 1能观 2能控
6
4.3 对偶原理 例如：能观标准形---显然能观的
能控标准形——显然能控的
7
4.4 线性系统的能控标准形 和能观标准形
由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表 达也不是唯一的。
在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态 空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标 准型、约当标准型 ）
其中：
p 1 0 0 0 0 1 b A b A 2 b A n 1 b 1
证明： PAAP (由 APAP1推得 )
15
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
PAAP
P1AP2
P2AP1A2P3
P n2AP 1A n2P n 1
Pn1AP 1An1Pn
16
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
3
4.3 对偶原理 1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。
G 1(s) C 1(sI A 1) 1B 1
G 2 ( s ) C 2 ( s I A 2 ) 1 B 2 B 1 T ( s I A 1 T ) 1 C 1 T
B 1 T [ s I ( A 1 ) 1 ] T C 1 T [ C 1 ( s I A 1 ) 1 B 1 ] T
Modern Control Theory
第四章 线性控制系统的能控性 和能观测性
1
第四章 线性控制系统的能控性和能观测性
本章主要内容 ➢ 线性连续系统的能控性 ➢ 线性连续系统的能观性 ➢ 对偶原理 ➢ 线性系统的能控标准形与能观标准形 ➢ 线性系统的结构分解 ➢ 传递函数矩阵与能控性、能观性的关系
为非奇异的条件下任意选择。
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4.5 线性系统的结构分解
u
B1
xc
1/ s
xc
xc A11xcA12xcB1u
A 11
y1C1xc
A12
C1
y1
y
x
x c
A22xc
c
1/ s
x
c
C2
y2
y2 C2xC
A 22
按能控性分解的系统分解结构图
33
4.5 线性系统的结构分解
注意！系统按能控性分解后：
1）能控性不变； 2）传递函数矩阵不变；
x c
y2 C2xC
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4.5 线性系统的结构分解
关键：非奇异变换阵的构造
P c P 1 P 2 P rP r 1 P n
n个列向量的求法如下： 1）前 r 个列向量 P 1,P 2, ,P r是能控性判别矩阵
Q c B A B A n 1 B 中的r个线性无关的列；
2）另外 (n r) 个列向量 Pr1, ,Pn，在确保 Pc
4.5 线性系统的结构分解
若选取 1 0 2
PC1 1 0 0 1 1
1 2 2 PC -11 31 1 2
1 1 1
通过x PC x
则
x PC1APCxPC1bu yCC Px
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4.5 线性系统的结构分解
2维能控子系统：
xc 10
1 1 1 2xc 2xc 0u
y1 1 1xc
1维不能控子系统： x x
若系统是完全能控的， Q C [B A B A n 1 B ] n
则必定存在非奇异线性变换 xP1x 或 xPx
使其变换成能控标准形：
•
x Axbu
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
x AxbuxP1x x Axbu
y Cx
y Cx
能控标 准形
非能控 标准形
0 1 0 0
2
4.3 对偶原理
一、线性定常系统的对偶关系
r维输入, m维输出
的n阶系统
设有两个系统，一个系统 1 x1 A1x1 B1u1
另一个系统 2 x2 A2x2 B2u2 y1 C1x1
y2 C2x2
m维输入, r维输出
的n阶系统
若满足下列条件，则称 1与 2是互为对偶的。
A 2 A 1 T , B 2 C 1 T , C 2 B 1 T
25
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
本节小结
1、能控标准型、能观标准型的基本形式； 2、牢固掌握将系统的传递函数或状态方程和输出方
程转化为能控标准型、能观标准型的方法； （重点：变换矩阵） 3、注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准
型、能观标准型 （即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控， 而在化能观标准型需先判断系统是否能观）。
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4.5 线性系统的结构分解
系统中只要有一个状态变量不能控，则称系统不能控；
不能控系统一般含有能控和不能控两种状态变量。
只要有一个状态变量不能观，则称系统不能观；
不能观测系统一般也有能观和不能观两种状态变量。
因此，从能控性、能观性角度出发：
✓ 状态变量可分成：能控能观状态变量、能控不能观状 态变量、不能控能观状态变量、不能控不能观状态 变量四类。
x Rn-r-不能控状态子向量
c
30
4.5 线性系统的结构分解
将变换后的动态方程按前r维和后n-r维展
开，则有: xcA11xcA12xcB1u xc A22xc
yC 1xcC 2xcy1y2
其中，r维能控子系统: xc A11xcA12xcB1u y1C1xc
n-r维不能控子系统:
x c
A22