甘肃省定西市2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

甘肃省定西市2025届高考仿真模拟数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)
D ．(,1)
(3,)-∞+∞
2．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）
A ．
10
2
B ．10
C ．
52
D ．5
3．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）
A ．625-
B ．627-
C ．63-
D ．962-
4．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
A ．()21
2x
x f x -=
B ．()()2
1x
f x x =-
C ．()ln f x x =
D ．()1x
f x xe =-
5．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标
原点，满足，线段交双曲线于点.若为
的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
6．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14
m n
+的最小值为（ ） A ．
97
B ．
53
C ．
43
D ．
1310
7．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．2
8．若函数32
()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ）
A ．-3
B ．3
C ．-2
D ．2
9．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦；②函数4f x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3
π
；其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．
1
4
B ．
154
C ．
26
5
D ．
15
11．已知集合{}|0A x x =<，{}
2
|120B x x mx =+-=，若{}2A
B =-，则m =（ ）
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8
12．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）
A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值
B ．10年来全球新增装机容量连年攀升
C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GW
D ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为________.
14．已知数列{}n a 满足12a =，121n n
a a n n
+-=+，若22n
a n
b ={}n b 的前n 项和n S =______．
15．定义{},min ,,a a b a b b a b
≤⎧=⎨
>⎩，已知()1x
f x e m =-，()()1
g x x =-()221mx m m +--，若
()()(){}min ,h x f x g x =恰好有3个零点，则实数m 的取值范围是________.
16．已知平面向量(),2a m =，()1,3b =，且()
b a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小为________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2()x
x
f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
18．（12分）设椭圆2
2:12
x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，
，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.
(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 19．（12分）已知函数()()ln()x
f x x a x a e x =++++. （1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程； （2）讨论函数()()x
h x f x e x =--的单调性；
（3）当0a =时，若方程()()x
h x f x e x m =--=有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12ln()ln 21x x +>-.
20．（12分）已知函数
()212,()f x x x g x x m x m =--+=+--.
（1）解不等式()8f x >；
（2）12,x R x R ∀∈∃∈使得12()()f x g x =，求实数m 的取值范围.
21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，
11
222
AB BC AD PB ==
==，E 为PB 的中点，F 是PC 上的点.
（1）若//EF 平面PAD ，证明：EF ⊥平面PAB . （2）求二面角B PD C --的余弦值.
22．（10分）已知函数3
()3,()1ln f x x ax e g x x =-+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）用max{,}m n 表示,m n 中较大者，记函数()max{(),()},(0)h x f x g x x =>.若函数()h x 在()0,∞+上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
由0ax b ->的解集，可知0a >及1b
a
=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.
由0ax b ->的解集为1,
，可知0a >且
1b
a
=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =， 因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞，
故选：A. 【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 2、B 【解析】
利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 【详解】
依题意2223z i i i i =+--=-，所以z ==故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题. 3、D 【解析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x
y +，
设x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+
2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->恒成立，
222222|2||67|sin cos 89962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--，
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-故选：D ．
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 4、B 【解析】
根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】
根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；
D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；
对于A 选项， ()100
10099992
f -=⨯与函数图象不一致；
B 选项符合函数图象特征.
故选：B 【点睛】
此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法. 5、C 【解析】 计算得到，
，代入双曲线化简得到答案.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，
故
，
，故
，代入双曲线化简得到：
，故
.
故选：. 【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 6、D 【解析】
根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解. 【详解】
22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，
当1,6m n ==时，
1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，1419
12m n +=，
当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，1425
6
m n +=，
14m n +最小值为13
10
. 故选:D. 【点睛】
本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 7、C 【解析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故
.
故选：. 【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8、A 【解析】
对函数()f x 求导,可得(1)0
(1)2
f f =⎧⎨='⎩,即可求出,a b ,进而可求出答案.
【详解】
因为3
2
()3f x ax x b =++,所以2
()36f x ax x '=+,则(1)360
(1)32f a f a b '=+=⎧⎨
=++=⎩
,解得2,1a b =-=,则3a b -=-. 故选:A. 【点睛】
本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 9、C 【解析】
化()f x 2)4x π
-
可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得
353[
,]444
x π
ππ
-
∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由
()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2
T
x x -=可判断④.
【详解】
由题意，())4f x x π
=
-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
)]
44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，353[
,]4
44
x π
ππ
-
∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为
23
T π
=，故④正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 10、D 【解析】
连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出cos
EG BEG BE ∠==
二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案. 【详解】
连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，则BE DE ==
BD =，
在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ，
则EG =
=cos
EG BEG BE ∠=
=
所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-， 即：31
cos 2155
BED ∠=⨯
-=，
所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15
. 故选：D.
【点睛】
本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 11、B 【解析】
根据交集的定义，{}2A B =-，可知2B -∈，代入计算即可求出m .
【详解】 由{}2A
B =-，可知2B -∈，
又因为{
}
2
|120B x x mx =+-=， 所以2x =-时，2
(2)2120m ---=， 解得4m =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查交集的概念，属于基础题. 12、D 【解析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择. 【详解】 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量
158.1
197.2
237.8
282.9
318.7
370.5
434.3
489.2
542.7
594.1
中国累计装机装机容量逐年递增，A 错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B 错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW ，选项C 错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
45
【解析】
根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】
设底面边长为2x ，则斜高为1x -102x ⎫<<⎪⎭
，
所以此四棱锥体积为2143V x =
⋅= 令()4
5
1202h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭
， 令()()3
344102250h x x x x x '=-=-=，
易知函数()h x 在2
5
x =时取得最大值. 故此时底面棱长425
x =. 故答案为：45
. 【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题.
14、
144
3
n +- 【解析】
n 1n a a 2n 1n +-=+,求得n a
n
的通项，进而求得2n a 2n =,得n b 通项公式，利用等比数列求和即可.
【详解】
由题n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，∴n 1a a n 122n n 1=+-⨯=,∴2n a 2n =,∴2n n b 2=,∴()
n n 1n 41444S 143
+--==-,故答案为n 144
3
+- 【点睛】
本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题. 15、12,
2e ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭2,12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
根据题意，分类讨论求解，当0m <时，根据指数函数的图象和性质()1
x
f x e m
=-
无零点，不合题意；当0m >时，令()1
0=-
=x
f x e m
，得ln x m =-，令 ()()1g x x =-()2210+--=mx m m ，得1x =或 2211
12m m x m m m
--=-=+-，再分当1121m m +->，1121m m +-<两种情况讨论求解.
【详解】
由题意得：当0m <时，()1
x
f x e m
=-
在x 轴上方，且为增函数，无零点， ()()1g x x =-()221mx m m +--至多有两个零点，不合题意；
当0m >时，令()1
0=-
=x
f x e m
，得ln x m =-，令 ()()1g x x =-()2210+--=mx m m ，得1x =或 221112m m x m m m
--=-=+-，
如图所示：
当
1121m m +->时，即202m <<时，要有3个零点，则ln 1m -<，解得122
m e <<；
当
1121m m +-<
时，即m >时，要有3个零点，则1ln 12m m m -<+-， 令()1
12ln f m m m m
=
+-+， ()2
2222
17211214820
m m m f m m m m m ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'=--+=-=-<， 所以()f m
在,2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
是减函数，又()10f =， 要使()0f m >，则须1m <
，所以
12
m <<. 综上：实数m
的取值范围是1e ⎛ ⎝
⎭⎫⎪⎪⎝⎭
.
故答案为：1,2e ⎛⎫
⎪ ⎪
⎝
⎭
2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题. 16、
4
π
【解析】
由()
b a b ⊥-，解得4m =，进而求出2
cos ,2
a b =，即可得出结果. 【详解】
解：因为()b a b ⊥-，所以()()1,31,1130m m ⋅--=--=，解得4m =，所以
4,21,3cos ,2
a b ⋅=
=
，所以向量a 与b 的夹角的大小为
4
π． 都答案为：4
π. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
；（2）1λ≥.
【解析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +==，计算函数单调区间得到值域，得到答案. （2）1x ，2x 是方程
12x
x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+---+< ⎪⎝⎭
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【详解】
（1）由题可知2()(1)20x
x
f x x e ae
'=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+=
=， ()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x x a e
+=的两根， ∴1210x x -<<<，则1
12200x x x x λλ
+>⇔>-
>
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立，
设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫
=+--
-+ ⎪⎝⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥. 【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18、 (Ⅰ
) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】
(Ⅰ)
计算得到故A ⎛- ⎝⎭
，1,2B ⎛-- ⎝⎭
，C ⎛ ⎝⎭
，1,D ⎛ ⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到21222212242122
21k m
x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，计算AB =
，同理CD =，根据AB CD =得到22m n =，得到证明.
(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故11
2PQ k k k
=-≠-，得到结论. 【详解】
(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N
，故1,
2A ⎛- ⎝⎭
，1,2B ⎛-- ⎝
⎭
，1,2C ⎛ ⎝⎭
，1,2D ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD
的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2
212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，故()22222
214220k x k mx m k +-+-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，故212222
122421
2221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，
12AB x =-==，
同理可得CD =，
AB CD =
=， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.
(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则2
21
112x y +=，222212
x y +=，
相减得到
()()()()1212121202
x x x x y y y y +-+
+-=，即20a kb +=，
同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11
222PQ d b d b k c a kd kb k k
--=
==-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、（1）310x y -+=；（2）当1a x a e -<<
-时，()h x 在1,a a e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是减函数；当1x a e >-时，
()h x 在1,a e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数；（3）证明见解析. 【解析】
（1）当1a =时，()(1)ln(1)x f x x x e x =++++，求得其导函数 ()f x ' ，(0)(0)f f '
，，可求得函数()f x 的图象在
0x =处的切线方程；
（2）由已知得()()()ln()()x
h x f x e x x a x a x a =--=++>-，得出导函数()ln()1h x x a '
=++，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；
（3）当0a =时，()ln h x x x =，()ln 1h x x =+'，由（2）得()h x 的单调区间，以当方程()h x m =有两个不相等的
实数根12,x x ，不妨设12x x <，且有1211
0,1x x e e <<<<，10m e -<<，构造函数()()21,0H x h x h x x e e ⎛⎫⎛⎫=--<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证. 【详解】
（1）当1a =时，()(1)ln(1)x
f x x x e x =++++，
所以 ()ln(1)11ln(1)2x
x
f x x e x e '
=++++=+++ ，(0)3,(0)1f f '
∴==， 所以函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=；
（2）由已知得()()()ln()()x
h x f x e x x a x a x a =--=++>-，()ln()1h x x a '
∴=++，令()0h x '=，得1
x a e
=
-， 所以当1a x a e -<<
-时，()'0h x <，当1
x a e >-时，()0h x '>， 所以()h x 在1,a a e
⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
上是减函数，在1,a e ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
上是增函数； （3）当0a =时，()ln h x x x =，()ln 1h x x =+'，由（2）得()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
上单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以11
()h x h e e
⎛⎫
≥=-
⎪⎝⎭
，且0x →时，()0h x →，当x →+∞时，()h x →+∞，(1)0h =， 所以当方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，且有1211
0,1x x e e <<<<，10m e
-<<，
构造函数()()2221=ln ln ,0H x h x h x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----<<
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()22ln H x x x e ⎛⎫
'=+- ⎪⎝⎭
，
当10x e <<时，2
22212x x e x x e e ⎛⎫
+- ⎪⎛⎫-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭，
所以()0H x '<， ()H x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，且10H e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()100H x x e ⎛
⎫∴><< ⎪⎝⎭，
由1
10,x e << ()()11120H x h x h x e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()()()121212121,,,h x h x h x x x h x e e e e ⎛⎫
∴=>->-> ⎪⎝⎭
在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， ()21121222
,,ln ln 21x x x x x x e e
∴>
-+>∴+>-. 所以12ln()ln 21x x +>-.
【点睛】
本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题. 20、（1）(),5(11,)-∞-⋃+∞；（2）54
m ≤-或 5
4m ≥.
【解析】
（1）分段讨论得出函数()f x 的解析式，再分范围解不等式，可得解集；
（2）先求出函数()()f x g x ，的最小值，再建立关于m 的不等式，可求得实数m 的取值范围. 【详解】
（1）因为()3,21()21231,200213,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=--+=---<<⎨⎪
⎪
-≥⎪⎩
， ， 所以当2x -≤时，385x x ->⇒<-； 当1
22
x -<<时，3183,x x -->⇒<-∴ 无解； 当1
2
x ≥
时，3811x x ->⇒>； 综上，不等式的解集为(),5(11,)-∞-⋃+∞；
（2）
3,2115()31,2()()22213,2x x f x x x f x f x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=---<<∴≥=-⎨⎪
⎪
-≥⎪⎩
，，
又55
()2,2,24
g x x m x m m m m =+--≥-∴-≤-∴≥，
54m ∴≤-或 5
4
m
≥.
【点睛】
本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题. 21、（1）证明见解析（2 【解析】
（1）因为//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证出//BC 平面PAD ，利用点线面的位置关系，得出//BC PM 和
//EF BC ，由于PA ⊥底面ABCD ，利用线面垂直的性质，得出
PA BC ⊥，且AB BC ⊥，最后结合线面垂直的判定定理得出BC ⊥平面PAB ，即可证出EF ⊥平面PAB .
（2）由（1）可知AB ，AD ，AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求出所需向量，分别求出平面BDP 和平面CDP 的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出B PD C --的余弦值. 【详解】
（1）证明：因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ，
因为P ∈平面PBC ，P ∈平面PAD ，所以可设平面PBC 平面PAD PM =，
又因为BC ⊂平面PBC ，所以//BC PM . 因为//EF 平面PAD ，EF ⊂平面PBC ， 所以//EF PM ，从而得//EF BC . 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BC ⊥. 因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥. 因为PA
AB A =，所以BC ⊥平面PAB .
综上，EF ⊥平面PAB .
（2）解：由（1）可得AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在 直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.
因为11
222
AB BC AD PB ==
==，所以2223PA PB AB =-=， 则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,23)P ，
所以(2,4,0)BD =-，(2,0,23)BP =-，(2,2,0)CD =-，(2,2,23)CP =--.
设()111,,m x y z =是平面BDP 的法向量，
由0,0,m BD m BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩
取1111240,
20,x y x -+=⎧⎪⎨
-+=⎪⎩
取1x =
(23,2)m =. 设()222,,n x y z =是平面CDP 的法向量，
由0,0,n CD n CP ⎧⋅=⎨⋅=
⎩得22222220,
220,x y x y -+=⎧⎪⎨
--+=⎪
⎩
取2x =，得(3,3,2)n =， 所以13190
cos ,190
m n m n m n
⋅=
=
即B PD C --. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算，还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
22、（1）函数()f x
的单调递增区间为(,
-∞
和)+∞，单调递减区间为(；（2）21
3
e a +>. 【解析】
（1）由题可得()2
33f x x a '=-,结合a 的范围判断()f x '的正负,即可求解；
（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解 【详解】
（1）()2
33f x x a '=-,
①当0a ≤时,0f
x （）≥, ∴函数()f x 在∞∞（
-，+）
内单调递增；
②当0a >时,令()3(0
f x x x '=
=,解得x
=x
=当x <x >,()
0f x '>
,则()f x 单调递增, 当x <<
,()0f x '<
,则()f x 单调递减,
∴函数()f x
的单调递增区间为(,-∞
和)+∞,单调递减区间为(
（2）（Ⅰ）当(0,e)x ∈时,()0,()()0,g x h x g x >>所以()h x 在(0,)e 上无零点； （Ⅱ）当x e =时,3
()0,()3g e f e e ae e ==-+,
①若3
()30f e e ae e =-+,即213
e a +,则e 是()h x 的一个零点；
②若3
()30f e e ae e =-+>,即2e 13
a +<,则e
不是()h x 的零点
（Ⅲ）当(,)x e ∈+∞时,()0<g x ,所以此时只需考虑函数()f x 在(,)e +∞上零点的情况,因为
22()333e 3f x x a a '=->-,所以
①当2a e 时,()0,()f x f x '>在(,)e +∞上单调递增。

又3()3f e e ae e =-+，所以
（ⅰ）当2e 1
3
a +≤时,()0,()f e f x 在(,)e +∞上无零点；
（ⅱ）当22e 1
e 3
a +<≤时,()0f e <,又332(2)86860
f e e ae e e e e =-+-+>,所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一
个零点；
②当2a e >时,令()0f x '=,得x a =由()0f x '<,得e x a <<()0f x '>,得x a >所以()f x 在()e a 上单
调递减,在(,)a +∞上单调递增,
因为333()330f e e ae e e e e =-+<-+<,32222
(2)868620f a a a e a a e a e =-+>-+=+>,所以此时()f x 在
(,)e +∞上恰有一个零点,
综上,21
3
e a +> 【点睛】
本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想。