高等几何(前言)

平行公设的反面是：
✓ 过已知直线外的已知点，有无穷条直 线平行于已知直线。
✓ 过已知直线外的已知点，没有直线平 行于已知直线。
这两种假设都不能产生矛盾，而 且导致了两种非欧几何：
✓罗巴切夫斯基几何
✓黎曼几何
非欧几何的诞生改变了几何学是什 么的理解。
✓几何学是研究现实物质世界的空间 形式的一门学科。
几何学发展的 4个时期
Ⅰ ➢萌芽时期
（-公元前5世纪）
Ⅱ、Ⅲ ➢欧氏几何时期 （公元前5世纪
-18世纪）
Ⅳ ➢欧氏几何、非欧
几何并存时期
（19世纪-）
❖高等几何是什么？
➢ 我们这里将要学习的高等几何，其主 要内容是射影几何，它是从绘画几何 发展而来的。19世纪末，克莱因发现 可以用射影几何给出欧氏几何和非欧 几何的模型，于是射影几何与几何基 础的研究有了密切的联系。但是我们 不讨论后者，仅仅学习射影几何本身。
❖学习高等几何需要哪些准备知 识？
➢高等代数中矩阵、线性方程组的有 关内容，解析几何的有关内容。
❖我们将学习哪些内容？
➢ 射影几何的基本概念和基本定理。 （第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ章）
➢ 克莱因的几何学观点。（群论观点， 第Ⅳ章）
➢ 在射影平面上讨论二次曲线。（第Ⅴ、 Ⅵ章）
欧氏几何的前4条公设很容易被人们接 受，但第五公设（平行公设）从一开 始就受到人们的怀疑，人们怀疑它可 不列为公设，而作为其他公设的推论。
人们用两种方式做这个努力：
✓一种方式是正面的，试图直接从其 它公设、公理推出第五公设；
✓一种方式是反面的，假设第五公设 不成立，试图找出矛盾。
前一种尝试均以失败告终，后一种 尝试则导致了非欧几何的诞生。
✓ 现在的几何将所有与感性的感觉有关的东 西去掉，只保留它的逻辑骨架。这种抽象 不是凭空的想象，而是实践经验的总结,而 且我们可以用不同的具体材料把 它充实起 来，从而抽象的结果能指导更多的实践。
✓ 黎曼几何最初仅仅是一种自洽的数学理论， 后来被爱因斯坦作为基本的数学工具运用 而创立了广义相对论。半个多世纪过去了， 黎曼几何仍在现代数学与物理学中起着重 要的作用。
高等几何
前言
❖为什么要学习高等几何？
➢ 学习高等几何能使我们对几何学的理 解上一个台阶，使我们以更高的视角 解读中学的几何教学内容，有益于中 学的几何教学；还能提高我们的逻辑 思维能力、空间想象能力从而促进其 他学科的学习。
❖几何学是怎样发展而来的？
➢ 几何学产生于上古时期，古代劳动人民在 解决生产中遇到的测量、建筑、天文等问 题时不断总结各种几何图形的规律性，从 而在实践中获取了大量的、零散的几何知 识，我们称之为经验几何学。当经验几何 学积累了庞大数量的知识材料后，有系统 地把这些材料加以整理就成为不可避免了， 于是几何学便走进了理论的领域。
就国外而言，几何学的发展可因 其质变分为4个时期:
➢第一时期是几何学作为数学几 何知识传到以逻辑著称的希腊，这 样，不成系统的几何知识与逻辑相 结合，几何有了质变。
➢第二时期是几何成为数学的独立学 科（公元前5世纪-17世纪）
在希腊，从公元前7世纪到3世纪， 几何学在毕达哥斯拉、德莫克里特、 柏拉图等哲学学派手中发展起来， 以抽象和逻辑化为其特点。
✓现实世界的某些其它形式，由于它 们与空间形式类似，也成了几何学 的研究对象。
✓ “空间”有了更广泛的涵义，产生了新而又 新的“空间”和它们的几何：罗氏空间、 黎曼空间、拓扑空间等等。
✓ 初等几何基础的建立——1899年希尔伯特 的《几何基础》的问世。他指出一个公理 体系构成一种几何的基础，公理体系是由 若干个基本概念和若干条公理构成，并且 满足相容性、独立性、完备性三点要求， 满足一种公理体系要求的所有元素的集合 就构成这种几何的空间。
通常我们把欧几里德给出的几何体系 称为欧氏几何。它有5个公设：
1、从任意点到另一点可以作直线； 2、直线可以无限延长； 3、以任意点为中心，可用任意长度为半
径作圆；
4、所有直角皆相等； 5、过直线外的已知点，只能作一条直线
平行于已知直线。
➢第三时期是因资本主义萌芽促成欧 洲文艺复兴而引起了几何学的重新 繁荣。（17世纪-18世纪）
欧几里德（前330-前275）在前人的基 础上写成《几何原本》。
《几何原本》是历史上第一本体系比较完整 的数学理论著作。他把几何学建立在定义、 公设、公理等几个最初的假设上，以这些 假设为基础，运用逻辑的定义和推理方法 导出后面的一切定义和定理，把历史上积 累的庞大而又分散的几何知识，用逻辑的 “链子”编排成为比较系统的概念和理论 体系。它的一般内容和叙述方式的特征与 现在通用的几何教科书非常相近。
笛卡尔、费马引进坐标法解决几何问 题，产生解析几何。
牛顿和莱布尼兹建立了微积分，后来 人们将微积分引入几何产生了微分几 何
由于绘画和建筑的需要，产生了画法 几何等等。
新的几何学使用了全新的方法，研究 了更普遍的图形，但是几何学的基础 没有变，仍旧跟欧氏几何的基础一样。
➢ 第四时期是从罗巴切夫斯基（17931856）建立了第一种非欧几何开始的。