直线的交点坐标及距离定律知识题(含答案解析)

直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）
一、单选题
1．已知x,y 满足{y −2≥0,x+y−8≤0x−2≥0
时,z =ax +by (a ≥b >0)的最大值为2,则直线ax +by −1=0过定点（）
A ．(3,1)
B ．(−1,3)
C ．(1,3)
D ．(−3,1)
2．椭圆上的点到直线x +2y −√2=0的最大距离为( )．
A ．3
B ．√11
C ．2√2
D ．√10
3．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC 的顶点A (2,0),B (0,4)，若其欧拉线的方程为x −y +2=0，则顶点C 的坐标为（）
A ．(−4,0)
B ．(−3,−1)
C ．(−5,0)
D ．(−4,−2)
4．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( )
A ．1
B ．-3
C ．1或53
D ．-3或17
3
5．已知直线x +my +6=0和(m −2)x +3y +2m =0互相平行，则实数m 的取值为（ ）
A ．—1或3
B ．—1
C ．—3
D ．1或—3
6．在空间直角坐标系O −xyz 中，若点A(1,2,1)，B(−3,−1,4)，点C 是点A 关于xOy 平面的对称点，则|BC|=
A ．√22
B ．√26
C ．√42
D ．5√2
7．已知直线(a −1)x +3y +7=0与直线2x +y −3=0互相平行，则a =（）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
8．已知双曲线C ：x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为
直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，且P 满足|PF 1|−|PF 2|=2b ，则C 的离心率e 满足（ ）
A ．e 2−3e +1=0
B ．e 4−3e 2+1=0
C ．e 2−e −1=0
D ．e 4−e 2−1=0
9．已知点P(m,n)在直线2x +y +1=0上运动，则m 2+n 2的最小值为（）
A ．√55
B ．√5
C ．15
D ．5
二、填空题
10．已知直线m 的倾斜角为π3，直线l ：kx −y =0，若l//m ，则实数k 的值为__________． 11．经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为__________．
12．设P(n,n 2)是函数y =x 2图象上的动点，当点P 到直线y =x −1的距离最小时，n =____.
13．与直线3x +4y =5平行，并且距离等于3的直线方程是__________．
14．已知直线(a +3)x +y −4=0和直线x +(a −1)y +4=0互相垂直，则实数a 的值为__________；
15．直线2x −y −1=0与直线6x −3y +10=0的距离是________．
16．已知直线l 1:ax −2y −1=0，直线l 2:√3x +y −2=0，则l 1过定点_____________； 当a =________时，l 1与l 2平行．
17．已知实数x 1,x 2,y 1,y 2满足x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2+22√2的最大值为____________
18．点(−1,1)关于直线x −y −1=0的对称点是______.
三、解答题
19．如图：已知A,B 是圆x 2+y 2=4与x 轴的交点，P 为直线l:x =4上的动点，PA,PB 与圆的另一个交点分别为M,N.
（1）若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程；
（2）求证：直线MN 过定点.
20．已知椭圆C:x 2a 2+y 2
b 2=1 (a >b >0)，F 1 、F 2是其左右焦点，A 1 、A 2为其左右顶点，B 1 、B 2为其上下顶点，若∠B 1F 2O =π6，|F 1A 1|=2−√3
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过A 1 、A 2分别作x 轴的垂线l 1 、l 2，椭圆C 的一条切线l:y =kx +m (k ≠0)，l 与l 1 、l 2交于M 、N 二点，求证：∠MF 1N =∠MF 2N ．
21．已知△ABC 的三个顶点A(m,n)，B(2,1)，C(−2,3)．
(Ⅰ)求BC 边所在直线方程；
(Ⅱ)BC 边上中线AD 的方程为2x −3y +6=0，且S △ABC =7，求m ，n 的值．
22．光线通过点A(2,3)，在直线l:x +y +1=0上反射，反射光线经过点B(1,1).
(1)求点A(2,3)关于直线l 对称点的坐标；
(2)求反射光线所在直线的一般式方程．
23．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=．
（1）若12l l ⊥，求m 的值．
（2）若12//l l ,m n 的值．
24．选修4−4:坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =2+√7cosαy =√7sinα
(α为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cosθ,直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R ). (Ⅰ) 求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ) 若直线l 与C 1,C 2在第一象限分别交于A ,B 两点,P 为C 2上的动点,求ΔPAB 面积的最大值.
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的正半轴交于点A ，以点A 为圆心的圆A ：(x −2)2+y 2=r 2(r >0)与圆O 交于B ，C 两点.
（1）当r =√2时，求BC 的长；
（2）当r 变化时，求AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值； （3）过点P (6,0)的直线l 与圆A 切于点D ，与圆O 分别交于点E ，F ，若点E 是DF 的中点，试求直线l 的方程.
26．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为34
-
． （1）求直线l 的方程．
（2）求与直线l 平行，且过点()2,3的直线方程．
（3）求与直线l 垂直，且过点()2,3的直线方程．
27．如图，已知三角形的顶点为A (2,4)，B (0，－2)，C (－2,3)，求：
(1)直线AB 的方程；
(3)AB的中位线所在的直线方程．
参考答案
1．A
【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系，再代入直线ax+by−1=0由直线系方程得答案．
详解：由z=ax+by(a≥b>0)，得y=−a
b
x+
z b (−a
b
≤−1)，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点B(6,2)处取得最大值，6a+2b=2，
即：3a+b=1，直线ax+by−1=0过定点(3,1).
故选A.
点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．
2．D
【解析】∵椭圆方程为x2
16+y2
4
=1,∴可设椭圆上的任意一点P坐标为(4cosα,2sinα),∴P到直线
x+2y−√2=0的距离d=√2|
√12×22=|4√2sin(α+
π
4
)−√2|
√5
∵−4√2≤4√2sinα(α+
π4)≤4√2,∴0≤|4√2sin(α+
π
4
)−√2|
√5
≤√10,∴d的最大值为√10，故选D.
3．A
【解析】
【分析】
设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联
立求得点C的坐标【详解】
设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为(2+m
3,4+n
3
)代入欧拉线方程得：
2+m 3−4+n
3
+2=0整理得：m-n+4=0 ①
AB的中点为（1，2），k AB=4−0
0−2=−2AB的中垂线方程为y−2=1
2
(x−1)，
即x-2y+3=0．联立{x−2y+3=0
x−y+2=0解得{x=−1
y=1
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A
【点睛】
本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
4．D
【解析】
【分析】
由题得
22
=4，解方程即得k的值.
【详解】
由题得
√52+(−12)2=4，解方程即得k=-3或17
3
.
故答案为：D 【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点P(x 0,y 0)到直线l:Ax +By +C =0的距离d =00√A 2+B 2.
5．B
【解析】
【分析】
利用两直线平行的等价条件求得实数m 的值.
【详解】
∵两条直线x+my+6=0和（m ﹣2）x+3y+2m=0互相平行，
∴{1×3−m (m ﹣2)=02m −6（m ﹣2）≠0
解得 m=﹣1，
故选：B ．
【点睛】
已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，
l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，
则l 1//l 2⇔{A 1B 2−A 2B 1=0A 1C 2−A 2C 1≠0
， l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0．
6．D
【解析】
【分析】
由对称性先求点C 的坐标为(1,2,−1)，再根据空间中两点之间距离公式计算|BC|。

【详解】
由对称性可知，点C的坐标为(1,2,−1)，
结合空间中两点之间距离公式可得：|BC|=√(−3−1)2+(−1−2)2+(4+1)2=5√2.故选D.
【点睛】
本题考查了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于基础题。

7．B
【解析】
【分析】
根据它们的斜率相等，可得﹣a−1
3
=﹣2，解方程求a的值．
【详解】
∵直线(a−1)x+3y+7=0与直线2x+y−3=0互相平行，
∴它们的斜率相等，
∴﹣a−1
3
=﹣2，
∴a=7，
故选B.
【点睛】
本题考查两直线平行的性质，两直线平行可得斜率相等．
8．D
【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求得M的坐标，由|PF1|−|PF2|=2b，得点P在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求．
详解：
由{y=b a x
x2+y2=c2，得{x2=a2
y2=b2
，即P(a,b)，由|PF1|−|PF2|=2b，，即√(a+c)2+b2−
√(a −c)2+b 2=2b ，由b 2=a 2−c 2，e =c
a ， 化简得c 4−a 2c 2−a 4=0，即e 4−e 2−1=0， 故选D.
点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 9．C
【解析】分析：m 2+n 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得结果.
详解：∵点P (m,n )是直线2x +y +1=0上的任意一点， 又m 2+n 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方， ∴m 2+n 2的最小值为原点到直线距离的平方， ∴所求最小值为(
√22+1
2
)2
=1
5，故选C. 点睛：本题考查点到直线的距离公式，意在考查转化与划归思想，是基础题. 10．√3.
【解析】分析：根据两直线平行的等价条件可得斜率k 的值． 详解：∵直线m 的倾斜角为π
3， ∴直线m 的斜率为tan π
3=√3. 又l//m ， ∴k =√3．
点睛：本题考查两直线平行的性质，即两直线的斜率存在时，则两直线平行等价于两直线的斜率相等． 11．350x y +-=
【解析】设所求直线为30x y m ++=，代入()2,1得5m =-，故所求直线方程为
350
x y
+-=，填350
x y
+-=．
12．1
2
【解析】
【分析】
由点到直线的距离公式求得n为何值时，距离最小．【详解】
P(n,n2)是函数y=x2图象上的动点，
则点P到直线y=x−1的距离为d=|n−n2−1|
√2=|(n−
1
2
)2+3
4
|
√2
∴当n=1
2
时，d取得最小值．
故答案为：1
2
．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．
13．3x+4y+10=0或3x+4y−20=0.
【解析】分析：设所求直线为3x+4y+m=0，直线3x+4y=5即为3x+4y﹣5=0，运用两平行直线的距离公式，得到m的方程计算即可得到所求方程．
详解：设所求直线为3x+4y+m=0，
直线3x+4y=5即为3x+4y﹣5=0，
则由平行直线的距离公式可得d=|m+5|
5
=3，
解得m=10或﹣20．
则有所求直线为3x+4y+10=0，或3x+4y﹣20=0．
故答案为：3x+4y+10=0，或3x+4y﹣20=0．
点睛：这个题目考查的是平行线间的距离公式，考查了学生计算能力，较为基础，在使用两
平行线的距离公式前，先将x,y的系数化为一样的.
14．-1
【解析】
【分析】
利用直线垂直的性质求解．
【详解】
∵直线(a+3)x+y−4=0和直线x+(a−1)y+4=0互相垂直，
∴（a+3）×1+1×（a-1）=0，
解得a=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
两直线位置关系的判断：l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：
垂直：A1A2+B1B2=0；
平行：A1B2=A2B1，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！
15．13
15
√5
【解析】分析：把直线方程2x−y−1=0化为6x−3y−3=0，利用两平行线之间的距离公式，即可求解结果．
详解：由直线2x−y−1=0，可化为6x−3y−3=0，
则直线6x−3y−3=0和直线6x−3y+10=0之间的距离d=
√62+(−3)2=13
15
√5．
点睛：本题主要考查了两平行线之间的距离的求解，其中熟记两平行线之间的距离公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．
16．(0,−1
2)−2√3
【解析】分析：将直线l 1的方程变形为ax −(2y +1)=0，令x =0且2y +1=0可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得a 的值． 详解：直线l 1的方程变形为ax −(2y +1)=0， 令{x =02y +1=0
，解得{x =0y =−12 ， 所以直线l 1过定点(0,−1
2)． 当l 1与l 2平行时，则有√3=−2，
解得a =−2√3，
即a =−2√3时，l 1与l 2平行．
点睛：直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成f (x,y )+kg (x,y )=0（k 为参数）的形式，解方程组{f (x,y )=0g (x,y )=0 可得定点的坐标．
17．√3+√2 【解析】 【分析】
根据题意，转化为圆上两个点到定直线距离和的最大值问题。

根据两个点形成的夹角为60°，即可求得最大值。

【详解】
由题意可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 因为x 1x 2+y 1y 2=1
2，即
OA
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =12，因为r=1，设OA 与OB 形成夹角为α， 所以OA
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |cosα=12，即α=π3
11√2
22√2
即为A 、B 到直线l:x +y −1=0距离的和
易知当AB ∥l 时，A 、B 到直线l:x +y −1=0距离的和取得最大值 此时原点O 到AB 的距离为d =√12−(12
)2
=
√32
O 到直线l 的距离为d =√12−(√22
)2
=√2
2
所以A 与B 到直线l 的距离和为2×(√32+√2
2
)=√3+√2
【点睛】
本题考查了点与圆、点与直线的综合问题，关键分析出两个点的位置关系，在哪个位置时取得距离的最大值，属于难题。

18．(2,−2) 【解析】 【分析】
利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果. 【详解】
设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ） 则MN 中点的坐标为（
x−12
，
y+12
），
利用对称的性质得：K MN =y−1
x+1=﹣1，且x−12
﹣
y+12
﹣1=0，
解得：x=2，y=﹣2， ∴点N 的坐标（2，﹣2）， 故答案为（2，﹣2）． 【点睛】
本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直关系、中点在轴上两个条件以及待定系数法求对称点的坐标． 19．(1) y =−2x +2(2)(1,0)
【解析】
【分析】
（1）直线PA方程为y=x+2，由{y=x+2
x2+y2=4
解得M（0，2），直线PB的方程y=3x-6，
由{y=3x−6 x2+y2=4解得N(8
5
,−6
5
)，用两点式求得MN的方程．
（2）设P（4，t），则直线直线PA的方程为y=t
6(x+2),直线PB的方程为y=t
2
(x−2)
，解方程组求得M、N的坐标，从而得到MN的方程为y=8t
12−t2x−8t
12−t2
，显然过定点（1，
0）．
【详解】
(1)直线PA方程为y=x+2, 由{y=x+2
x2+y2=4
解得M(0,2),
直线PB的方程y=3x−6,由{y=3x−6
x2+y2=4解得N(8
5
,−6
5
),
所以MN的方程y=−2x+2
(2)设p(4,t),则直线PA的方程为y=t
6(x+2),直线PB的方程为y=t
2
(x−2)
{x2+y2=4
y=t
6
(x+2)
得M(72−2t2
36+t2
,24t
36+t2
),同理N(2t2−8
4+t2
,−8t
4+t2
)
直线MN的斜率k=
24t
36+t2
−−8t
4+t2
72−2t2
36+t2
−2t
2−8
4+t2
=8t
12−t2
直线MN的方程为y=8t
12−t2(x−2t2−8
4+t2
)−8t
4+t2
,
化简得:y=8t
12−t2x−8t
12−t2
所以直线MN过定点(1,0)
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题．20．（1）x2
4
+y2=1；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)解方程组{c=√3
2
a
a−c=2−√3 a2=b2+c2即得椭圆的方程.(2)先证明k MF
1
⋅k NF
1
=
−2+√32+√3
=
m2−4k2
−1=−1，所以∠MF1N=π
2
，同理可得∠MF2N=π
2
，所以∠MF1N=∠MF2N.
【详解】
(1)由题设知{c=√3
2
a
a−c=2−√3
a2=b2+c2
解得a=2，b=1，c=√3
∴椭圆C的方程为x2
4
+y2=1
(2)由题设知，l1:x=−2，l2:x=2
l与C的方程联立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2−1)=0⋯“∗”∵l与C相切
∴“∗”的Δ=64k2m2−16(1+4k2)(m2−1)=0
得m2−4k2=1
l与l1、l2联立得M(−2 ，−2k+m)，N(2 ， 2k+m)
又F1(−√3 ， 0) 、F2(√3 ， 0)
∴k MF
1⋅k NF
1
=
−2k+m
−2+√3
2k+m
2+√3
=
m2−4k2
−1
=−1
∴MF1⊥NF1，即∠MF1N=π
2
同理可得∠MF2N=π
2
∴∠MF1N=∠MF2N
【点睛】
(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的
掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是证明k MF
1⋅k NF
1
=
−2+32+3
=
m2−4k2
−1=−1，所以∠MF1N=π
2
.
21．(Ⅰ)x+2y−4=0；(Ⅱ)m=3，n=4或m=−3，n=0.
【解析】 【分析】
(Ⅰ)由斜率公式可得k BC =−1
2，结合点斜式方程整理计算可得BC 边所在直线方程为x +2y −4=0.
(Ⅱ)由题意可得|BC|=2√5，则△ABC 的BC 边上的高ℎ=
5
，据此由点到直线距离公式和
直线方程得到关于m ,n 的方程组，求解方程组可得m =3，n =4或m =−3，n =0. 【详解】
(Ⅰ)∵B(2，1)，C(−2,3)．∴k BC =
3−1−2−2
=−1
2
，
可得直线BC 方程为y −3=−1
2(x +2)， 化简，得BC 边所在直线方程为x +2y −4=0. (Ⅱ)由题意，得|BC|=√(2+2)2+(1−3)2=2√5， ∴S △ABC =1
2|BC|⋅ℎ=7，解之得ℎ=√5
， 由点到直线的距离公式，得
√1+4
=
√5
，
化简得m +2n =11或m +2n =−3， ∴{2m −3n +6=0m+2n=11
或{2m −3n +6=0m+2n=−3
.
解得m =3，n =4或m =−3，n =0. 【点睛】
本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．（1）(−4,−3)；（2）4x −5y +1=0。

【解析】 【分析】
(1)根据对称点与A 连线垂直直线l ，以及对称点与A 中点在直线l 上列方程组解得结果，(2)根据对称性得反射光线所在直线经过A 的对称点A 0(−4,−3)和B(1,1)，再根据点斜式求直线方程. 【详解】
（Ⅰ）设点A(2，3)关于直线l 的对称点为A 0(x 0,y 0)，则
{y 0−3x 0−2
=1
2+x
2
+
3+y 0
2
+1=0
解得x 0=−4,y 0=−3，即点A(2，3)关于直线l 的对称点为A 0(−4,−3)．
（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点A 0(−4,−3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y −1=4
5(x −1)即4x −5y +1=0. 【点睛】
本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力. 23．（1）2m =-；（2）8m =，28n =或12-
【解析】试题分析：（1）因为两条直线是相互垂直的，故1212
m
k k ⨯=
=-，解得2m =-；（2）因为两条直线是相互平行的，故24
m
-=-
，解得8m =． 解析：设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12k =-、24
m
k =-．
（1）若12l l ⊥，则1212m
k k ⨯==-，∴2m =-
（2）若12//l l ，则24m
-=-，∴8m =．
∴2l 可以化简为204
n
x y ++=，
∴1l 与2l
=28n =或12- 24．（1）y =√3x （2）2+√3 【解析】
【分析】
(Ⅰ)先求出曲线C1的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先求出|AB|=|ρ2−ρ1|=1,再求出以AB为底边的ΔPAB的高的最大值为4+2√3, 再求ΔPAB面积的最大值.
【详解】
(Ⅰ)依题意得,曲线C1的普通方程为(x−2)2+y2=7,
曲线C1的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−3=0,
直线l的直角坐标方程为y=√3x．
(Ⅱ)曲线C2的直角坐标方程为(x−4)2+y2=16,设A(ρ1,π
3),B(ρ2,π
3
),
则ρ12−4ρ1cosπ
3
−3=0,即ρ12−2ρ1−3=0,得ρ1=3或ρ1=−1(舍),
ρ2=8cosπ
3
=4,则|AB|=|ρ2−ρ1|=1,
C2(4,0)到l的距离为d=√3|
√4
=2√3,以AB为底边的ΔPAB的高的最大值为4+2√3,
则ΔPAB的面积的最大值为1
2
×1×(4+2√3)=2+√3
【点睛】
(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出|AB|=|ρ2−ρ1|=1.
25．（1）√7（2）−2（3）x±3y−6=0
【解析】分析：（1）根据半径，得到圆A的标准方程；因为B、C是两个圆的交点，联立
两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得BC 的长。

（2）根据圆A 关于x 轴对称，可设B （x 0,y 0)、C （x 0,-y 0)，代入到圆O 中，用y 0表示x 0；
根据向量数量积的坐标运算，得到AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2(x 0−1)2−2，根据x 0的取值范围即可得到AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC
⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值。

（3）取EF 的中点G ，连结OG 、AD 、OF ，可知ΔADP 与ΔOGP 相似，根据中点性质和勾股定理，在RtΔOFG 和RtΔADP 中，联立方程求得r 的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程。

详解：（1）当r =√2时，
由{x 2+y 2=4(x −2)2+y 2=2
得，B (32,√72),C (32,−√72),BC =√7 （2）由对称性，设B （x 0,y 0)、C （x 0,-y 0)，则x 02+y 02=4
所以AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =（x 0−2)2−y 02 =（x 0−2)2−(4−x 02)=2(x 0−1)2−2
因为−2<x 0<2，所以当x 0=1时，AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为−2 （3）取EF 的中点G ，连结OG 、AD 、OF ，则AD//OG
则AD OG =AP OP =PD PG =46，从而OG =32r ，不妨记DE =2EG =2GF =2t ，PD =6t
在RtΔOFG 中OF 2=OG 2+FG 2即22=(3r 2)2+t 2① 在RtΔADP 中AP 2=AD 2+DP 2即42=r 2+(6t )2②
由①②解得r =2√105
由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为：x =my +6，由点A 到直线l 的距离等于r 则√1+m 2=2√105，所以m =±3，从而直线ℓ的方程为x ±3y −6=0
点睛：本题考查了直线与圆、圆与圆之间的位置关系，根据向量的数量积求最值问题，结合点到直线距离求直线方程，综合性强，属于难题。

26．(1)34140x y +-= (2)34y 180x +-= (3)4310x y -+=
【解析】试题分析：（1）写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．（2）可设直线的一般方程为430y x m ++=，代入点()2,3求出m 即可．（3）所求直线的斜率为43，写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．
解析：（1）由题设有()3:524
l y x -=-+，整理得34140x y +-=． （2）设所求直线方程为430y x m ++=，代入()2,3点，解得18m =-，所以直线方程为34180x y +-=．
（3）所求直线方程为()4323
y x -=-，化简得430y x m ++=，所以直线方程为4310x y -+=．
27．（1）3x －y －2＝0.（2）x ＋3y －7＝0.（3）6x －2y ＋7＝0.
【解析】
【分析】
（1）根据斜率公式和题意求出直线AB 的斜率k ，再代入点斜式方程化为一般式即可；
（2）设AB 边上的高所在的直线方程为y ＝－13x ＋m ，由直线过点C (－2,3)，求出m 的值，
可得AB 边上的高所在直线的方程；
（3）根据AB 边的中位线与AB 平行且过AC 中点(0，72)，求得AB 的中位线所在的直线方
程.
【详解】
(1)由已知直线AB 的斜率k AB ＝4−(−2)2−0＝3，
∴直线AB 的方程为y ＝3x －2，即3x －y －2＝0.
(2)设AB 边上的高所在的直线方程为y ＝－13x ＋m ，由直线过点C (－2,3)，
∴3＝23＋m ，解得m ＝73，故所求直线为y ＝－13x ＋73，即x ＋3y －7＝0.
(3)AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，7
)，
2
∴AB的中位线所在的直线方程为y＝3x＋7
，即6x－2y＋7＝0.
2
【点睛】
本题主要考查两条直线平行、垂直的性质，直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题.。