河南省驻马店市回族中学2018-2019学年高一数学理上学期期末试题含解析

河南省驻马店市回族中学2018-2019学年高一数学理上
学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（）
A. 50%
B. 30%
C. 10%
D. 60%
参考答案：
A
【分析】
甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.
【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加
甲、乙下成平局的概率为：
故答案选A
【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.
2. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( )
A. 80
B. 96
C. 108
D. 110
参考答案：
C
【分析】
设高二总人数为人，由总人数及抽样比列方程组求解即可。

【详解】设高二总人数为人，抽取的样本中有高二学生人
则高三总人数为个，
由题可得：，解得：.
故选：C
【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题。

3. 设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
4. 三个数之间的大小关系是（）
A．. B． C． D．
参考答案：
C
5. 函数的图象是下列图象中的( )
参考答案：
A
6. 若实数x、y满足等式，那么的最大值为( )
A.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
参考答案：
D
略
7. 在△ABC中，，，E是边BC的中点. O为△ABC所在平面内一点且满足，则的值为（）
A. B. 1 C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为
；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.
【详解】为中点
和为等腰三角形
，同理可得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
8. 函数的定义域为（）
A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1]
参考答案：
B
选B.
9. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A． B．
C． D．
参考答案：
D
略
10. 一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）
A．B．C．D．2
参考答案：
C
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】计算题；作图题．
【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．
【解答】解：由题意，直观图的面积为，
因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是
故选C
【点评】本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若向量，则。

参考答案：
2
12. （5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于．
参考答案：
90°
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°．
解答：解：由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，
满足条件AC=AB=AA1，
且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，
∴∠CAB=90°．
故答案为：90°．
点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
13. 已知矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，若将它关于对角线AC折起后，使边AB与CD交于点P（如图所示），则△ADP面积的最大值为．
参考答案：
27﹣18
【考点】基本不等式．
【分析】设AB=x，则AD=6﹣x，利用勾股定理得到PD，再根据三角形的面积公式和基本不等式的性质，即可求出．
【解答】解∵设AB=x，则AD=6﹣x，又DP=PB′，AP=AB′﹣PB′=AB﹣DP，
即AP=x﹣DP，
∴（6﹣x）2+PD2=（x﹣PD）2，得PD=6﹣，
∵AB＞AD，
∴3＜x＜6，
∴△ADP的面积S=AD?DP=（6﹣x）（6﹣）
=27﹣3（x+）≤27﹣3×2=27﹣18，
当且仅当x=3时取等号，
∴△ADP面积的最大值为27﹣18，
故答案为：27﹣18
14. △ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：
①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；
③，，若，则△ABC为锐角三角形；
④若O为△ABC的外心，；
⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，
以上叙述正确的序号是．
参考答案：
①③④⑤
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①若cosBcosC＞sinBsinC，则cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0，
即﹣cosA＞0，cosA＜0，则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确．
②若acosA=bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，则2A=2B 或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，错误；
③，，
则=tanA+tanB+tanC=（1﹣tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0
tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）?0＞tanAtanBtan（A+B）
∴必有A+B＞，且A，B都为锐角
∴C也必为锐角，
∴△ABC为锐角三角形，正确，
④O为△ABC的外心， ?=?（﹣）=?﹣?，
=||?||cos＜，＞﹣||?||?cos＜，＞=||2﹣||2=（b2﹣c2），正确，
⑤若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，
∴（﹣）?（﹣）=0，
∴﹣?（+）+=0，∴=﹣2，
∵﹣=+，∴2=2+2+2，∴52=2+2，即结论成立．
故答案为①③④⑤．
15. 在△ABC中，已知b=1，c=2，AD是∠A的平分线，AD=，则∠C=．
参考答案：
90°
【考点】HS：余弦定理的应用．
【分析】根据角平线的性质，可设BD=2x，CD=x，然后结合余弦定理列方程解x，然后利用余弦定理求解C即可．
【解答】解：因为AD是∠A的平分线，所以=，
不妨设BD=2x，CD=x，
结合已知得cos∠BAD=cos∠CAD，
在△ABD中由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcos∠BAD，
即：4x2=4+﹣2×cos∠BAD，…①
在△ACD中，由余弦定理可得CD2=AC2+AD2﹣2AC?ADcos∠CAD，
即：x2=1+﹣2×cos∠BAD…②，
①﹣②×2，可得：
2x2=2﹣=，
解得：x2=．
在△ADC则，cosC===0．
∠C=90°．
故答案为：90°．
16. 下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，
则输入的x的值是
参考答案：
下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，
则输入的x的值是
17. （5分）半径为πcm，中心角为120°的弧长为．
参考答案：
考点：弧长公式．
专题：计算题．
分析：先将圆心角角度化成弧度制，然后直接利用弧长公式l=|α|?r进行求解即可．
解答：圆弧所对的中心角为120°即为弧度，半径为π，
弧长为l=|α|?r=×π=，
故答案为：．
点评：本题主要考查了弧长公式l=|α|?r，主要圆心角为弧度制，掌握好其公式并能熟练应用，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】IG：直线的一般式方程；IM：两条直线的交点坐标．
【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程．
【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分．
设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，
又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．
由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）
所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．
19. 已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
参考答案：
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣，由周期公式即可得解．
（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间．
解答：（本题满分为9分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2
=+sin2x﹣2
=sin（2x﹣）﹣，
∴f（x）的最小正周期T=…5分
（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间是：
[k，k]（k∈Z）…9分
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，周期公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．
20. 全集U=R，若集合，，则
（1）求，；
（2）若集合C=，，求的取值范围．
参考答案：
21. (本题13分)已知定义域为的偶函数在内为单调递减函数，且对任意的都成立，.
（1）求，的值；
（2）求满足条件的的取值范围。

参考答案：
解得，或不存在，或，或不存在，
综上的取值范围为
另解：要
22. 已知△ABC的内角满足，若，且满
足：，，为的夹角.求。

参考答案：
解析：
得，。