利用Excel进行时间序列的谱分析

利用Excel 进行时间序列的谱分析（I ）在频域分析中，功率谱是揭示时间序列周期特性的最为有力的工具之一。

下面列举几个例子，分别从不同的角度识别时间序列的周期。

1 时间序列的周期图【例1】某水文观测站测得一条河流从1979年6月到1980年5月共计12月份的断面平均流量。

试判断该河流的径流量变化是否具有周期性，周期长度大约为多少？分析：假定将时间序列x t 展开为Fourier 级数，则可表示为∑=++=ki t i i i i t t f b t f a x 1)2sin 2cos (εππ (1)式中f i 为频率，t 为时间序号，k 为周期分量的个数即主周期（基波）及其谐波的个数，εt 为标准误差（白噪声序列）。

当频率f i 给定时，式（1）可以视为多元线性回归模型，可以证明，待定系数a i 、b i 的最小二乘估计为∑∑====Nt i tiNt i ti tf xNb tf xN a112sin 2ˆ2cos 2ˆππ （2）这里N 为观测值的个数。

定义时间序列的周期图为)(2)(22i i i b a N f I +=，k i ,,2,1 = (3) 式中I (f i )为频率f i 处的强度。

以f i 为横轴，以I (f i )为纵轴，绘制时间序列的周期图，可以在最大值处找到时间序列的周期。

对于本例，N =12，t =1,2,…,N ，f i =i /N ，下面借助Excel ，利用上述公式，计算有关参数并分析时间序列的周期特性。

第一步，录入数据，并将数据标准化或中心化（图1）。

图1 录入的数据及其中心化结果中心化与标准化的区别在于，只需将原始数据减去均值，而不必再除以标准差。

不难想到，中心化的数据均值为0，但方差与原始数据相同（未必为1）。

第二步，计算三角函数值为了借助式（1）计算参数a i 、b i ，首先需要计算正弦值和余弦值。

取6,,2,1 =i ，则频率为12/6,,12/2,12/1/ ==N i f i （图1）。

将频率写在单元格C3-C14中（根据对称性，我们只用前6个），将中心化的数据转置粘贴于第一行的单元格D1-O1中，月份的序号写在单元格D2-O2中（与中心化数据对齐）。

图2 计算余弦值的表格在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C3)”，回车得到0.866；按住单元格的右下角右拉至O3单元格，得到f =1/12=0.083，t =1,2,…,12时的全部余弦值。

在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C4)”，回车得到0.5；按住单元格的右下角右拉至O4单元格，得到f =2/12=0.167，t =1,2,…,12时的全部余弦值。

依次类推，可以算出全部所要的余弦值（在D3-O8区域中）。

根据对称性，我们的计算到k =6为止（图2）。

注意，这里B1单元格是2π=6.28319（图中未能显示）。

在上面的计算中，只要将公式中的“COS ”换成“SIN ”，即可得到正弦值，不过为了计算过程清楚明白，最好在另外一个区域给出结算结果（在D17-O22区域中，参见图3）。

图3 计算正弦值的表格第三步，计算参数a i 、b i利用中心化的数据（仍然表作x t ）计算参数a i 、b i 。

首先算出x t cos2πf i t 和x t sins2πf i t 。

在D9单元格中输入公式“=D1*D3”，回车得到18.309；按住单元格的右下角右拉至O9单元格，得到f =1/12=0.083，t =1,2,…,12时的全部x t cos2πf i t 值；加和得39.584，再除以6，即得a 1=6.597。

在D10单元格中输入公式“=D1*D4”，回车得到10.571；按住单元格的右下角右拉至O10单元格，得到f =2/12=0.083，t =1,2,…,12时的全部x t cos2πf i t 值；加和得-365.25，再除以6，得到a 2=-60.875。

其余依此类推。

将上面公式中的余弦值换成正弦值，即可得到b i 值（见下表）。

上面的计算过程相当于采用式（2）进行逐步计算。

第四步，计算频率强度利用式（3），非常容易算出I (f i )值。

例如914.174096)213.170597.6(*6)(2)(2221211=+=+=b a N f I 其余依此类推（见图4）。

图4 计算频率强度第五步，绘制时间序列周期图利用图4中的数据，不难画出周期图（图5）。

02000040000600008000010000012000014000016000018000020000000.10.20.30.40.50.6频率频率强度图5 某河流径流量的周期图（1979年6月－1980年5月）第六步，周期识别关键是寻找频率的极值点或突变点。

在本例中，没有极值点，但在f 1=1/12=0.0833处，频率强度突然增加（陡增），而此时T =1/f 1=12，故可判断时间序列可能存在一个12月的周期，即1年周期。

【例2】为了映证上述判断，我们借助同一条河流的连续两年的平均月径流量（1961年6月－1963年5月）。

原始数据见下图（图6）。

图6 原始数据及部分处理结果将原始数据回车时间序列变化图，可以初步估计具有12月变化周期，但不能肯定（图6）。

050100150200250300350051015202530时间（月份序号）月平均径流量图6 径流量的月变化图（1961年6月－1963年5月）按照例1给出的计算步骤，计算参数数a i 、b i ，进而计算频率强度（结果将图7）。

然后绘制时间序列的周期图（图8）。

注意这里，N =24，我们取k =12。

图7 参数和频率强度的计算结果从图8中可以看出，频率强度的最大值（极值点）对应于频率f 1=1/12=0.0833，故时间序列的周期判断为T =1/f 1=12。

这与用12月的数据进行估计的结果是一致的，但由于例2的时间序列比例1的时间序列长1倍，故判断结果更为可靠。

02000040000600008000010000012000014000000.10.20.30.40.50.6频率频率强度图8 某河流径流量的周期图（1961年6月－1963年5月）2 时间序列的频谱图【例3】首先考虑对例1的数据进行功率谱分析。

例1的时间序列较短，分析的效果不佳，但计算过程简短。

给出这个例子，主要是帮助大家理解Fourier 变换过程和方法。

为了进行Fourier 分析，需要对数据进行预处理。

第一，将数据中心化，即用原始数据减去其平均值。

中心化的数据均值为0，我们对中心化的数据进行变换，其周期更为明显。

第二，由于Fourier 分析通常采用所谓快速Fourier 变换（Fast Fourier Transformation ，FFT ），而FFT 要求数据必须为2n 个，这里n 为正整数（1,2,3,…），而我们的样本为N =12，它不是2的某个n次方。

因此，在中心化的数据后面加上4个0，这样新的样本数为N′=12＋4＝16＝24个，这才符合FFT的需要（图9）。

下面，我们对延长后的中心化数据进行Fourier变换。

图9 数据的中心化与“延长”第一步，打开Foureir分析对话框沿着主菜单的“工具（Tools）”→“数据分析（Data Analysis）”路径打开数据分析选项框（图10），从中选择“傅立叶分析（Fourier Analysis）”。

图10 在数据分析选项框中选择Fourier分析第二步，定义变量和输出区域确定之后，弹出傅立叶分析对话框，根据数据在工作表中的分布情况进行如下设置：将光标置于“输入区域”对应的空白栏，然后用鼠标选中单元格C1-C17，这时空白栏中自动以绝对单元格的形式定义中心化数据的区域范围（即$C$1-$C$17）。

选中“标志位于第一行”。

选中输出区域，定义范围为D2-D17（图11）。

注意：如果输入区域的数据范围定义为C2-C17，则不要选中“标志位于第一行”，这与回归分析中的原始变量定义是一样的（图12）。

如果不定义输出区域范围，则变换结果将会自动给在新的工作表组上。

这一点也与回归分析一样。

图11 选中“标志位于第一行”与数据输入范围的定义图12 不选中“标志位于第一行”与数据输入范围的定义第三步，结果转换定义数据输入－输出区域完成之后，确定，立即得到Fourier变换的结果（图13）。

图13 傅立叶变换的结果变换的结果为一组复数，相当于将f (t )变成了F (ω)，实际上是将x t 变成了X T (f )。

我们知道，有了f (t )的象函数F (ω)就可以计算能量谱密度函数S (ω)，即有2)()()()(ωωωωF F F S == (4)相应地，有了X T (f )也就容易计算功率谱（密度）Tf X f P T 2)()(=(5)式中f 表示线频率，与角频率ω的转换关系是ω=2π/T ，这里T 为数据区间长度。

如果将X T (f )表作X T (f )=A +jB （这里A 为实部，B 为虚部），则有222))(()()()(i i i i i i i T i T i T B A jB A jB A f X f X f X +=-+== （6）因此这一步是要分离变换结果的实部与虚部。

逐个手动提取是非常麻烦而且容易出错的，可以利用Excel 有关复数计算的命令。

提取实部的Excel 命令是imreal 。

在H2单元格中输入命令“=IMREAL(D2)”（这里D2为变换结果的第一个复数所在的单元格），回车得到第一个复数的实部0；点中H2单元格的右下角，揿住鼠标左键下拉至H17，得到全部的实部数值。

提取虚部的命令是imaginary 。

在I2单元格中输入公式“=IMAGINARY(D2)”，回车得到第一个复数的虚部0；下拉至I17，得到全部的虚部数值。

根据式（5）、（6），功率谱密度的计算公式为TB A f P i i i 22)(+= （7）考虑到本例中T =N =16，在J2单元格中输入公式“=(H2^2+I2^2)/16”，回车得到第一个功率谱密度0；下拉至J17，得到全部谱密度数值（图14）。

基于FFT 的谱密度分布是对称的，可以看出，以J10所在的3105.28为对称点，上下的数值完全对称。

图14 功率谱密度的计算结果第四步，绘制频谱图线频率f i 可以表作N i T i f i //==，N i ,,2,1,0 =-1显然f 0=0/16=0，f 1=1/16=0.0625，f 2=2/16=0.125，…，f 15=15/16=0.9375。

在Excel 中，容易计算频率的数值。

将频率与功率谱对应起来（图15），就可以画出频谱图。