真题重组卷01(上海专用)-冲刺2024年中考数学真题重组卷(解析版)

冲刺2024年中考数学真题重组卷01（上海专用）
⭐试题难度分析
试题难易度程度题量题号题量占比易41,7,10,1916%
较易102,3,4,5,6,9,11,12,13,1440%
中档88,15,16,17,20,21,22,2332%
较难218,248%
难1254%⭐知识点分析共计：24个知识点
知识点题量占比二次根式的混合运算14%折线统计图14%
矩形的判定14%
根的判别式14%换元法解分式方程14%梯形14%因式分解-运用公式法14%分式的加减法14%无理方程14%
扇形统计图14%列表法与树状图法14% *平面向量14%反比例函数的性质28%
圆与圆的位置关系14%待定系数法求二次函数解析式14%正多边形和圆14%
旋转的性质14%
实数的运算14%解一元一次不等式组14%解直角三角形14%解直角三角形的应用14%相似三角形的判定与性质14%二次函数综合题14%圆的综合题14%
一．选择题（共6小题）
1．（2023•西宁）下列运算正确的是()
A ．235+=
B ．2(5)5-=-
C ．2(32)1162
-=-D ．2633
3÷
⨯=【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．【解答】解：A ．23+无法合并，故此选项不合题意；B ．2(5)5-=，故此选项不合题意；C ．2(32)1162-=-，故此选项符合题意；D ．26393
÷
⨯=，故此选项不合题意．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2023•长沙）长沙市某一周内每日最高气温情况如图所示，下列说法中，错误的是(
)
A ．这周最高气温是32C ︒
B ．这组数据的中位数是30
C ．这组数据的众数是24
D ．周四与周五的最高气温相差8C ︒【分析】根据折线统计图，可得答案．
【解答】解：A 、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32C ︒，说法正确，故A 不符合题意；B 、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B 符合题意；C 、这组数据的众数是24，说法正确，故C 不符合题意；
D 、周四与周五的最高气温相差8C ︒，说法正确，故D 不符合题意；
故选：B ．
【点评】此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键．
3．（2022•怀化）下列说法正确的是()
A ．相等的角是对顶角
B ．对角线相等的四边形是矩形
C ．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．【解答】解：A 、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；B 、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C 、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；
D 、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点评】本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性．
4．（2023•朝阳）若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()
A ．1
2
k >
且1k ≠B ．12k >
C ．1
2k 且1
k ≠D ．1
2
k
【分析】由二次项系数非零及根的判别式△0>，可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【解答】解： 关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，∴2
1024(1)(2)0k k -≠⎧⎨=-⨯-⨯->⎩
，解得：1
2
k >
且1k ≠，k ∴的取值范围是1
2
k >
且1k ≠．故选：A ．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△0>，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
5．（2020•上海）用换元法解方程22121
x x x x ++=+时，若设21
x y x +=，则原方程可化为关于y 的方程是(
)
A ．2210y y -+=
B ．2210y y ++=
C ．220y y ++=
D ．220
y y +-=【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设
21
x y
x +=，则原方程化为12y y
+=，再转化为整式方程2210y y -+=即可求解．
【解答】解：把2
1
x y x +=代入原方程得：12y y
+=，转化为整式方程为212y y +=，即2210y y -+=．故选：A ．
【点评】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
6．（2023•台湾）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ．若140ADC ∠=︒，且BD CD ⊥，则DBC ∠的度数为(
)
A ．30︒
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
【分析】先根据垂直的定义可得：90BDC ∠=︒，则90C CBD ∠+∠=︒，由平行线的性质可得：18014040C ∠=︒-︒=︒，从而得结论．
【解答】解：BD CD ⊥ ，90BDC ∴∠=︒，90C CBD ∴∠+∠=︒，//AD BC ，
180ADC C ∴∠+∠=︒，140ADC ∠=︒ ，18014040C ∴∠=︒-︒=︒，904050DBC ∴∠=︒-︒=︒．
故选：C ．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，掌握这些性质是解本题的关键．二．填空题（共12小题）
7．（2023•绵阳）因式分解：229x y -=
(3)(3)
x y x y +-．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：原式(3)(3)x y x y =+-．
故答案为：(3)(3)x y x y +-．
【点评】此题考查的是运用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解决此题关键．8．（2023•宁夏）计算：
13
11
x x +=--41
x -．
【分析】利用同分母分式的加法法则运算即可．【解答】解：原式131
x +=-41
x =-．故答案为：
41
x -．【点评】本题主要考查了分式的加减法，掌握同分母分式的加法法则运算是解题的关键．9．（2023•上海）已知关于x 的方程142x -=，则x =
18
．
【分析】方程两边平方得出144x -=，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：142x -=，方程两边平方得：144x -=，解得：18x =，
经检验18x =是原方程的解．故答案为：18．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
10．（2023•河南）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度()x cm 的统计图，则此时该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有280棵．
【分析】由统计图得到高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗所占的百分比，再列式计算即可．
【解答】解：由统计图可得，该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约占10%18%28%+=，100028%280⨯= （棵)，
∴该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有280棵．
故答案为：280．
【点评】本题考查扇形统计图的应用，解题的关键是能从统计图中获取有用的信息．
11．（2023•湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为
1
6
．
【分析】画树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：设等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别为A ，B ，C ，D ，根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果有2种，∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为
21126
=，故答案为：
16
．【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．12．（2022•上海）如图所示，在ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，BO a = ，BC b = ，则DC =
2a b
-+ ．
【分析】根据平行四边形的性质分析即可．【解答】解：因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BO OD = ，
所以2DC OC OD BC BO OD a b =-=--=-+ ．
故答案为：2a b -+
．
【点评】本题考查了平面向量与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的有关性质和平面向量的有关知识是解题的关键．
13．（2023•镇江）点1(2,)A y 、2(3,)B y 在反比例函数5
y x
=的图象上，则1y >
2y （用“<”、“>”或“=”
填空）．
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得1y 与2y 的大小．【解答】解：反比例函数5
y x
=
中，50k =>，∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，
23< ，12y y ∴>，
故答案为>．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．
14．（2023•德阳）已知1O 的半径为1，2O 的半径为r ，圆心距125O O =，如果在2O 上存在一点P ，使得12PO =，则r 的取值范围是
37r ．
【分析】根据条件，分情况进行讨论，当1O 内含于2O 时，r 值最大，当1O 与2O 外离时，r 值最小，得出r 的取值范围即可．
【解答】解：当1O 内含于2O 时，r 值最大，此时527r =+=；当1O 与2O 外离时，r 值最小，此时523r =-=，
故答案为：37r
．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，当12O O R r <-时，两圆内含；当12O O R r >+时，两圆外离．15．（2023•甘孜州）若反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是0
k >．
【分析】根据反比例函数的图形与比例系数k 的关系即可解决问题．【解答】解：因为当0k >时，反比例函数k
y x
=位于第一、三象限，当0k <时，反比例函数k
y x
=
位于第二、四象限，所以k 的取值范围是：0k >．故答案为：0k >．
【点评】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数图象所位于的象限与k 的关系是解题的关键．16．（2023•上海）一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是
21y x =-+．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）．【解答】解：由题意得：0b =，0a <，0c >，∴这个二次函数的解析式可以是：21y x =-+，
故答案为：21y x =-+．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
17．（2023•菏泽）如图，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为
6π
（结果保留)π．
【分析】先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，(82)1801358
HAB -⨯︒
∠=
=︒，4AH AB ==，
213546360
S ππ⨯∴==阴影部分
，
故答案为：6π．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
18．（2021•南京）如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D ''' 的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ．若3AB =，4BC =，1BB '=，则CE 的长为
9
8
．
【分析】解法一：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点B 作BN AB ⊥'于点N ，过点E 作EG BC ⊥，交BC 的延长线于点G ．1
2BM B M ='=
，由勾股定理可得，22352AM AB BM =-，由等面积法可得，356
BN =，由勾股定理可得，22223517
3(
)66
AN AB BN =-=-=，由题可得，AMB EGC ∆∆∽，ANB ∆∽△B GE '，则
35AM EG
BM CG ==，
35AN B G BN EG '==CG a =，则35EG a =，3B G a '=+，则3535a =3
16
a =
．最后由勾股定理可得，2222339()(35)16168EC CG EG =+=+=．
解法二：连接DD '，结合旋转的性质求得△BAB '∽△DAD '，利用AA 定理求得△CEB '∽△C 'ED ，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：法一、如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点B 作BN AB ⊥'于点N ，过点E 作EG BC ⊥，交BC 的延长线于点G ．
由旋转可知，3AB AB ='=，ABB AB C ∠'=∠''，ABB AB B AB C ∴∠'=∠'=∠''，1BB '= ，AM BB ⊥'，1
2
BM B M ∴='=
，22352
AM AB BM ∴=-，11
22
ABB S AM BB BN AB ∆'=
⋅⋅'=⋅⋅' ，
∴
1113222BN ⨯⨯=⋅⨯
，则6
BN =
，17
6
AN ∴=
==，//AB DC ，ECG ABC ∴∠=∠，90AMB EGC ∠=∠=︒ ，AMB EGC ∴∆∆∽，
∴212
AM EG BM CG
===设CG a =
，则EG =，180ABB AB B BAB ∠'+∠'+∠'=︒ ，180AB B AB C C B C ∠'+∠''+∠''=︒，
又ABB AB B AB C ∠'=∠'=∠'' ，BAB C B C ∴∠'=∠''，90ANB EGC ∠=∠=︒ ，ANB ∴∆∽△B GE '，
∴17
6AN B G BN EG '==4BC = ，1BB '=，3B C ∴'=，3B G a '=+，
∴
=
316
a =
．316CG ∴=
，EG =
9
8EC ∴===．
故答案为：9
8
．
法二、如图，连接DD '，
由旋转可知，BAB DAD ∠'=∠'，3AB AB '==，4AD AD '==，
BAB DAD ∴∆'∆'∽，
::3:1AB BB AD DD ∴'='=，AD D AB B B ∠'=∠'=∠，
43
DD ∴'=，又AD C AB C B ∠''=∠''=∠ ，AD D B AB B ∠'=∠=∠'，
AD C AD D ∴∠''=∠'，即点D '，D ，C '在同一条直线上，
53
DC ∴'=，又C ECB ∠'=∠'，DEC B EC ∠'=∠'，
CEB ∴∆'∽△C ED '，
:::B E DE CE C E B C DC ∴'='=''，即5::3:3
B E DE CE
C E '='=，设CE x =，B E y '=，
5:(4):(3)3:3
x y y x ∴-=-=，98
x ∴=．故答案为：98
．法三、构造相似，如图，延长B C '到点G ，使B G B E '='，连接EG ，
B EG B GE ∴∠'=∠'，
由旋转可知，AB AB ='，
B AB B AB
C ∴∠=∠'=∠''，
BAB EB G ∴∠'=∠'，
B G ∴∠=∠，
又//AB CD ，
ECG B G ∴∠=∠=∠，
ABB ∴∆'∽△B EG ECG '∆∽，
∴31
AB B E EC BB EG CG '==='，设CG m =，
3EC m ∴=，
3B G m ∴'=+，∴333m m
+=，解得38
m =，938
m ∴=．故答案为：98
．解法四：如图，连接DD '，
由旋转可知，BAB DAD ∠'=∠'，3AB AB '==，4AD AD '==，
BAB DAD ∴∆'∆'∽，
::3:1AB BB AD DD ∴'='=，AD D AB B B ∠'=∠'=∠，
43
DD ∴'=，又AD C AB C B ∠''=∠''=∠ ，AD D B AB B ∠'=∠=∠'，
AD C AD D ∴∠''=∠'，即点D '，D ，C '在同一条直线上，
如图，过点C 作//CF C D ''，交B C ''于点F ，
AB AB =' ，
B AB B ∴∠=∠'，
AB C B ∠''=∠ ，
由三角形内角和可知，FB C BAB ∠'=∠'，
//AB FC ' ，
B CF AB B ∴∠'=∠'，
由3AB = ，1BB '=，4BC =，
AB B C ∴='，
ABB ∴∆'≅△B CF '，
1FC B B ∴='=，
由旋转可知，ABB ADD ∆'∆'∽，∴AB BB AD DD '='，4
3
DD ∴'=53C D ∴'=
，又由//CF C D '，
∴△C DE FCE '∆∽，∴
C D DE FC EC '=，∴C D FC DE EC FC EC
'++=，∴5131CD EC
+=，98
EC ∴=．故答案为：98
．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．
三．解答题（共7小题）
19．（2023•
131((|2|7
--+-．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出
答案．
【解答】
解：原式7|8|
=-+
-
78
=--
+
1
=-．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（2023•菏泽）解不等式组
523(1)
322
32
x x
x x
x
-<+
⎧
⎪
--
⎨
+
⎪⎩
．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：
()
5231
322
32
x x
x x
x
⎧-<+
⎪
⎨--
+
⎪⎩
①
②
，
解不等式①，得： 2.5
x<，
解不等式②，得：
2
3
x ，
∴该不等式组的解集是
2
3
x ．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．21．（2021•上海）如图，已知ABD
∆中，AC BD
⊥，8
BC=，4
CD=，4
cos
5
ABC
∠=，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan FBD
∠
的值．
【分析】（1）解锐角三角函数可得解；
（2）解法一：连接CF，过F作BD的垂线，垂足为E，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得CF FD
=，
由勾股定理可得AD=，2
EF=，即可求tan FBD
∠．
解法二：EF直接用三角形中位线定理求解即可．
【解答】解：（1）AC BD
⊥
，
4
cos
5
BC
ABC
AB
∠==，8
BC=，
10
AB
∴=，
在Rt ACB ∆中，由勾股定理得，
6AC ===，
即AC 的长为6；
（2）如图，
连接CF ，过F 点作BD 的垂线，垂足E ，
BF 为AD 边上的中线，
即F 为AD 的中点，
12
CF AD FD ∴==，在Rt ACD ∆中，由勾股定理得，
AD ===
，
三角形CFD 为等腰三角形，FE CD ⊥，
122
CE CD ∴==，
在Rt EFC ∆中，3EF ==，
33tan 10
FE FBD BE BC CE ∴∠===+．解法二：BF 为AD 边上的中线，
∴F 是AD 中点，
FE ⊥BD ，AC BD ⊥，
//FE AC ∴，
∴FE 是△ACD 的中位线，
∴FE 132AC ==，122
CE CD ==，∴在Rt △BFE 中，33tan 8210FE FBD BE ∠=
==+．【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点．
22．（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A 为起点，沿途修建AB 、CD 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D 处，中途设计了一段与AF 平行的观光平台BC 为50m ．索道AB 与AF 的夹角为15︒，CD 与水平线夹角为45︒，A 、B 两处的水平距离AE 为576m ，DF AF ⊥，垂足为点F ．（图中所有点都在同一平面内，点A 、E 、F 在同一水平线上）
（1）求索道AB 的长（结果精确到1)m ；
（2）求水平距离AF 的长（结果精确到1)m ．
（参考数据：sin150.25︒≈，cos150.96︒≈，tan150.26︒≈ 1.41)
≈【分析】（1）通过解Rt ABE ∆可求得AB 的长；
（2）延长BC 交DF 于G ，证明四边形BEFG 是矩形，可得EF BG =，90CGD BGF ∠=∠=︒，再解Rt CDG ∆可求解CG 的长，进而可求解．
【解答】解：（1）在Rt ABE ∆中，90AEB ∠=︒，15A ∠=︒，576AE m =，
576600()cos cos15AE AB m A ∴==≈︒
，即AB 的长约为600m ；
（2）延长BC 交DF 于G ，
//BC AE ，
90CBE ∴∠=︒，
DF AF ⊥ ，
90AFD ∴∠=︒，
∴四边形BEFG 为矩形，
EF BG ∴=，90CGD BGF ∠=∠=︒，
600CD AB m == ，45DCG ∠=︒
，
2cos 600cos 45600)2
CG CD DCG ∴=⋅∠=⨯︒=⨯
，576501049()AF AE EF AE BG AE BC CG m ∴=+=+=++=++，
即AF 的长为1049m ．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
23．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF BE =，2AE AQ AB =⋅．
求证：（1）CAE BAF ∠=∠；
（2）CF FQ AF BQ ⋅=⋅
．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到B C ∠=∠，利用SAS 证明ACE ABF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）利用全等三角形的性质，结合题意证明ACE AFQ ∆∽，CAF BFQ ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】证明：（1）AB AC = ，
B C ∴∠=∠，
CF BE = ，
CF EF BE EF ∴-=-，
即CE BF =，
在ACE ∆和ABF ∆中，
AC AB C B CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ACE ABF SAS ∴∆≅∆，
CAE BAF ∴∠=∠；
（2）ACE ABF ∆≅∆ ，
AE AF ∴=，CAE BAF ∠=∠，
2AE AQ AB =⋅ ，AC AB =，∴AE AC AQ AF
=，ACE AFQ ∴∆∆∽，
AEC AQF ∴∠=∠，
AEF BQF ∴∠=∠，
AE AF = ，
AEF AFE ∴∠=∠，
BQF AFE ∴∠=∠，
B C ∠=∠ ，
CAF BFQ ∴∆∆∽，∴CF AF BQ FQ
=，即CF FQ AF BQ ⋅=⋅．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（2023•枣庄）如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0)A -，(0,3)C 两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与y 轴交于点D ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；
（3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线AM 的解析式为22y x =+，进而可得(0,2)D ，作点D 关于x 轴的对称点
(0,2)D '-，连接D M '，D H '，MH DH MH D H D M +=+''
，即MH DH +的最小值为D M '，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当DM 、PQ 为对角线时，当DP 、MQ 为对角线时，当DQ 、PM 为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过(1,0)A -，(0,3)C 两点，∴103b c c --+=⎧⎨=⎩
，解得：23b c =⎧⎨=⎩
，∴该抛物线的表达式为223y x x =-++；
（2）2223(1)4y x x x =-++=--+ ，
∴顶点(1,4)M ，
设直线AM 的解析式为y kx d =+，则40k d k d +=⎧⎨-+=⎩
，解得：22k d =⎧⎨=⎩
，∴直线AM 的解析式为22y x =+，
当0x =时，2y =，
(0,2)D ∴，
作点D 关于x 轴的对称点(0,2)D '-，连接D M '，D H '，如图，
则DH D H ='，
MH DH MH D H D M ∴+=+'' ，即MH DH +的最小值为D M '，
D M '== ，
MH DH ∴+
（3）对称轴上存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形．由（2）得：(0,2)D ，(1,4)M ， 点P 是抛物线上一动点，∴设2(,23)P m m m -++， 抛物线223y x x =-++的对称轴为直线1x =，∴设(1,)Q n ，
当DM 、PQ 为对角线时，DM 、PQ 的中点重合，∴20112423m m m n +=+⎧⎨+=-+++⎩
，解得：03m n =⎧⎨=⎩
，(1,3)Q ∴；
当DP 、MQ 为对角线时，DP 、MQ 的中点重合，∴20112234m m m n +=+⎧⎨-++=+⎩，
解得：21m n =⎧⎨=⎩
，(1,1)Q ∴；
当DQ 、PM 为对角线时，DQ 、PM 的中点重合，
∴20112423m n m m +=+⎧⎨+=-++⎩
，解得：05m n =⎧⎨=⎩
，(1,5)Q ∴；
综上所述，对称轴上存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，点Q 的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5)．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．
25．（2023•上海）如图（1）所示，已知在ABC ∆中，AB AC =，O 在边AB 上，点F 是边OB 中点，以O 为圆心，BO 为半径的圆分别交CB ，AC 于点D ，E ，连接EF 交OD 于点G ．
（1）如果OG DG =，求证：四边形CEGD 为平行四边形；
（2）如图（2）所示，连接OE ，如果90BAC ∠=︒，OFE DOE ∠=∠，4AO =，求边OB 的长；
（3）连接BG ，如果OBG ∆是以OB 为腰的等腰三角形，且AO OF =，求OG OD
的值．【分析】（1）由ABC C ∠=∠，ODB ABC ∠=∠，即得C ODB ∠=∠，//OD AC ，根据F 是OB 的中点，OG DG =，知FG 是OBD ∆的中位线，故//FG BC ，即可得证；
（2）设OFE DOE α∠=∠=，OF FB a ==，有2OE OB a ==，由（1）可得//OD AC ，故AEO DOE α∠=∠=，得出OFE AEO α∠=∠=，进而证明AEO AFE ∆∆∽，2AE AO AF =-，由222AE EO AO =-，有
22EO AO AO AF -=⨯，解方程即可答案；
（3）OBG ∆是以OB 为腰的等腰三角形，①当OG OB =时，②当BG OB =时，证明BGO BPA ∆∆∽，得出23
OG AP =，设2OG k =，3AP k =，根据//OG AE ，得出FOG FAE ∆∆∽，即得24AE OG k ==，PE AE AP k =-=，连接OE 交PG 于点Q ，证明QPE QGO ∆∆∽，在PQE ∆与BQO ∆中，13
PQ a =，28233
BQ BG QG a a a =+=+=，得出14PQ QE OQ BQ ==，可得PQE OQB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得出2a k =，进而即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图：
AC AB = ，
ABC C ∴∠=∠，
OD OB = ，
ODB ABC ∴∠=∠，
C ODB ∴∠=∠，
//OD AC ∴，
F 是OB 的中点，O
G DG =，
FG ∴是OBD ∆的中位线，
//FG BC ∴，即//GE CD ，
∴四边形CEGD 是平行四边形；
（2）解：如图：
由OFE DOE ∠=∠，4AO =，点F 边OB 中点，设OFE DOE α∠=∠=，OF FB a ==，则2OE OB a ==，由（1）可得//OD AC ，
AEO DOE α∴∠=∠=，
OFE AEO α∴∠=∠=，
A A ∠=∠ ，
AEO AFE ∴∆∆∽，∴AE AO AF AE
=，即2AE AO AF =⋅，在Rt AEO ∆中，222AE EO AO =-，
22EO AO AO AF ∴-=⨯，
22(2)44(4)a a ∴-=⨯+，解得：1332a +=或1332
a -=（舍去），2133OB a ∴==（3）解：①当OG OB =时，点G 与点D 重合，不符合题意，舍去；
②当BG OB =时，延长BG 交AC 于点P ，如图所示，
点F 是OB 的中点，AO OF =，
AO OF FB ∴==，
设AO OF FB a ===，
//OG AC ，
BGO BPA ∴∆∆∽，∴2233
OG OB a AP AB a ===，设2OG k =，3AP k =，
//OG AE ，
FOG FAE ∴∆∆∽，∴122
OG OF a AE AF a ===，24AE OG k ∴==，
PE AE AP k ∴=-=，
设OE 交PG 于点Q ，
//OG PE ，
QPE QGO ∴∆∆∽，∴22GO QG OQ k PE PQ EQ k
====，13PQ a ∴=，23QG a =，24,33
EQ a OQ a ==，在PQE ∆与BQO ∆中，
13PQ a =，28233
BQ BG QG a a a =+=+=，∴14
PQ QE OQ BQ ==，又PQE BQO ∠=∠，
PQE OQB ∴∆∆∽，
∴
1
4 PE
OB=，
∴
1 24 k
a=，
2
a k
∴=，
2
OD OB a
==
，2
OG k
=，
∴
21
22 OG k k
OD a a
===，
∴OG
OD的值为
1
2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．。