江西省南昌市第二中学高二下学期第二次月考数学(理)试

南昌二中2014－2015学年度下学期第二次考试
高二数学（理）试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分） 1．已知集合M ＝｛1，－2，3｝，N ＝｛－4，5，6，－7｝，从这两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数是（ ） A ．10 B ．14 C ．16 D ．18 2．已知自然数x 满足，则 （ ） A ．3 B ．5 C ．4 D ．6 3．已知直线，平面、、，则下列条件中能推出//的是 （ ） A ．，， B ．,,,a b a b γγαβ⊥⊥⊂⊂
C ．
D ．,,//,//a b a b αβαβ⊂⊂
4．某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆， 则该几何体的体积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名
学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ） A.66 B.48 C.36 D.30
6． 某班组织文艺晚会，准备从A,B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：A,B 两个节目至少有
一个选中，且A,B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为 （ ） A.1860 B.1320 C.1140 D.1020
7．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n 展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( ) A ．16 B ．10 C ．4 D ．2
8．若，P 是正四面体V －ABC 的侧面VBC 上一点，点P 到平面ABC 的距离与到点V 的距离相等，则动点P 的轨迹为 （ ） A ．一条线段
B ．椭圆的一部分
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
9．已知三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是 （ ） A ．
B ．1
C ．
D ．
10．△ABC 的AB 边在平面内，C 在平面外，AC 和BC 分别在与平面成30和45的角，且平面ABC 与平面成60的二面角，那么的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．1或
11．在100，101，…，999这些数中，各位数字按严格递增或严格递减顺序排列的数的个数是 （ ）
A ．120
B ．168
C ．204
D ．216
12．连续抛掷骰子，记下每次面朝上的点数，若出现三个不同的数就停止，问抛掷5次停止时，会
出现不同的结果种数位 （ ） A ．420 B ．840 C ．720 D ．640
二、填空题
13．2222
34519C C C C +++⋅⋅⋅+= 。

14．将6本完全相同的数学书与5本不同的英语书放在书架同一层排成一排，则仅有2本数学书相邻且这2本数学书不放在两端的放法的种数为 （用数字回答）
15．若5498
0189(1)(2)(2)(2)(2)ax x a x a x a x a +⋅+=++++⋅⋅⋅+++，
且，则0248a a a a +++⋅⋅⋅+= .
16．已知SA 、SB 、SC 两两所成的角为60，则平面SAB 与平面SAC 所成二面角的余弦值为 。

三、解答题
17．(10分)解下列方程：12
3
533334
x x x x x x x C C C A --++++=++
18．（12分）已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球。

（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一只红球记2分，取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种?
（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？
19．（12分）已知展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项. 20．（12分）如图，是边长为的等边三角形，现将沿边CD 折起至PCD 得四棱锥P-ABCD, 且PCBC
（1）证明：BD 平面PAC ；
P /
D
C
P
D
C
（2）求四棱锥P-ABCD 的体积.
21．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面平面ABC ，是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点
E 在平面ABC 上的射影落在的平分线上.
（1）求证：DE//平面ABC ； （2）求二面角的余弦值.
22．（12分）设函数()()2
1ln 12
a f x a x x bx a -=+
-≠，曲线()()()1
1y f x f =在点，处的切线斜率为0.
（1）求b ;
（2）若存在使得，求a 的取值范围。

南昌二中2014－2015学年度下学期第二次月考
高二数学（理）试卷参考答案
一．选择题：BCCAD CBBAD CB 二．填空题
13． =1139； 14．； 15．； 16．。

三．解答题 17．解：
(5)(4)(4)3
5!5!4
x x x x +++=+得
18．解：（1）43122
4464612490115C C C C C ++=++=种
（2）总分不小于7分的取法必需红球至少有2个红球，所以方法数为
5541
10664252660186C C C C --=--=种
（3）32222
46323()()60724320C C A A A ⨯=⨯=种。

19．解 由题意，
2
1045233
15
5
(131)2992,5,()
(3)3r n n
r r
r r
r r n T C x x C x
+-++⨯-=∴===，
（1）展开式中二项式系数最大的项是，22223
33
3
45
3270T C x x ==；
（2）由解得26264
43
3
55
3.5
4.5,4,3405k k T C x x ≤≤∴=∴==为所求的系数最大的项。

20．（1）证明：连接AC 交BD 于点O
在中，BC=， 则
22201)2221)cos 60AC =+-⨯⨯⨯=6即=由正弦定理得，即=,从而=
同理可得,所以即BDAC,又PCDB,且PCAC=C ； 故BD 平面PAC
（2）取CD 中点E ，连接OE,PE
因为PD=PC,所以CDPE,而AC=BD,AO=BO,则OC=OD,所以CDOE,所以 CD 面POE,从而OPCD,由（1）知OPBD,而BDCD=D,故OP 面ABCD
即棱锥P-ABCD 的高为OP ，在Rt 中，OP=
=， =
011
2sin 602
+⨯⨯（）=3
21．解析：（1）证明：由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点， 连接则，，
又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面， 那么，根据题意，点落在上， ∴，易求得，
∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 6分
（2）建立如图所示的空间直角坐标系， 可知平面的一个法向量为，，，，
法向量为，则，2200
n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可求得． 所
设平面的一个
12121213
cos ,13||||
n n n n n n ⋅<>=
=⋅， 以
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为．
22.解：（I ）()(1)a
f x a x b x
'=+--，由题设知,解得b
(Ⅱ) f (x )的定义域为
+∞),由(Ⅰ)知, 2
1()ln 2
a f x a x x x -=+
-， ()1()(1)111a a a f x a x x x x x a -⎛⎫'=
+--=-- ⎪-⎝⎭
(i)若，则，故当x +∞)时, f '(x ) > f (x )在 +∞)上单调递增.
所以,存在=1, 使得的充要条件为，即得 (ii)若，则，故当x ∈(1,)时, f '(x x )时,∴f (x )在(1,)上单调递减，f (x )在单调递增. 所以,存在1, 使得的充要条件为，而
()2()ln 112111a a a a a
f a a a a a a
=++>
-----11)1(21ln )1(2->-+-+-=-a a a a a a a a a a a f ，所以不合题意. (ⅲ) 若，则1
1(1)1221
a a a
f a ---=
-=<
-。

综上，a
的取值范围为：()
()11,⋃+∞。