苏州中学匡亚明班招生考试数学试题及答案解析

苏州中学匡亚明班招生考试数学试题
一、填空题
1.已知a，b是非零实数，若关于x的不等式ax+b>0的解集为
，则一次函数y=bx+4a-1的图象必经过点 .
2.已知m是的小数部分，则
3.函数.(m为常数)的最大值为 .
4.已知锐角满足则
5.已知半径为的圆内有一定点M，且若过点M作两
条互相垂直的弦AC,BD,则四边形ABCD的面积的最大值为 .
6.将2018分解为若干个正整数的和，则这些正整数乘积的最小值为 .
7.小张，小王，小李三位同学相互传球，假设他们相互间传球是等可能的，并且由小张开始传球，则经过5次传球后，球仍回到小张手中的概率为 .
8.二次函数(a,b,c为常数)的图象经过点C(t,3),且与x轴交于A,B两点,若AC⊥BC,则
9.如图，小函数(黑方)与小向量(白方)对弈五子棋形成如下棋局，若以O为坐标原点建立坐标系，图中黑子A的坐标为(7，5)，白子B的坐标为(5，1)，为了不让小向量(白方)获胜，此时小函数(黑方)应该下在坐标为的位置.
10.函数(b，c为常数)的图象关于直线
对称.当时，该函数的最大值为 .
二、解答题
11.已知一列数(n是正整数)，其中第i～j个
数相加的和为求i,j的值.
12.在中，D为AC上一点,过D作.交AC于点E,连接CD.设求的取值范围.
13.点P在上，以P为圆心，OP为半径画圆，分别交x 轴，y轴于A，B两点.
(1)三角形AOB的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说
明理由.
(2)直线与⊙P交于M,N两点,且求⊙P的面
积.
(3)若定点Q(a,a)到P的最小距离为.求所有满足条件的a的
值.
答案与解析：
1. 解不等式的解集为已知不等式的解集为则
即
对于一次函数将代入可得
当时，
令可得解得
把代入得
此时一次函数为当时，所以一次函数的图象必经过点(2，0)。

2. 因为所以即
所以的整数部分是2，小数部分
则
3. 对于函数因为二次项系数所以函数图象开口向
下，当时，函数取得最大值
4.因为已知则。

又因为α是锐角，所以
5. 设圆心O到弦AC的距离为( 到弦BD的距离为(
根据勾股定理，
因为. 根据几何关系，
四边形ABCD的面积
`展开可得
根据均值不等式当且仅当时等号成立。

则当且仅当时等号成立。

所以即四边形ABCD面积的最大值为9。

6. 若把2018拆成若干个可相等的正整数的和，要使这些正整数乘积最小，则这些数尽量为3和2。

所以这些正整数乘积的最小值为
7. 用树状图分析传球过程：
第一次小张传给小王或小李，有2种可能；
第二次由小王或小李传给另外两人中的一人，有2种可能；
第三次同样有2种可能；
第四次有2种可能；
第五次传回小张手中有2种可能。

总的传球情况有：种。

经过5次传球后球回到小张手中的情况有：(小张，小王，小李，小王，小张)、 (小张，小李，小王, 小李, 小张) ,共种。

所以经过5次传球后，球仍回到小张手中的概率为
8. 已知二次函数(a,b,c为常数) 的图象经过点C(t，3)，且与x
轴交于A，B两点，设
由韦达定理可得
因为. 则所以
化简可得9 。

又因为点C(t，3)在二次函数上，所以
将两式联立，消去t可得关于a，b，c的关系式。

9. 五子棋获胜规则是五子连成一线。

已知黑子A(7，5)，白子B(5，1)，为了不让白方获胜，黑方应该下在能阻止白方形成五子连线的位置。

观察可知，黑方应该下在坐标为(6，2)的位置。

10. 函数(b,c为常数) 的图象关于直线：对称，则对称轴
解得
此时函数为
当时，函数取得最大值
二、解答题
11.设数列的前n项和为，
已知第i到j个数相加的和为2024，即，
由于数列具体形式未知，无法直接求解i，j的值. 需进一步根据数列的性质或已知条件进行推导。

12. 在△ABC中,∠ABC=90°, 过D作DE⊥AB于点E, 连接CD。

设AD=x, AC=b, 则CD=b—x。

在△ABC中, 根据勾股定理.
在△ADE中,
在△ABC中, 所以即
在△BDE中, 根据勾股定理.
在△BCD中, 根据勾股定理.
将代入化简可得关于x的方程，进而求出x的取值范围，从而确定的取值范围。

13.
(1)设点P坐标为(m,n), 因为点P在圆上，所以
以P为圆心，OP为半径画圆的方程为
令得即解得所以令得即解得所以
则三角形AOB的面积
又因为根据均值不等式当且仅当时等号成立，所以则|为定值2。

(2) 由圆的方程可得圆心P(m,n), 半径
因为直线与圆P交于M，N两点，且
根据垂径定理，圆心到直线的距离
根据点到直线距离公式直线可化为则圆心P(m，n)到直线的距离即
又因为点P(m,n)在圆上，联立方程组解方程组可
得m与n的值，进而求出圆P的面积。

(3)定点Q(a,a)到点P(m,n)的距离
因为点P(m,n)在圆上，所以
化简
令则
当时，d取得最小值
已知定点Q(a，a)到P的最小距离为则解方程可得a 的值。