2019年江苏高考数学《锁定70分》考前抢分必做训练02

《锁定70分》—考前抢分必做训练
02
一、三个“二次”之间的关系
二、一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下：
（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，
即20(0)ax bx c a ++>>或2
0(0)ax bx c a ++<>；
（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，
有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>；
（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；
（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．
三、简单线性规划问题的解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by +=(目标函数为z ax by =+)；
（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点；
（3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值；
（4）答：给出正确答案．
四、古典概型的概念、特点及公式
（1）古典概型的特点：①所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等． （2）古典概型的概率计算公式：()P A =A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数
． 五、几何概型的概念、特点及公式
（1）几何概型的特点：①所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件发生的可能性相等．
（2）古典概型的概率计算公式：()P A =A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
．
1．已知复数z 满足(23i)32i z -=+（i 是虚数单位），则z 的模为______________．
2．若集合22{|1},{|20}A x x B x x x =<=-=，则A B =______________．
3．如图是一个算法的伪代码，则运行结果为______________．
2018
1
While
20182
2
End While
Pr int a s I I s s a
a a I I s ←←←≤←⨯←-←+
4．某学校为调查毕业班学生的学习问题现状，将参加高三上学期期末统考的800名学生随机地编号为：000,001,002,,799，准备从中抽取一个容量为40的样本，按系统抽样的方法把总体分成40组．第1组
编号为000,001,,019；第2组编号为020,021,,039；；第40组编号为780,781,,799．若在第1组
中随机抽取到的一个号码为012，则在第35组中应抽取的号码为______________．
5．已知实数]10,0[∈a ，则函数3)4()(--=x a x f 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为______________． 6．已知9()ln()f x x a x
=+-，若对任意的m ∈R ，均存在()min{(1),(2)}min{1,42}m t f f t t =-=---使得45t ≤≤，则实数()1m t t =--的取值范围是______________．
7．已知π1sin()33x +=，则5ππsin()cos(2)33
x x ---的值为______________． 8．已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA =32，则它的体积最大值是______________．
9．四边形ABCD 中，O 为对角线,AC BD 的交点，若||4,12,,2AC BA BC AO OC BO OD =⋅===，则
DA DC ⋅=______________．
10．已知公比[0,)+∞不为(,]2t -∞的等比数列[,0)2t 的首项0t >，前()f x 项和为(,0)-∞，且(0,)2
t 成等
差数列，则n n a S +=______________． 11．过平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥++≤+-020202y y x y x 内一点P 作圆O:122=+y x 的两条切线，切点分别记为A 、B ，当APB ∠的
度数为最小时，点P 坐标是______________．
12．已知函数1234)(22--+-=a a ax x x f ，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的
取值范围为______________．
13．若对于任意的实数v u ,，若不等式)0()()25(2222>≥-+-+t t v u v u 恒成立，则实数t 的最小值为
______________．
14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有991-+=+k ka a n n ，其中k 为不等于0与1的常数，若
{}2016,216,32,9,84,684---∈i a ，5,4,3,2=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为______________．
（1）一元二次不等式恒成立问题
①20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且2
40()b ac x -<∈R ．
②20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．
③20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ．
④20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．
⑤20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ．
⑥20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ．
（2）解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对
不等式的表现形式，有如下四种策略：
①变换主元，转化为一次函数问题．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果．
②联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题．
③对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即
若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥);
若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);
若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到．
④转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数．在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．
（3）非线性目标函数类型
①对形如22
()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题． ②对形如(0)ay b z ac cx d
+=≠+型的目标函数，可先变形为()()b y a a z d c x c
--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的a c
倍的取值范围、最值等． ③对形如||z Ax By C =++
型的目标函数，可先变形为z =化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++
倍的最值．
（4）求古典概型的基本步骤：①计算出所有基本事件的个数n ；②求出事件A 包含的所有基本事件数m ；③代入公式()m P A n
=，求出P (A )． （5）求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出
基本事件．基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法，具体应用时可根据需要灵活选择．对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
（6）①求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长
度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等．注意：在寻找事件A 发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A 的概率．
②求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率．必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法．
③用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可．一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解．
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1．【答案】1 【解析】因为32i i 23i z +=
=-，则||1z =． 2．【答案】{0}
【解析】因为2{|1}(1,1)A x x =<=-，2{|20}{0,2}B x x x =-==，所以{0}A
B =． 3．【答案】0
【解析】因为执行循环中a 可以为零，所以运行结果为0．
4．【答案】692
【解析】根据系统抽样方法的原理，因为在第1组中抽取到的号码为012，且分组间隔为8002040d =
=，所以在第35组中应抽取的号码为12(351)20692+-⨯=．
5．【答案】5
2 【解析】4()3(4)f x a x -'=--，故在区间(0，＋∞)内为增函数时，04<-a ，即4<a ，
因]10,0[∈a ，故所求概率为52104==
P ． 6．【答案】[6,)+∞ 【解析】由条件可知9e m x a x +
-=在(0,)x ∈+∞中恒有解， 故由9e 6e m m a x x =+
-≥-可知，[6,)a ∈+∞． 7．【答案】49
【解析】由题可得
5πππππππsin()cos(2)sin[2π()]cos 2[()]sin()cos 2()3333233
x x x x x x ---=-+-+-=-+++ 2ππ124sin()12sin ()133399
x x =-++-+=-+-=．
9．【答案】0
【解析】22222
412,16,4BA BC BO AO BO BO OD ⋅=-=-===，
因此22440DA DC DO AO ⋅=-=-=．
10．【答案】1
【解析】由条件得3322442()a S a S a S +=+++，即323422a a a a =-+， 故2311132222q q q ⨯=+⨯，解得12q =，从而11[1()]122()11212
n n n n a S -+=+=-． 11．【答案】（-4，2） 【解析】因1sin 2APB PO
∠=，故当PO 最大时，APB ∠的度数为最小，
因已知的平面区域是由顶点()2,0,0,2-（）和42-(，）
的三角形区域， 故当点P 为42-(，）时，PO 有最大值52． 12．【答案】]2
517,1(-- 【解析】12)2()(22----=a a a x x f ，故12)(2min ---=a a x f ，
又因)]13()][1([)(+---=a x a x x f ，故当131+=-a a ，即1-=a 时，符合题意；
当1->a 时，不等式0)(<x f 的解集为)13,1(+-a a ，因不等式(())0f f x <的解集为空集， 故不等式(())0f f x <可化为1)(-≤a x f 或13)(+≥a x f 恒成立，
从而13122+≥---a a a ，解之得25172175-≤≤+-a ，从而25171-≤<-a ； 当1-<a 时，不等式0)(<x f 的解集为)1,13(-+a a ，同上可得1122-≥-+-a a a ， 解得10≤≤a ，与1-<a 矛盾；
综上所述，实数a 的取值范围为]2
517,1(--．
14．【答案】6077-
【解析】由991-+=+k ka a n n 得)9(91+=++n n a k a ，
若数列{}n a 是常数数列，则9-=n a ，符合题意，从而91-=a ；
若数列{}n a 不是常数数列，因为1,0≠k ，所以数列{}9n a +是以k 为公比的等比数列， 此时由条件得{}2025,225,41,0,75,6759--∈+i a ，
因2025,675,225,75--能构成公比为3-的等比数列，故2591=+a ，得161=a ， 同理可知当60841-=a 时也符合题意，
综上所述，满足条件的1a 所有可能值的和为60776084169-=-+-．。