云南省文山州马关县第一中学2019_2020学年高二数学月考试题

云南省文山州马关县第一中学2019-2020学年高二数学月考试题
一、单选题（共12题；共60分）
1.若集合，，则（）
A. B. C.
D.
2.已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则＝( )
A. B.
C. 10
D. 100
3.下列函数既是奇函数，又在上为增函数的是（）
A. B.
C.
D.
4.已知函数，若，则（）
A. B.
C. D.
5.函数的定义域为（）
A. B. C.
D.
6.已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C.
D.
7.若，则的大小关系为（）.
A. B.
C. D.
8.已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B.
C. 2
D.
9.已知函数，则的值等于（）
A. B.
C.
D.
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A. B. 3
C.
D.
11.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( )
A. y＝2x＋4
B. y＝x－3
C. x
－2y－1＝0 D. 3x＋y＋1＝0
12.在高为的正三棱柱中，的边长为2，为棱的中点，
若一只蚂蚁从点沿表面爬向点，则蚂蚁爬行的最短距离为（）
A. 3
B.
C.
D. 2
二、填空题（共4题；共20分）
13.函数恒过定点为________．
14.若函数的值域为，则实数的取值范围是________
15.函数的零点所在区间为(n,n+1),n ∈ Z，则 n = ________.
16.已知函数满足，对任意的都有
恒成立，且，则关于的不等式的解集为________．三、解答题（共6题；共70分）
17.已知，，全集.
（1）求和；
（2）已知非空集合，若，求实数的取值范围.
18.已知函数是定义在上的奇函数，当时有.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
19.如图，在三棱柱ABC–A1B1C1中，AB＝BC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线
的交点，AC⊥BC1．求证：
（1）OD ∥平面A1ABB1；
（2）平面A1C1CA ⊥平面BC1D．
20.已知函数.
（1）若f(－1）＝f(1)，求a，并直接写出函数的单调增区间；
（2）当a≥ 时，是否存在实数x，使得＝一？若存在，试确定这样的实数x 的个数；若不存在，请说明理由．
21.设直线，，．
（1）若直线，，交于同一点，求m的值；
（2）设直线过点，若被直线，截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程．
22.已知函数，．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）在在（1）的条件下，判断函数与函数的图像公共点个数，并说明理由；
（3）当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解:∵ ,
,
∴ .
故答案为：.
【分析】先解不等式求出集合M和N,再根据交集的运算求出.
2.【答案】 C
【解析】【解答】因为lg a＝2.31，lg b＝1.31，
所以lg a－lg b＝lg ＝2.31－1.31＝1，
所以＝10.
故答案为：C.
【分析】利用对数的运算法则，即可得出结论。

3.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意,依次分析选项:
对于A, 为奇函数，但在区间上为减函数，不符合题意;
对于B, ,有，所以奇函数，且在上为增函数，符合题意；
对于C, ,有,即为偶函数,不符合题意;
对于D, 为非奇非偶函数,不符合题意;
故答案为：B.
【分析】利用函数的单调性与奇偶性的判断方法，依次分析选项中的函数，即可得答案. 4.【答案】 C
【解析】【解答】因为函数，
所以，，
，，，
所以，
根据零点存在定理得出，
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式求得各端点的函数值的符号，利用零点存在定理列式，即可求出结果.
5.【答案】 D
【解析】【解答】要使函数有意义，则需
解得，
所以函数定义域为.
故答案为：D
【分析】根据函数的解析式，可得到函数的定义域.
6.【答案】 B
【解析】【解答】取AC中点M，则因为为中点，因此ME平行AB，从而异面直线与所成角等于∠MED，因为三棱锥的各棱长都相等，设为1，则
，即异面直线与所成角的余弦值为，选B.
【分析】求线面角关键找平行，利用三角形中位线是解决本题的关键，再根据余弦定理求求得结果.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：因为，，
即，
故答案为：D.
【分析】由指数函数，对数函数的单调性，求出的大致范围即可得解.
8.【答案】 C
【解析】【解答】由题意，设幂函数的解析式为，
根据幂函数的图象过点，可得，解得，即，
所以.
故答案为：C.
【分析】设幂函数的解析式为，根据幂函数的图象过点，求得，结合对数的运算性质，即可求解.
9.【答案】 B
【解析】【解答】因为,
所以.
故答案为：B
【分析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据三视图得到原图是一个斜三棱锥，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3，故得到体积为3.
故答案为：B.
【分析】根据三视图得到原几何体表示，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3的三棱锥，利用椎体的体积公式，即可求解三棱锥的体积。

11.【答案】 C
【解析】【解答】设点A（3,1）关于直线的对称点为，则
，解得，即，所以直线的方程为，
联立解得，即,又，所以边AC所在的
直线方程为，
故答案为：C.
【分析】先求出点A关于直线的对称点A'的坐标,得到直线A'B的方程,与∠ACB的平分线方程为y＝x＋1的交点即为点C,再求出直线AC的方程.
12.【答案】 A
【解析】【解答】如图1，
将矩形翻折到与平面共面的位置,
此时，爬行的最短距离为；
如图2，将翻折到与平面共面的位置，
易知，，此时爬行的最短距离；
如图3，将矩形翻折到与平面共面的位置，
此时，爬行的最短距离.
综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.
故选：A.
【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A点出发，经过再到达点D.第二种是从A点出发，经过再到达点D.第三种是从A点出发，经过，最后到达点D.分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】当时，，
故恒过．
【分析】利用指数函数的图象恒过定点的性质结合图象的平移变换，从而求出函数
恒过的定点。

14.【答案】
【解析】【解答】当时，，；
当时，是减函数，，要满足，
此时应满足，即
故答案为：
【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可
15.【答案】 2
【解析】【解答】因为,
所以,
由函数零点存在定理知函数在区间(2,3)上有零点,所以.
故答案为:2
【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.
16.【答案】
【解析】【解答】由题意，设函数，
因为函数满足，即，
则，所以函数为上的偶函数，
又由，则，
因为对任意的都有恒成立，
则函数在为单调递增函数，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的解集为.
故答案为：.
【分析】构造新函数，求得函数为上的偶函数，得出，在由任意的都有恒成立，得到函数在
为单调递增函数，结合函数的取值，即可求解.
三、解答题
17.【答案】（1）解：由题意，集合，
因为集合，则，
所以，
（2）解：由题意，因为，所以，
又因为，，所以，
即实数的取值范围为
【解析】【分析】（1）求得集合，根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解；（2）由，所以，结合集合的包含关系，即可求解.
18.【答案】（1）解：由题意，当时，则，可得，
因为函数为奇函数，所以，
所以函数的解析式为.
（2）解：函数在为单调递增函数．
证明：设，则
因为，所以
所以，即
故在为单调递增函数．
【解析】【分析】（1）当时，则，可得，进而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.
19.【答案】（1）证明：连结，
在三棱柱中，
四边形为平行四边形，
从而O为平行四边形对角线的交点，所以O为的中点．
又D是AC的中点，从而在，中，有，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：在中，因为，D为AC的中点，
所以．
又因为，
，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，即可得到线面平行；（2）根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直即可得到面面垂直.
20.【答案】（1）解：由，得，解得．
此时，函数
所以函数的单调增区间为，．
（2）解：显然，不满足；
若，则，由，得，
化简，得，无解：
若，则，由，得，
化简，得．
令，．
当时，；
下面证明函数在上是单调增函数．
任取，且，
则
由于
，
所以，即，故在上是单调增函数。

因为，，
所以，又函数的图象不间断，所以函数在上有且只有一个零
点．
即当时，有且只有一个实数x满足．
因为当满足时，实数也一定满足，即满
足的根成对出现（互为相反数）；
所以，所有满足的实数x的个数为2．
【解析】【分析】（1）根据，解方程，求出a，得到函数的表达式，即可求出函
数的单调区间；
（2）对x的取值分段讨论，结合单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论，即可证明函数的单调性.
21.【答案】（1）解：解，得交点．
直线交于同一点，则点C在直线上，
则解得
（2）解：设上一点A(a，1 2 a)，则点A关于M（2，0）的对称点B (4 a，2 a 1) ．
由点B在上，代入得，∴a= ，∴ ．
直线l过两点A、M，斜率为11，∴ 直线l的方程为
【解析】【分析】由直线l1,l2的方程求出交点坐标.代入l3的方程,得到m的值;
(2)设出直线l1上点A的坐标,求出点A关于点M的对称点B的坐标,代入直线l2的方程中,求出a的值即得到点A的坐标,再由直线l过点A,M,求直线l的方程.
22.【答案】（1）解：因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，即，
∴ ，
显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.
上面等式左右两边同时乘以得：
，
化简得: ，
上式对定义域内任意恒成立，所以必有，
解得.
（2）解：由（1）知，所以，即，
由得或，
所以函数定义域，
由题意，要求方程解的个数，即求方程：
在定义域上的解的个数.
令，显然在区间和均单调递增，
又，
且，，
所以函数在区间和上各有一个零点，
即方程在定义域上有2个解，
所以函数与函数的图象有2个公共点.
（3）解：要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使在上恒成立，
令，则，上式整理得在恒成立.
令，.
① 当，即时，在上单调递增，
所以，恒成立；
②当，即时，在上单调递减，
只需，解得与矛盾；
③当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以由，解得，
又，所以.
综合①②③得的取值范围是
【解析】【分析】（1）奇函数满足条件, 将函数解析式代入并化简得到
,又对任意成立，所以;
（2）要求两函数图像交点个数，可转化为方程在相应区间上的根的个数问题. 题中由
得方程，又, 故方程根的个数为2.
（3）问题转化为在上恒成立，令, 则有
在恒成立，最后问题转化为关于t的二次函数在[2,4)上恒大于0，讨论对称轴的位置，最后可得a的取值范围。