No9-2:障碍函数法
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内点法(内部惩罚函数法,
障碍函数法)
内点集
边界点集∪=∪∂=D int D D D
∂D
int (1)集合结构
}
)x (g j |x {D j 0==∂使得
至少存在一个}
j )x (g |x {D int j ∀<=0
(2)算法思想
内点法(内部惩罚函数法)的迭代点是在可行点集内部移动的,对接近可行点集边界上的点施加越来越大的惩罚,对可行点集边界上的点施加无限大的惩罚,这好比边界是一道高压电网,阻碍迭代点穿越边界。
内点法要求可行点集的内点集合非空,否则算法无法运行。
这样一来内点法只对不等式约束的优化问题才可能有效。
)x (q )x (f )x (min )
x (f min k k R x )x (g .t .s n
μ+=ψ∈≥:
转化为无约束优化问题:这样将有约束优化问题D
x if )x (q D
int x if )x (q )x (q )x (q )x (f (x)k k ∂→+∞↑∈>μ+=ψ)()
(满足其中我们构造201m
,i )x (g .t .s )
x (f min i ,:
考虑如下优化问题问题"10=≥>>>↓120
"k μμμ等
或等
或例如:∑−=∑=∑=∑
=====m j j m
j j m j m
j j )x (g ln )x (q )
x (g ln
)x (q )x (g )x (q )x (g )x (q 11
1211
1
1惩罚项
:惩罚因子:
障碍函数::增广函数通常我们称:
)x (q ,)x (q ,)x (k k k μμψ.
step ,k :k ,step k k k k 211411转因子的缩小系数)为惩罚
这里(可取给定:+=<ββμ=μμ<μ++.
4;)(min ,)(31
1
step stop x f A x
x
q step D
x k k k 否则转的最优解,):
就是问题(则如果:∈++≤εμ(3)算法步骤(内点法):
010
1110=>ε=μ>μ∈:k ,,D int x .step 精度)(可取
,初始惩罚因子给定初始点.
x
)(x )x (g )x (f )x (q )x (f )x (min x .step k k *m
j j
k k k R
x k 1
11
2+=∈λ∑μ+=μ+=ψ,记为得到其最优解优化问题
为初始点,求解无约束以0
13
1(4)3
≥−=x .t .s x )x (f min 下优化问题
部惩罚函数法)求解如例子:试用内点法(内1
1
3−μ+=ψψx x )x ()x (k
k k 如下:
构造增广函数解:k
)x (x μ±=−1可得:由
0122=−μ−=ψ)x (x dx x
(d k k k
)x (x x μ=−≥11所以因为
)
(x )
(x k k k μ++=μ+±=+41121
4112
1
1所以
因为负根不满足条件,因此)
(x k μ+±=4112
1
因此μ2μ1
=x 3
μ1
23μ<μ<μx
ψ
x x x x 1
4112
1
1=μ++==∞→+∞→)(lim x lim x k k k k *由此可以得到:
3
1x )x (f =
算法收敛性:
(5))()(有
是由内点法产生的,则若点列结论k
k k k k
x x
x ψ≤ψ++11}{1.求问题的极小点。
的任何极限点一定是所产生的点列连续函数,则由内点法上的都是)
(、设结论}
{12.k n j x R )m ,,j (x g )x (f "=练习:
1、复习外点法和内点法,掌握外点法
的算法思想和其特点。
2、要求能用外点法去解决实际问题。
3、对于一个非常简单的实例,能够用外点法进行手工计算。