初中数学动点题型汇总

初中数学动点题型汇总
初中数学动点集
⼀、线段和、差中的动点
（⼀）利⽤垂线段最短的性质解决最⼤（⼩）值的问题
1.如下图所⽰，△ABC 是以AB 为斜边的直⾓三⾓形，AC=4，BC=3，P 为AB 上的⼀动点，且PE⊥AC 于E，PF ⊥BC 于F，则线段EF 长度的最⼩值是。

2.如图所⽰，在菱形ABCD 中，过A 作AE⊥BC 于E，P 为AB 上⼀动点，已知
13
5 AB BE ，EC=8，则线段PE 的长度最⼩值为。

3.如图所⽰，等边△ABC 的边长为1，D、E 两点分别在边AB、AC 上，CE=DE，则线段CE 的最⼩值为。

4.如右图所⽰，点A 的坐标为（0,22-），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时，
点B 的坐标为。

5.在平⾯直⾓坐标系xoy中，直线y=2x+m与y轴交于点A，与直线y=-x+4交于点B（3，n），p为直线y=-x+4上⼀动点。

（1）求m，n的值
（2）当线段AP最短时，求点p的坐标。

2。

6.已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=30
试在直线a上找⼀点M，在直线b上找⼀点N，满⾜MN⊥a且AM+MN+NB的值最短，则此时AM+NB=。

（⼆）利⽤三点共线的特征解决最⼤（⼩）值的问题
1.如图所⽰，四边形ABCD是正⽅形，边长是4，E是BC上⼀点，且BE=1，P是对⾓线AC上任意⼀点，则
PE+PB的最⼩值是。

2.如图所⽰，点P是边长为1的菱形ABCD对⾓线AC上的⼀个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM+PN 的最⼩值是。

3.如图所⽰，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最⼤距离是。

4.如图1所⽰，F，E分别是正⽅形ABCD的边CD、DA上两个动点（不与C、D、A重合），满⾜DF=AE。

直线BE、AF相交于点G，则有BE=AF，BE⊥AF；如图2所⽰，F，E分别是正⽅形ABCD的边CD、DA延长线上的两个动点（不与D、A重合），依然有BE=AF，BE⊥AF；
若在上述的图1与图2中，正⽅形ABCD的边长为4，随着动点F、E的移动，线段DG的长也随之变化。

在变化过程中，线段DG 的长是否存在最⼤值或最⼩值？若存在，求出这个最⼤值或最⼩值，若不存在，请说明理由。

（要求：分别就图1、图2直接写出结论，再选择其中⼀个图形说明理由）
5.已知正⽅形ABCD的边长为2，点P、Q为AD、CD的中点，E、F为AB、BC边上的两个动点，求四边形PQFE 周长的最⼩值。

6.如图所⽰，在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8，D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则DE+EF+FD 的最⼩值为。

7.如图所⽰，在边长为1正⽅形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有⼀只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所⾛的最⼩路程是。

8.[观察发现]如图1所⽰，四边形ABCD和四边形AEFG都是正⽅形，且点E在边AB上，连接DE和BG。

则有
DE=BG，DE⊥BG。

[深⼊探究]如图2所⽰，将图1中的正⽅形AEFG绕点A逆时针旋转⼀定的⾓度，其他条件[观察发现]中的条件相同，那么[观察发现]中的结论是否还成⽴？请根据图2加以说明。

2、[拓展应⽤]如图3所⽰，直线l上有两个动点A、B，直线l外有⼀点O，连接OA、OB，OA、OB长分别为2 4，以线段AB为边在l的另⼀侧作正⽅形ABCD，连接OD。

随着动点A、B的移动，线段OD的长也会发⽣变化，在变化过程中，线段OD的长是否存在最⼤值？若存在，求出这个最⼤值；若不存在，请说明理由。

9.如图所⽰，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，两顶点A、B 分别在平⾯直⾓坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第⼀象限，连接OC，则当OC 为最⼤值时，点C 的坐标是。

10.阅读下⾯材料：
⼩伟遇到这样⼀个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC 是⼀个可以变化的⾓）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下⽅作等边△PBC，求AP 的最⼤值。

⼩伟是这样思考的：利⽤变换和等边三⾓形将边的位置重新组合。

他的⽅法是以点B 为旋转中⼼将△ABP 逆时针旋转60°得到BC A '△，连接A A '，当点A 落在C A '上时，此题可解（如图2）
请你回答：AP 的最⼤值是。

参考⼩伟同学思考问题的⽅法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC，边AB=4，P 为△ABC 内部⼀点，则AP+BP+CP 为最⼩值时，求∠BPC 的度数。

（三）利⽤轴对称变换解决最⼤（⼩）值的问题
1.在⼀平直河岸l同侧有A、B两村庄，A、B到l的距离AM、BN分别是3km，2km，且MN为3km，现计划在河岸上建⼀抽⽔站P，⽤输⽔管向两个村庄A、B供⽔，则⽔管长度最少为km（精确到0.1km）
2.⾯积为3，有⼀边也为3的三⾓形中，周长最短三⾓形的周长为。

3.如图所⽰，在直⾓坐标系中，点A、B的坐标分别为（1,4）和（3,0），点C是y轴上的⼀个动点，且A、
B、C三点不在同⼀条直线上，当△ABC的周长最⼩时，点C的坐标是。

4.如图所⽰，某公路（可视为x轴）的同⼀侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建⼀货站D，向A、B、C三个村庄运送农⽤物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D
（1）试问在公路边是否存在⼀点D，使送货路线最短？若存在，请画出D点所在的位置；
（2）若∠ADO=45°，A（1,2），试求出（1）中点D的坐标。

5.如图所⽰，BA、BC是两条公路，在两条公路夹⾓内部的点P处有⼀油库，若在两公路上分别建⼀个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到⼀加油站，再到另⼀个加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
6.如图所⽰，五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找⼀点M、N，使
△AMN的周长最⼩时，则∠AMN+∠ANM的度数为。

7.如图所⽰，在旷野上，⼀个⼈骑着马从A到B，半路上他必须先到河岸l的P点去让马饮⽔，让后再让马到河岸m的Q点再次饮⽔，最后到达B点，他应该如何选择饮马地点P、Q，才能使所⾛的路程AP+PQ+QB l、为直线）。

最短（假设河岸m
8.如图所⽰，已知A（1，-3），B（4，-1），P（a，0），N（a+2，0），当四边形ABNP的周长最⼩时，a=。

9.如图1，在直线l 同侧有A、E 两点。

（1）通过两图，在直线l 上找到⼀点P，使得AP+EP 的值最⼩；
（2）如图2，分别过点A、E 作AB⊥BD，ED⊥BD，C 为线段BD 上⼀动点，连接AC、EC。

已知AB=9，DE=1，AE=17，设CD=x ，⽤含x 的代数式表⽰AC+CE 的长；
（3）应⽤A：如图3，若直线l 是⼀条河流，A、E 代表河流同侧的两个⼯⼚，欲在河岸上建⼀供⽔站，供A、E 两个⼯⼚的⽤⽔，为了节省费⽤，使通⽔管道到两个⼯⼚的距离之和最短；已知⼯⼚A 到河岸的距离为9km，⼯⼚E 到河岸的距离为
1km，A、E 两个⼯⼚之间的距离为17km，请你求出通⽔管道的最短长度；
（4）应⽤B：借助上⾯的思考过程与⼏何模型，求代数式()8116922+-++x x 的最⼩值（0。

10.如图所⽰，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最⼩值是。

（四）利⽤旋转变换解决最⼤（⼩）值的问题
4，BC的中点为D。

将△ABC绕点C顺时针旋1.如图所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=3
转任意⼀个⾓度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG。

在旋转过程中，DG的最⼤值是。

2.如图所⽰为边长为2a的等边三⾓形ABC，M是⾼CH所在直线上的⼀个动点，连接MB，将线段BM绕点B 逆时针旋转60°得到BN，连接HN。

则在点M运动过程中，线段HN长度的最⼩值是。

3.如图所⽰，C为BD上⼀点，分别以BC和CD为边向同侧作等边△ABC、△ECD，AD和BE相交于点M。

探究线段BE和AD的数量关系和位置关系。

在图中你还发现了什么结论？
思考：当△ECD绕点C在平⾯内顺时针转动时，你能求出线段BE的取值范围吗？
4.如图所⽰，四边形ABCD是正⽅形，△ABE是等边三⾓形，M为对⾓线BD（不含B点）上任意⼀点，将BM 绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。

（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最⼩；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最⼩，并说明理由；
3 时，求正⽅形的边长。

（3）当AM+BM+CM的最⼩值为1
5.已知：在△ABC 中，BC=a，AC=b，以AB 为边作等边△ABD。

探究下列问题：
（1）如图1所⽰，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=；（2）如图2所⽰，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧是，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=；
（3）如图3所⽰，当∠ACB 变化，且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求CD 的最⼤值及相应的∠ACB 的度数。

6.在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转⾓为θ（0°<θ<180°）
，得到C B A ''△。

（1）如图1所⽰，当''B A ∥AC 时，设C A '与AB 相交于点D。

证明：△BCD 是等边三⾓形；
（2）如图2所⽰，连接A A '、B B '，
设'ACA △和'BCB △的⾯积分别为'ACA S △和'BCB S △。

求'ACA S △与'BCB S △的⽐。

（3）如图3所⽰，设AC 的中点为E，''B A 的中点为P，BC=a，连接EP，求⾓θ为多少度时，EP 最长，并求出EP 的最⼤值。

7.如下图所⽰，已知M是线段BC的中点，BC=4，分别以MB、MC为边在线段BC的同侧作等边△BAM、等边△MCD，连接AD。

将△MDC绕点M逆时针⽅向旋转α（60°<α<120°），得到'
△，'
MD
'C
MD交AB于点E，MC交AD于点F，连接EF。

'
（1）求证：EF∥'
D；
'C
（2）△AEF的周长是否存在最⼩值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最⼩值。

⼆、⾯积问题中的动点
（⼀）动点与图形⾯积的定值
1.如图所⽰，已知A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3m/s的速度沿AB⾄BC移动，⼀直到点C为⽌，点Q以2cm/s的速度向点D移动。

问：P、Q两点从出发开始⼏秒时，四边形PBCQ的⾯积是33cm2?
2.如图所⽰，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。

（1）如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过⼏秒钟后，△PBQ的⾯积等于8cm2；
（2）如果点P、Q分别从A、B同时出发，并且点P到B点后⼜继续在BC边上前进，点Q到点C后⼜继续在CA边上前进，则经过⼏秒钟后，△PCQ的⾯积等于12.6cm2。

（⼆）动点与图形⾯积的⽐值
1.如图所⽰，在平⾯直⾓坐标系中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是
O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）。

若直线L 经过点M（2，3），且将多边形OABCDE 分割成⾯积1:1的两部分，则下列各点在直线L 上的是（）
A.（4，3）
B.（5，2）
C.（6，2）
D.（0，3
10）2.如图所⽰，在平⾯直⾓坐标系中，A（1，4），B（3，2），点C 是直线204+-=x y 上的⼀动点，若OC 恰好平分四边形OACB 的⾯积，则C 点坐标为。

3.如图所⽰，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的⾓平分线，P 是AD 边上⼀动点，过P 点作EF∥AB，PM∥AC.
（1）证明四边形PFAM 为菱形；
（2）当菱形PFAM 的⾯积为四边形BEFM ⾯积的⼀半时，P 点在AD 边上的何处？。