《2.3.1 离散型随机变量的均值》导学案(新部编)2

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
《2.3.1 离散型随机变量的均值》导学案2
【课标要求】
1．理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 2．掌握离散型随机变量的均值的性质，掌握两点分布、二项分布的均值．
3．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
【核心扫描】
1．离散型随机变量均值的概念与计算方法．(重点) 2．离散型随机变量均值的性质及应用．(重点、难点) 3．两点分布与二项分布的均值．(易混点)
自学导引
1．离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：若离散型随机变量X 的分布列为：
则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1，2,3，…，n .E (Y )
＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .
试一试：已知随机变量ξ的分布列为
则x ＝________，P 提示 x ＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；
P (1≤ξ<3)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5； E (ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.
2．两点分布与二项分布的均值
试一试：若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，3，则E (X )的值为( )． A.43 B.83 C.133 D.89
提示 ∵n ＝4，p ＝13，∴E (X )＝np ＝43
.
名师点睛
1．对离散型随机变量的均值的理解
随机变量的均值表示了随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称为随机变量的平均数．
对于n 个数x 1，x 2，…，x n ，称x ＝1
n
(x 1＋x 2＋…＋x n )为这n 个数的平均数．从随机变
量的角度看这个问题，设X 为从这n 个数中任取的一个数，则X 所有可能的取值便为x 1，x 2，…，
x n ，P (X ＝x i )＝1
n
(i ＝1,2，…，n )，即X 的概率分布列为
E (X )＝x 1·1
n ＋x 2·1
n ＋x 3·n ＋…＋x n ·n
＝1
n
(x 1＋x 2＋…＋x n )．
不难看出，均值的定义是初中所学平均数定义的推广． 2．对公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 的理解
(1)当a ＝0时，E (b )＝b ，即常数的均值就是这个常数本身．
(2)当a ＝1时，E (X ＋b )＝E (X )＋b ，即随机变量X 与常数之和的均值等于X 的均值与这个常数的和．
(3)当b ＝0时，E (aX )＝aE (X )，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量
均
值的乘积.
题型一 利用定义求离散型随机变量的均值
【例1】 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望．
[思路探索] 先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代入公式即可． 解 取出4只球颜色及得分分布情况是：
4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此， P (X ＝5)＝C 14C 3
3C 47＝4
35，
P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝18
35，
P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝12
35，
P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝1
35，
故X 的分布列如下：
∴E (X )＝5×435＋6×35＋7×35＋8×35＝7
(分)．
[规律方法] 求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P (ξ＝k )；(3)写出分布列；(4)利用E (ξ)的计算公式计算E (ξ)．
【变式1】 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望．
解 从10件产品中任取3件，共有C 3
10种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k
7，其中k ＝0,1,2,3.
∴P (X ＝k )＝C k 3C 3－k
7
C 310，k ＝0,1,2,3.
所以随机变量X 的分布列为
∴E (X )＝0×724＋1×40＋2×40＋3×120＝10
.
题型二 二项分布的均值
【例2】 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是1
3.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这排装饰
灯闪烁一次时：
(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．
[思路探索] 4盏装饰灯各闪烁一次，相当于4次独立重复试验，则ξ服从二项分布，利用二项分布的概率公式求解．
解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132
＝827
.
(2)法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，
依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫134－k
(k ＝0,1,2,3,4)．
∴ξ的概率分布列为：
∴数学期望E (ξ)＝0×8＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3
.
法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，23，
∴E (ξ)＝4×23＝8
3
.
[规律方法] 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键． 二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量ξ是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数． 【变式2】 某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：
则E (X )＝p ＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝
np ＝5×0.6＝3.
题型三 离散型随机变量均值的应用
【例3】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及期望E (η)．
审题指导 (1)利用对立事件求“每位顾客都不采用1期付款”的概率，再利用P (A )＋
P (A )＝1，求P (A )；(2)分别求η＝200、250、300的概率，列出η的分布列，由期望公
式求期望．
[规范解答] (1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A 的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A ，则
P (A )＝0.63＝0.216，
∴
P (A )＝1－P (A )＝0.784.(6分)
(2)由题意可知η可以取200,250,300，分布列如下
∴Eη【题后反思】 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．
【变式3】 据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被
盗，保险公司赔偿a 元(a ＞100)．问a 如何确定，可使保险公司期望获利？
解 设X 表示保险公司在参加保险人身上的收益， 则X 的取值为X ＝100和X ＝100－a ， 则P (X ＝100)＝0.99.
P (X ＝100－a )＝0.01，
所以E (X )＝0.99×100＋0.01×(100－a ) ＝100－0.01a ＞0， 所以a ＜10 000.
又a ＞100，所以100＜a ＜10 000.
即当a 在100和10 000之间取值时保险公司可望获利．
方法技巧 化归与转化思想在求均值中的应用
化归与转化思想是高中数学的重要思想，对于这种思想我们从两个角度来理解： (1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化归为较易问题，将未解决的问题化归为已解决的问题；
(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法．
对于本节，化归转化思想尤为重要，我们也可通过化归转化将实际问题的解决转化为数学期望模型，用数学期望去分析和解决实际问题．
【示例1】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1
2，乙每次击中目标
的概率为2
3
.记甲击中目标的次数为ξ，乙击中目标的次数为η.
(1)求ξ的分布列； (2)求ξ和η的数学期望．
[思路分析] 甲、乙两人各射击3次，可看作3次独立重复试验，从而将问题转化为服从二项分布的概率问题．
解 (1)P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123
＝18
，
P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
3
＝38， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫12
3
＝38， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
3＝18
.
ξ的分布列为
(2)法一 由(1)可知
E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18
＝1.5.
法二 由题意可得ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，η～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，23. ∴E (ξ)＝3×12＝32＝1.5，E (η)＝3×2
3
＝2.
【示例2】 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．
[思路分析] 本题考查独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和均值等基础知识，考查分类讨论思想及分析问题解决问题的能力．
解 (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 的事件．
因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，
由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，
P (F )＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为
P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知D E F ，D E F ，D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
因此E(ξ)
方法点评对于本节内容，化归与转化思想尤为重要，我们可以通过化归转化将实际问题的解决转化为数学期望模型，运用相互独立事件、互斥事件、独立重复事件的概率求解相
关
问题.。