2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测
模拟试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．设复数z 满足z ·i ＝1＋i ，i 为虚数单位，则
i
z
＝A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
2．若圆x 2＋y 2－4x ＋8y ＋2m ＝0的半径为2，则实数m 的值为
A ．－9
B ．－8
C ．9
D ．8
3．已知直线l 上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l
的斜率为A ．
32
B ．
23
C ．－
32
D ．－
23
4．已知点(x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2＝4外，则直线x 0x ＋y 0y ＝4与圆C 的位置关系是
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
5．记正整数m 、n 的最大公约数为(m ，n )，例如，(2，5)＝1，(6，15)＝3．已知数列{a n }的前n
项和为S n ，且a n ＝(n ，n ＋2)，则S 50＝A ．50
B ．75
C ．100
D ．1275
6．下列椭圆的形状更接近于圆的是
A ．2
2
x ＋y 2＝1
B ．23x ＋2
2
y ＝1
C ．24x ＋2
3
y ＝1
D ．25x ＋2
4
y ＝1
7．已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的m 、n ∈N *，都有a m +n ＝a m ＋a n ，若正整数k 满足a 2k -1＋
a 2k +1＋a 2k +3＋…＋a 2k +17＝100，则k ＝A ．1
B ．10
C ．50
D ．100
8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若△AOF 面积是△BOF
面积的两倍，则|AB |＝A ．4
B ．
9
2
C ．5
D ．
112
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡．．．相应位置上．．．．．
．）9．已知直线l ：x ＋y ＋c ＝0(c ≠0)，O 为坐标原点，则
A．直线l的倾斜角为120°
B．若O到直线l的距离为1，则c＝2
C．过O且与直线l平行的直线方程为x＝0
D．过O且与直线l－y＝0
10．当m变化时，方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)表示的曲线形状，下列说法中正确的是A．m＝1时，方程表示一条直线
B．m＜1或m＞3是方程表示双曲线的充要条件
C．1＜m＜3时，方程表示椭圆
D．该方程不可能表示抛物线
11．若{a n}为等差数列，S n为其前n项的和，则下列说法中一定成立的是
A．a2＋a7＋a11＝a8＋a12B．存在A、B∈R，使得a n＝An＋B
C．若S p＝S q(p≠q)，则S p+q＝0D．{n S
n
}是等差数列
12．设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线C围成图形的面积为2π－4
C．曲线C
D．曲线上任意两点间距离的最大值为4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．）13．写出一个具有下列性质①②的数列{a n}的通项公式a n＝________．①2a n+1＝a n＋a n+2；②a n+1＜a n．
14．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(3，2)，则过两点P1(a1，b1)、P2(a2，b2)的直线的方程为________．
15．记[x]为不大于实数x的最大整数，例如：[3.2]＝3，[2]＝2，[－3.2]＝－4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝[lg n]，则数列{a n}的前2023项的和S2023＝________．
16．若y＝3
3x＋1
x的图象是以y＝
3
3
x和x＝0为渐近线的双曲线，则其离心率为________．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答
．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．(本小题满分10分)
在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列
{F n }，并根据规律得到了递推关系式：F n +2＝F n +1＋F n ．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．
问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有n (n ∈N *)级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有n (n ∈N *)级时的不同走法数为a n ，显然，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有n (n ∈N *)级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有n (n ∈N *)级时的不同走法数为b n ，显然，b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4，…请分别就上述两个问题，写出数列{a n }、{b n }的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式．
18．(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．(1)求B ；
(2)若c －a ＝3，且△ABC 的面积为
ABC 的外接圆的半径．
19．(本小题满分12分)
已知直线l 经过P (－2，0)，且与圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝9相交于A 、B 两点．(1)若CA ⊥CB ，求直线l 的斜率；(2)若PA ＝λAB
(λ＞0)，求λ的取值范围．
20．(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n ＋3．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列b n }满足：b n ＝2
n
n a ，求数列{b n }的最大项．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆
2
4
x
＋
2
3
y
＝1的左、右顶点为A1、A2，与y轴平行的直线交椭圆于两点P1、P2，直
线A1P1与直线A2P2的交点为P．
(1)求点P的轨迹方程Γ；
(2)若曲线Γ上的点Q满足∠A1QA2＝30°，求△A1QA2的面积．
22．(本小题满分12分)
已知抛物线x2＝4y，过P(－1，2)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线相交于A、B两点，l2与抛物线相交于C、D两点，线段AB、CD的中点分别为M、N．
(1)证明：直线MN过定点；
(2)若线段MN的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测
模拟试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．设复数z 满足z ·i ＝1＋i ，i 为虚数单位，则
i
z
＝D A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
2．若圆x 2＋y 2－4x ＋8y ＋2m ＝0的半径为2，则实数m 的值为D
A ．－9
B ．－8
C ．9
D ．8
3．已知直线l 上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l
的斜率为B A ．
32
B ．
23
C ．－
32
D ．－
23
4．已知点(x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2＝4外，则直线x 0x ＋y 0y ＝4与圆C 的位置关系是A
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
5．记正整数m 、n 的最大公约数为(m ，n )，例如，(2，5)＝1，(6，15)＝3．已知数列{a n }的前n
项和为S n ，且a n ＝(n ，n ＋2)，则S 50＝B A ．50
B ．75
C ．100
D ．1275
6．下列椭圆的形状更接近于圆的是D
A ．2
2
x ＋y 2＝1
B ．23x ＋2
2
y ＝1
C ．24x ＋2
3
y ＝1
D ．25x ＋2
4
y ＝1
7．已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的m 、n ∈N *，都有a m +n ＝a m ＋a n ，若正整数k 满足a 2k -1＋
a 2k +1＋a 2k +3＋…＋a 2k +17＝100，则k ＝A A ．1
B ．10
C ．50
D ．100
8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若△AOF 面积是△BOF
面积的两倍，则|AB |＝B A ．4
B ．
9
2
C ．5
D ．
112
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡．．．相应位置上．．．．．
．）9．已知直线l ：x ＋y ＋c ＝0(c ≠0)，O 为坐标原点，则CD
A．直线l的倾斜角为120°
B．若O到直线l的距离为1，则c＝2
C．过O且与直线l平行的直线方程为x＝0
D．过O且与直线l－y＝0
10．当m变化时，方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)表示的曲线形状，下列说法中正确的是ABD
A．m＝1时，方程表示一条直线
B．m＜1或m＞3是方程表示双曲线的充要条件
C．1＜m＜3时，方程表示椭圆
D．该方程不可能表示抛物线
11．若{a n}为等差数列，S n为其前n项的和，则下列说法中一定成立的是BCD A．a2＋a7＋a11＝a8＋a12B．存在A、B∈R，使得a n＝An＋B
}是等差数列
C．若S p＝S q(p≠q)，则S p+q＝0D．{n S
n
12．设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则ABD
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线C围成图形的面积为2π－4
C．曲线C
D．曲线上任意两点间距离的最大值为4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．）13．写出一个具有下列性质①②的数列{a n}的通项公式a n＝________．①2a n+1＝a n＋a n+2；②a n+1＜a n．
－n(答案不唯一)
14．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(3，2)，则过两点P1(a1，b1)、P2(a2，b2)的直线的方程为________．
3x＋2y＋1＝0
15．记[x]为不大于实数x的最大整数，例如：[3.2]＝3，[2]＝2，[－3.2]＝－4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝[lg n]，则数列{a n}的前2023项的和S2023＝________．
4962
16．若y ＝33x ＋1
x
的图象是以y ＝33x 和x ＝0为渐近线的双曲线，则其离心率为________．233
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)
在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列{F n }，并根据规律得到了递推关系式：F n +2＝F n +1＋F n ．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．
问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有n (n ∈N *)级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有n (n ∈N *)级时的不同走法数为a n ，显然，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有n (n ∈N *)级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有n (n ∈N *)级时的不同走法数为b n ，显然，b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4，…请分别就上述两个问题，写出数列{a n }、{b n }的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式．
答：问题1：a 4＝5，a 5＝8，a n +2＝a n +1＋a n ；问题2：b 4＝7，b 5＝13，b n +3＝b n +2＋b n +1＋b n ．18．(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．(1)求B ；
(2)若c －a ＝3，且△ABC 的面积为ABC 的外接圆的半径．
答：(1)B ＝
3
π
；(2)733．
19．(本小题满分12分)
已知直线l 经过P (－2，0)，且与圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝9相交于A 、B 两点．(1)若CA ⊥CB ，求直线l 的斜率；(2)若PA ＝λAB
(λ＞0)，求λ的取值范围．
答：(1)
1
7
或1；(2)λ
20．(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n ＋3．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列{b n }满足：b n ＝2
n
n a ，求数列{b n }的最大项．
答：(1)a n ＝15122
n n n -=⎧⎨≥⎩，，；(2)b 3＝9
4．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆24x ＋2
3
y ＝1的左、右顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线交椭圆于两点P 1、P 2，直
线A 1P 1与直线A 2P 2的交点为P ．(1)求点P 的轨迹方程Γ；
(2)若曲线Γ上的点Q 满足∠A 1QA 2＝30°，求△A 1QA 2的面积．答：(1)24x －23y ＝1，y ≠0；(2)243
7
．
22．(本小题满分12分)
已知抛物线x 2＝4y ，过P (－1，2)作互相垂直的两条直线l 1、l 2，l 1与抛物线相交于A 、B 两点，l 2与抛物线相交于C 、D 两点，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N ．(1)证明：直线MN 过定点；
(2)若线段MN 的中点记为E ，求点E 的纵坐标的最小值．答：(1)(0，4)；(2)
63
16
．。