金融工程16学习.pptx
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其中T 是到期时刻，S 是指呐喊时刻的资产价格。
我们也可以用二叉树或三叉树模型为呐喊期权定 价，
在每个结点我们都要分别计算持有者呐喊和持 有者没有呐喊的期权价值，取其大者。
整个过程很类似美式期权的定价过程。
第18页/共26页
复合期权：
在 t0 时刻给予持有者一个在特定时间 t1 t0 以特定价格买卖 另一个期权的权利，后面这个标的期权将在 t2 t1 t0 时刻到期。复
执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的款额。这种或有
资产看涨期权的价值就是
S 。 eqTtN类d似1 地，或有资产看跌期权
的价值就是
。S常e规qT期tN权d可1 以分解为两值期权的组合。比
如一份常规欧式看涨期权就等于一份或有资产看涨期权多头和一份
或有现金看涨期权空头之和，一份常规欧式看跌期权等于一份或有
它最重要的特点在于：其到期回报依赖于标的资产在 一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均 价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价 公式中的一个独立状态变量。
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平均资产价期权
平均执行价期权
算术平均
I
1 n
S1
S2
...
Sn
几何平均
ln
I
1 n
ln
S1
1.如果障碍水平高于初始价格，则我们把它叫做向上期权。 2.如果障碍水平低于初始价格，则我们把它叫做向下期权。 将以上分类进行组合，我们可以得到诸如向下敲出看涨期权 （Down-and-out Call）、向下敲入看跌期权（Down-and-in Put）等组合形式。
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根据市场需求而变形的特殊交易条款
max VT UT ,0
第23页/共26页
1.奇异期权的基本类型包括分拆与组合、弱式路径依赖、强式路径 依赖、时间依赖、维数和阶数。 2.奇异期权的变化很多，并且处在不断的衍生和变化当中。 3.障碍期权的回报依赖于标的资产的价格在特定时间内是否达到了一 个特定的水平，一般可以分为敲出期权、敲入期权、向上期权 和向下期权等。障碍期权属于弱式路径依赖期权。 4.亚式期权的回报依赖于标的资产在一段时间内的平均价格，回溯期 权的损益则依赖于标的资产在某个确定的时段中达到的最大或最小 价格，它们都属于强式路径依赖期权。 5.其他的奇异期权还包括两值期权（现金或无价值期权、资产或无价 值期权）、打包期权（由期权和其他金融资产组成的证券组合）、 远期开始期权（现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权）、 二阶期权（复合期权和选择者期权）、多资产期权（多个标的资产 的期权）以及呐喊期权等等。
其中 S1 为 t1 时刻标的期权中的标的资产价格，X 0 为复合期权
执行价格。
第20页/共26页
复合期权和选择者期权的定价模型在实际应用方面存 在着同样的问题： 期权价值对资产价格服从的概率分布性质非常敏感， 这些公式在实际当中都很少直接使用，交易者常常用 随机波动率模型或是隐含波动率矩阵来定价。
的克组-舒合尔，斯令的建i 模 思S，fi 想我，们我就们可得以到得篮到子无期风权险的组价合值，方这程样为根：据布莱
f
t
n
r Si
i1
f Si
1 2
n i1
n
i j ij Si S j
j 1
2 f SiS j
rf
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（二）资产交换期权
资产交换期权（Exchange Options）是另一种常见的多
第25页/共26页
感谢您的观看！
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第21页/共26页
（一）彩虹期权 彩虹期权（Rainbow Options）是指标的资产有两种以上的期
权，比如篮子期权（Basket Options）。篮子期权的回报取决于一 篮子资产的价值。这些资产包括单个股票、股票指数或是外汇等。 篮子期权的价值可以在高维的布莱克-舒尔斯框架中得到解释。
建立一个包括一篮子期权 f S1, S2和,..., Sn,份t 各项标i 的资产
外部障碍 期权
障碍水平 的时间 依赖性
障碍水平 的重新 设定
提前执行 的可能性
多次触及 障碍水平
特殊 交易 条款
第4页/共26页
折扣 返还
双重 障碍
障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受 到资产到期前遵循的路径的影响。
障碍期权是属于弱式路径依赖。我们只需要知道这个障碍是否 被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息。关于路径的信息不 会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被 触发，障碍期权到期时的回报仍然和常规期权是相同的。
资产看跌期权多头和一份或有现金看跌期权空头之和，其中的现金
支付金额等于执行价格 。
第14页/共26页
打包期权通常是由常规的欧式期权、 远期合约、现金和标的资产等构成的证券 组合。
经济意义：可以利用这些金融工具之间 的关系，组合成符合需要的投资工具。
最常见的打包期权：具有零初始成本的 期权组合。
另一种可以实现零初始成本的期权是延 迟支付期权（Deferred Payment Options）。
合期权是二阶期权，因为复合期权给了我们对另一个衍生工具的权利。
首先，为标的期权定价
假设我们的复合期权是看涨期权的看涨期权，则标的期权价值 f1 满足
f1 t
1 2
2S 2
2 f1 S 2
rS
f1 S
rf1
0
条为
f1 S2,t2 max S2 X1,0
其中 S2为 t2 时刻标的期权中的标的资产理论价格，X1为标的期权执行
障碍期权通常比常规期权便宜。障碍距离资产价格现价越近， 期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。相反，一个敲入期权将 会被某个相信障碍水平将会实现的人购买，这时期权同样也会比相 应的普通期权便宜。购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有 类似性质的现金流保值。
第5页/共26页
亚式期权（Asian Options）是当今金融衍生品市 场上交易最为活跃的奇异期权之一。
t 价格。通过以上公式计算出 1 时刻的标的期权理论价值 f1 S1,t1 。
第19页/共26页
复合期权（续）
然后为复合期权定价，得到 t0 时刻的复合期权价值满足：
f0 t
12 2
f12
2 f0 f12
rf1
f0 f1
rf0 0
条件为 f0 f1,t1 max f1 S1,t1 X0,0
期权到期时价格超过执行价格的概率为 N d2
因此现金或无价值看涨期权的价值就是 QerTtN d2 相应地现金或无价值看跌期权的价值是 QerTtN d2
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两值期权（续）
资产或无价值看涨期权（Asset-or-nothing Call）。如果标
的资产价格在到期日时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于
第11页/共26页
奇异期权的种类非常繁多，而且正在不断扩大中 除了前面具体分析的三种期权，本节还将介绍其他一些 常见的奇异期权
两值期权 打包期权 标准美式期权 远期开始期权 呐喊期权 复合期权和选择者期权 多资产期权
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两值期权（Binary Options）也是一种基本期权，其到期回报 是不连续的。 其中一种是现金或无价值看涨期权（Cash-or-nothing Call）。 到期日时，如果标的资产价格低于执行价格，该期权没有价值； 如果高于执行价格，则该期权支付一个固定的数额Q。
第24页/共26页
6.大多数奇异期权和路径依赖期权的定价仍然可以在布莱克－舒 尔斯模型框架中进行。例如障碍期权中的障碍条件主要反映在相 应的边界条件上，连续平均的亚式期权在原来的偏微分方程中加 进了对新的平均值变量的一阶偏导。我们也可以得到其中一些奇 异期权的定价公式。但是大部分情况下，我们无法得到精确的解 析解，或者是这些公式难以在实际中运用，大多时候人们是用数 值方法或是近似方法来为奇异期权和路径依赖期权定价。 7.蒙特卡罗模拟常用于处理路径依赖期权，但缺点是收敛缓慢， 为此，人们对树图方法进行了多种改进，使之可以用于估计许多 路径依赖型的期权价格。 8.有些奇异期权比常规期权更容易保值，如亚式期权，另一些奇 异期权则更难保值，如障碍期权，现实中人们使用静态期权复制 的方法来为之保值 。
资产期权，它可以有多种形式：比如对于一个美国投资者而言，
用澳元购买日元的期权就是用一种外币资产交换另一种外币资
产的期权，股权收购（Stock Tender Offer）则可以看成是用
一个公司的股份换取另一个公司股份的期权。
一个在 时T刻用价值为 的U资T 产来换取价值为 的V资T 产的欧
式期权，其回报为
1.敲出障碍期权（Knock-out Options）：当标的资 产
价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被 “敲出”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍
水 平，则仍然是一个常规期权。
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2.敲入障碍期权（Knock-in Options）：正好与敲出期权相反， 只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在 （即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作 废。在此基础之上，我们可以通过考察障碍水平与标的资产初始 价格的相对位置，进一步为障碍期权分类：
固定执行价期权 浮动执行价期权
第10页/共26页
回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，属于强式路径 依赖期权。 可依前述的强式路径依赖定价的思路，根据连续观测和 离散观测的不同，将回溯期权定价纳入到布莱克-舒尔斯 模型框架中。
但回溯期权的定价和亚式期权有所不同： 亚式期权中平均价必然会随着观测值的增加而改变， 取最值的回溯价则不一定会改变
亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分 布值的算术平均值并不服从对数正态分布。为了解决这个问题， 人们采用了各种方法，但是仍然无法得到解析的定价公式。对标 的算术平均亚式期权更多的是采用数值方法或以标的几何平均亚 式期权来近似逼近，常见的如下：
二阶矩近似法 控制方差法 相似变量代换法
第17页/共26页
呐喊期权(Shout Options) 是一个常规欧式 期权加上一个额外的特征：
在整个期权有效期内，持有者可以向空头方 “呐喊”一次。在期权到期时，期权持有者可以 选择以下两种损益中的一种：
一个常规欧式期权的回报； 根据呐喊时刻的内在价值得到的回报。
呐喊期权的回报写为 maxST S ,0 S X
原理：目前不支付期权价格，到期时支 付期权价格的终值。
执行价格等于相应资产的远期价格时， 这类延迟支付期权又叫做不完全远期、波 士顿期权、可选退出的远期和可撤销远期。
第15页/共26页
标准美式期权在有效期内任何时间都可执行且执行价格总 是相同的，非标准美式期权则对其做了一些改动：
百慕大期权（Bermudan Options）只能在事先确 定的时间内提前执行
第9页/共26页
能在价格最高点卖出，或在最低点买进， 是市场交易者梦寐以求的情形。
回溯期权（Lookback Options）就提供了这样一种可能。 回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称 为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价 ），根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格，回溯 期权可以分为：
公司发行的认股权证（Warrants）往往规定提前执 行的时间段，而且执行价格也会有所不同
第16页/共26页
远期开始期权（Forward Start Options）是现在支 付期权费而在未来某时刻才开始的期权
零时刻的期权为
c0 S0N d1 S0ert2t1N d2
远期开始期权的价值与具有相同有效期的处于平价状 态的常规期权价值完全相同。
ln
S2
ln
S3
...
ln
Sn
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几何平均亚式期权
在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解。几 何平均期权的解析价格公式之所以存在，是因为布莱克-舒 尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对 数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。
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算术平均亚式期权
我们也可以用二叉树或三叉树模型为呐喊期权定 价，
在每个结点我们都要分别计算持有者呐喊和持 有者没有呐喊的期权价值，取其大者。
整个过程很类似美式期权的定价过程。
第18页/共26页
复合期权：
在 t0 时刻给予持有者一个在特定时间 t1 t0 以特定价格买卖 另一个期权的权利，后面这个标的期权将在 t2 t1 t0 时刻到期。复
执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的款额。这种或有
资产看涨期权的价值就是
S 。 eqTtN类d似1 地，或有资产看跌期权
的价值就是
。S常e规qT期tN权d可1 以分解为两值期权的组合。比
如一份常规欧式看涨期权就等于一份或有资产看涨期权多头和一份
或有现金看涨期权空头之和，一份常规欧式看跌期权等于一份或有
它最重要的特点在于：其到期回报依赖于标的资产在 一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均 价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价 公式中的一个独立状态变量。
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平均资产价期权
平均执行价期权
算术平均
I
1 n
S1
S2
...
Sn
几何平均
ln
I
1 n
ln
S1
1.如果障碍水平高于初始价格，则我们把它叫做向上期权。 2.如果障碍水平低于初始价格，则我们把它叫做向下期权。 将以上分类进行组合，我们可以得到诸如向下敲出看涨期权 （Down-and-out Call）、向下敲入看跌期权（Down-and-in Put）等组合形式。
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根据市场需求而变形的特殊交易条款
max VT UT ,0
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1.奇异期权的基本类型包括分拆与组合、弱式路径依赖、强式路径 依赖、时间依赖、维数和阶数。 2.奇异期权的变化很多，并且处在不断的衍生和变化当中。 3.障碍期权的回报依赖于标的资产的价格在特定时间内是否达到了一 个特定的水平，一般可以分为敲出期权、敲入期权、向上期权 和向下期权等。障碍期权属于弱式路径依赖期权。 4.亚式期权的回报依赖于标的资产在一段时间内的平均价格，回溯期 权的损益则依赖于标的资产在某个确定的时段中达到的最大或最小 价格，它们都属于强式路径依赖期权。 5.其他的奇异期权还包括两值期权（现金或无价值期权、资产或无价 值期权）、打包期权（由期权和其他金融资产组成的证券组合）、 远期开始期权（现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权）、 二阶期权（复合期权和选择者期权）、多资产期权（多个标的资产 的期权）以及呐喊期权等等。
其中 S1 为 t1 时刻标的期权中的标的资产价格，X 0 为复合期权
执行价格。
第20页/共26页
复合期权和选择者期权的定价模型在实际应用方面存 在着同样的问题： 期权价值对资产价格服从的概率分布性质非常敏感， 这些公式在实际当中都很少直接使用，交易者常常用 随机波动率模型或是隐含波动率矩阵来定价。
的克组-舒合尔，斯令的建i 模 思S，fi 想我，们我就们可得以到得篮到子无期风权险的组价合值，方这程样为根：据布莱
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i1
f Si
1 2
n i1
n
i j ij Si S j
j 1
2 f SiS j
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（二）资产交换期权
资产交换期权（Exchange Options）是另一种常见的多
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感谢您的观看！
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（一）彩虹期权 彩虹期权（Rainbow Options）是指标的资产有两种以上的期
权，比如篮子期权（Basket Options）。篮子期权的回报取决于一 篮子资产的价值。这些资产包括单个股票、股票指数或是外汇等。 篮子期权的价值可以在高维的布莱克-舒尔斯框架中得到解释。
建立一个包括一篮子期权 f S1, S2和,..., Sn,份t 各项标i 的资产
外部障碍 期权
障碍水平 的时间 依赖性
障碍水平 的重新 设定
提前执行 的可能性
多次触及 障碍水平
特殊 交易 条款
第4页/共26页
折扣 返还
双重 障碍
障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受 到资产到期前遵循的路径的影响。
障碍期权是属于弱式路径依赖。我们只需要知道这个障碍是否 被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息。关于路径的信息不 会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被 触发，障碍期权到期时的回报仍然和常规期权是相同的。
资产看跌期权多头和一份或有现金看跌期权空头之和，其中的现金
支付金额等于执行价格 。
第14页/共26页
打包期权通常是由常规的欧式期权、 远期合约、现金和标的资产等构成的证券 组合。
经济意义：可以利用这些金融工具之间 的关系，组合成符合需要的投资工具。
最常见的打包期权：具有零初始成本的 期权组合。
另一种可以实现零初始成本的期权是延 迟支付期权（Deferred Payment Options）。
合期权是二阶期权，因为复合期权给了我们对另一个衍生工具的权利。
首先，为标的期权定价
假设我们的复合期权是看涨期权的看涨期权，则标的期权价值 f1 满足
f1 t
1 2
2S 2
2 f1 S 2
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0
条为
f1 S2,t2 max S2 X1,0
其中 S2为 t2 时刻标的期权中的标的资产理论价格，X1为标的期权执行
障碍期权通常比常规期权便宜。障碍距离资产价格现价越近， 期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。相反，一个敲入期权将 会被某个相信障碍水平将会实现的人购买，这时期权同样也会比相 应的普通期权便宜。购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有 类似性质的现金流保值。
第5页/共26页
亚式期权（Asian Options）是当今金融衍生品市 场上交易最为活跃的奇异期权之一。
t 价格。通过以上公式计算出 1 时刻的标的期权理论价值 f1 S1,t1 。
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复合期权（续）
然后为复合期权定价，得到 t0 时刻的复合期权价值满足：
f0 t
12 2
f12
2 f0 f12
rf1
f0 f1
rf0 0
条件为 f0 f1,t1 max f1 S1,t1 X0,0
期权到期时价格超过执行价格的概率为 N d2
因此现金或无价值看涨期权的价值就是 QerTtN d2 相应地现金或无价值看跌期权的价值是 QerTtN d2
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两值期权（续）
资产或无价值看涨期权（Asset-or-nothing Call）。如果标
的资产价格在到期日时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于
第11页/共26页
奇异期权的种类非常繁多，而且正在不断扩大中 除了前面具体分析的三种期权，本节还将介绍其他一些 常见的奇异期权
两值期权 打包期权 标准美式期权 远期开始期权 呐喊期权 复合期权和选择者期权 多资产期权
第12页/共26页
两值期权（Binary Options）也是一种基本期权，其到期回报 是不连续的。 其中一种是现金或无价值看涨期权（Cash-or-nothing Call）。 到期日时，如果标的资产价格低于执行价格，该期权没有价值； 如果高于执行价格，则该期权支付一个固定的数额Q。
第24页/共26页
6.大多数奇异期权和路径依赖期权的定价仍然可以在布莱克－舒 尔斯模型框架中进行。例如障碍期权中的障碍条件主要反映在相 应的边界条件上，连续平均的亚式期权在原来的偏微分方程中加 进了对新的平均值变量的一阶偏导。我们也可以得到其中一些奇 异期权的定价公式。但是大部分情况下，我们无法得到精确的解 析解，或者是这些公式难以在实际中运用，大多时候人们是用数 值方法或是近似方法来为奇异期权和路径依赖期权定价。 7.蒙特卡罗模拟常用于处理路径依赖期权，但缺点是收敛缓慢， 为此，人们对树图方法进行了多种改进，使之可以用于估计许多 路径依赖型的期权价格。 8.有些奇异期权比常规期权更容易保值，如亚式期权，另一些奇 异期权则更难保值，如障碍期权，现实中人们使用静态期权复制 的方法来为之保值 。
资产期权，它可以有多种形式：比如对于一个美国投资者而言，
用澳元购买日元的期权就是用一种外币资产交换另一种外币资
产的期权，股权收购（Stock Tender Offer）则可以看成是用
一个公司的股份换取另一个公司股份的期权。
一个在 时T刻用价值为 的U资T 产来换取价值为 的V资T 产的欧
式期权，其回报为
1.敲出障碍期权（Knock-out Options）：当标的资 产
价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被 “敲出”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍
水 平，则仍然是一个常规期权。
第2页/共26页
2.敲入障碍期权（Knock-in Options）：正好与敲出期权相反， 只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在 （即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作 废。在此基础之上，我们可以通过考察障碍水平与标的资产初始 价格的相对位置，进一步为障碍期权分类：
固定执行价期权 浮动执行价期权
第10页/共26页
回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，属于强式路径 依赖期权。 可依前述的强式路径依赖定价的思路，根据连续观测和 离散观测的不同，将回溯期权定价纳入到布莱克-舒尔斯 模型框架中。
但回溯期权的定价和亚式期权有所不同： 亚式期权中平均价必然会随着观测值的增加而改变， 取最值的回溯价则不一定会改变
亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分 布值的算术平均值并不服从对数正态分布。为了解决这个问题， 人们采用了各种方法，但是仍然无法得到解析的定价公式。对标 的算术平均亚式期权更多的是采用数值方法或以标的几何平均亚 式期权来近似逼近，常见的如下：
二阶矩近似法 控制方差法 相似变量代换法
第17页/共26页
呐喊期权(Shout Options) 是一个常规欧式 期权加上一个额外的特征：
在整个期权有效期内，持有者可以向空头方 “呐喊”一次。在期权到期时，期权持有者可以 选择以下两种损益中的一种：
一个常规欧式期权的回报； 根据呐喊时刻的内在价值得到的回报。
呐喊期权的回报写为 maxST S ,0 S X
原理：目前不支付期权价格，到期时支 付期权价格的终值。
执行价格等于相应资产的远期价格时， 这类延迟支付期权又叫做不完全远期、波 士顿期权、可选退出的远期和可撤销远期。
第15页/共26页
标准美式期权在有效期内任何时间都可执行且执行价格总 是相同的，非标准美式期权则对其做了一些改动：
百慕大期权（Bermudan Options）只能在事先确 定的时间内提前执行
第9页/共26页
能在价格最高点卖出，或在最低点买进， 是市场交易者梦寐以求的情形。
回溯期权（Lookback Options）就提供了这样一种可能。 回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称 为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价 ），根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格，回溯 期权可以分为：
公司发行的认股权证（Warrants）往往规定提前执 行的时间段，而且执行价格也会有所不同
第16页/共26页
远期开始期权（Forward Start Options）是现在支 付期权费而在未来某时刻才开始的期权
零时刻的期权为
c0 S0N d1 S0ert2t1N d2
远期开始期权的价值与具有相同有效期的处于平价状 态的常规期权价值完全相同。
ln
S2
ln
S3
...
ln
Sn
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几何平均亚式期权
在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解。几 何平均期权的解析价格公式之所以存在，是因为布莱克-舒 尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对 数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。
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算术平均亚式期权