[高考总复习资料]数学一轮总复习第9章平面解析几何第三节椭圆及其性质AB卷文1

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第三
节 椭圆及其性质AB 卷 文 新人教A 版
1.(2014·大纲全国，9)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率
为
3
3
，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 2
3＋y 2
＝1 C.
x 2
12
＋y 28
＝1 D.
x 212＋y 2
4
＝1 解析 由已知e ＝c a ＝
33
，又△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝2a ＋2a ＝43， 解得a ＝3，故c ＝1，b ＝a 2
－c 2
＝2， 故所求的椭圆方程为x 23＋y 2
2＝1，故选A.
答案 A
2.(2015·新课标全国Ⅱ，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，点(2，2)
在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.
解 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2
b
2＝1，
解得a 2
＝8，b 2
＝4.所以C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 2
4
＝1得 (2k 2
＋1)x 2
＋4kbx ＋2b 2
－8＝0.
故x M ＝
x 1＋x 2
2＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b
2k 2＋1
. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－1
2k
，
即k OM ·k ＝－1
2
.
所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.
3.(2013·新课标全国Ⅰ，21)已知圆M ：(x ＋1)2
＋y 2
＝1，圆N ：(x －1)2
＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.
解 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .
(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2).
(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时， 其方程为(x －2)2
＋y 2
＝4.
若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23，
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则
|QP ||QM |＝R
r 1
，可求得Q (－4，0)， 所以可设l ：y ＝k (x ＋4). 由l 与圆M 相切得
|3k |1＋k
2
＝1，
解得k ＝±
24
. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 2
4＋y 2
3＝1，并整理得7x 2
＋8x －8＝0，
解得x 1，2＝－4±62
7.
所以|AB |＝1＋k 2
|x 2－x 1|＝187.
当k ＝－
24时，由图形的对称性可知|AB |＝187
. 综上，|AB |＝23或|AB |＝18
7
.
4.(2016·新课标全国Ⅰ，5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝1
2
b .
在Rt △OFB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12
b ，代入解得a 2＝4
c 2
，故椭圆离心
率e ＝c a ＝1
2
，故选B.
答案 B
5.(2016·新课标全国Ⅲ，12)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点，
A ，
B 分别为
C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于
点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23
D.34
解析 设M (－c ，m )，则E ⎝
⎛⎭⎪⎫0，
am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M
三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝1
3
.
答案 A
6.(2013·新课标全国Ⅱ，5)设椭圆C ：x 2a ＋y 2
b
＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P
是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36
B.13
C.12
D.33
解析 如图所示，在Rt △PF 1F 2中， |F 1F 2|＝2c .设|PF 2|＝x ， 则|PF 1|＝2x ，
由tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝x 2c ＝3
3，
得x ＝233
c .
而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ， ∴a ＝32x ＝3c ，∴e ＝c a ＝c 3c ＝33.
答案 D
7.(2014·新课标全国Ⅱ，20)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，
M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4
，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解 (1)根据c ＝a 2
－b 2
及题设知
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2
a 2c ＝34
，2b 2＝3ac . 将b 2
＝a 2
－c 2
代入2b 2
＝3ac ，
解得c a ＝12，c
a
＝－2(舍去).
故C 的离心率为1
2
.
(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段
MF 1的中点，故b 2
a
＝4，即b 2＝4a .①
由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则
⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪
⎨
⎪⎧x 1＝－3
2c .y 1＝－1.
代入C 的方程，得9c 2
4a 2＋1
b
2＝1.②
将①及c ＝a 2
－b 2
代入②得9（a 2
－4a ）4a 2
＋14a
＝1.解得a ＝7，b 2
＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝ 2 7.
1.(2015·广东，8)已知椭圆x 2
25＋y 2
m
2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )
A.2
B.3
C.4
D.9
解析 由题意知25－m 2
＝16，解得m 2
＝9，又m >0，所以m ＝3. 答案 B
2.(2015·福建，11)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，
直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
32，1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，1 解析 左焦点F
0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4
5
，∴1≤b ＜2.
离心率e ＝c
a
＝
c 2a 2＝a 2－b 2
a 2
＝
4－b 2
4∈⎝
⎛⎦⎥⎤
0，32，故选A. 答案 A
3.(2013·广东，9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于1
2，则C 的
方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 2
3＝1 C.x 24＋y 2
2
＝1 D.x 24＋y 2
3
＝1 解析 由题意，得c ＝1，e ＝c a ＝1a ＝12，所以a ＝2，b 2
＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23
＝1.
答案 D
4.(2014·四川，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为6
3
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形
OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.
解 (1)由已知可得，c
a ＝
6
3
，c ＝2，所以a ＝ 6. 又由a 2
＝b 2
＋c 2
，解得b ＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝
m －0
－3－（－2）
＝－m .
当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1
m
，直线PQ 的方程是x ＝my －2.
当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y
2
2
＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2
－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2
＋8(m 2
＋3)＞0. 所以y 1＋y 2＝
4m m 2
＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3
.
因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →
，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2). 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1
＋x 2
＝－12
m 2
＋3＝－3，y 1
＋y 2
＝4m
m 2
＋3＝m .
解得m ＝±1.
此时，四边形OPTQ 的面积
S OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×1
2
·|OF |·|y 1－y 2|
＝2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4m m 2＋32
－4·－2m 2＋3＝2 3. 5.(2014·安徽，21)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1
的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.
(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝3
5，求椭圆E 的离心率.
解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.
(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得，
|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得，
|AB |2
＝|AF 2|2
＋|BF 2|2
－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2
－65(2a －3k )·(2a －k ).
化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .
因此|BF 2|2
＝|F 2A |2
＋|AB |2
，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形.从而c ＝22
a ， 所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝
22
.
6.(2012·湖南，21)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为1
2的椭圆E 的一个
焦点为圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＋2＝0的圆心. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为1
2的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C
相切时，求P 的坐标.
解 (1)由x 2
＋y 2
－4x ＋2＝0得(x －2)2
＋y 2
＝2，故圆C 的圆心为点(2，0).
从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝1
2
.
所以a ＝2c ＝4，b 2
＝a 2
－c 2
＝12. 故椭圆E 的方程为x 216＋y 2
12
＝1. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.
则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝1
2.
由l 1与圆C ：(x －2)2
＋y 2
＝2相切得 |2k 1＋y 0－k 1x 0|
k 21＋1
＝2，
即[(2－x 0)2
－2]k 2
1＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 2
0－2＝0. 同理可得[(2－x 0)2
－2]k 2
2＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 2
0－2＝0.
从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2
－2]k 2
＋2(2－x 0)y 0k ＋y 2
0－2＝0的两个实根，
于是⎩
⎪⎨⎪⎧（2－x 0）2
－2≠0Δ＝8[（2－x 0）2＋y 2
0－2]＞0， ①
且k 1k 2＝y 20－2（2－x 0）2
－2＝12
. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 20
12＝1，y 2
－2（2－x 0
）2－2＝12
得5x 2
0－8x 0－36＝0， 解得x 0＝－2或x 0＝185.
由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝18
5
得y 0＝±
57
5
，它们均满足①式.
故点P 的坐标为(－2，3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185
，575或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－575.
7.(2013·四川，9)从椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，
A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，
B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，
则该椭圆的离心率是( ) A.2
4 B.12 C.22
D.32
解析 由题意可得P (－c ，b 2a )，A (a ，0)，B (0，b )由AB ∥OP ，得－b a ＝－b 2
ac
，化简，得b
＝c ，所以离心率e ＝c a ＝22
. 答案 C
8.(2013·辽宁，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相
交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4
5，则C 的离心率为( )
A.35
B.57
C.45
D.67
解析 设椭圆的右焦点为F 1，由余弦定理，得|AF |2
＝|AB |2
＋|BF |2
－2|AB ||BF |·cos ∠ABF ＝36，则有|AF |＝6，故∠AFB ＝90°，由椭圆的对称性知四边形FAF 1B 为矩形，则有|BF |＋|BF 1|＝8＋6＝14＝2a ，
即a ＝7，|FF 1|＝|AB |＝10＝2c ，即c ＝5，
则C 的离心率为e ＝c a ＝57
.
答案 B
9.(2015·浙江，15)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b
c
x 的对称点Q
在椭圆上，则椭圆的离心率是________.
解析 设Q (x 0
，y 0
)，则FQ 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0
＋c 2，y 0
2，k FQ
＝y 0
x 0
－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 0
2＝b c ·x 0
＋c 2，y 0
x 0
－c ·b c ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧x 0＝c （2c 2－a 2）a 2
，
y 0
＝2bc
2
a 2
，
又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2（2c 2－a 2）2a 6
＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a
，则4e 6＋e 2
＝1，∴离心率e ＝2
2. 答案
22
10.(2014·江西，14)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴
的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________.
解析 由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2
－b 2
，因为过F 2且与x 轴垂直的直线
为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2
a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，－b 2
2a ，
又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2
2a c －0×－b 2a －0c －（－c ）
＝－1，整理得3b 2
＝2ac ，
所以3(a 2－c 2
)＝2ac ，又e ＝c a
，0<e <1，所以3e 2
＋2e －3＝0，解得e ＝3
3
(e ＝－3舍去). 答案
3
3
11.(2013·福建，15)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .
若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________.
解析 由于直线y ＝3(x ＋c )经过焦点F 1，且其斜倾角α＝60°，则∠MF 1F 2＝60°(∠MF 1F 2＝120°时，结合对应角度关系式，不合题意).又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，即∠MF 2F 1＝30°，即MF 1⊥MF 2，则|MF 1|＝c .由椭圆的定义知|MF 2|＝2a －c ，则有c 2＋(2a －c )2＝4c 2，整理有c 2＋2ac －2a 2＝0，两边都除以a 2，整理有e 2
＋2e －2＝0，解得e ＝3－1(负值不合条件，舍去).
答案 3－1 12.(2015·安徽，20)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510
. (1)求E 的离心率e ；
(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，
证明：MN ⊥AB .
(1)解 由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255
. (2)证明 由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
，－b
2， 可得NM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 6，5b 6， 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝
－16a 2＋56b 2＝16
(5b 2－a 2). 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，
所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .
13.(2015·陕西，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22
. (1)求椭圆E 的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2. (1)解 由题设知c a ＝
22
，b ＝1，
结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，
所以椭圆的方程为x 22
＋y 2＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22
＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2
－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，
由已知Δ＞0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，
则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）
1＋2k 2，
从而直线AP ，AQ 的斜率之和
k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1
x 2
＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－
k x 2
＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1
x 1＋1
x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2
x 1x 2
＝2k ＋(2－k )4k （k －1）
2k （k －2）
＝2k －2(k －1)＝2.
14.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别
为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.
(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围.
解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|
＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.
设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此
2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2
＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，
即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.
故所求椭圆的标准方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)如图，由PF 1⊥PQ ，
|PQ |＝λ|PF 1|，得
|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.
由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，
进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，
于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，
解得|PF 1|＝4a
1＋λ＋1＋λ2，
故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝ 2a （λ＋1＋λ2
－1）1＋λ＋1＋λ
2. 由勾股定理得
|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，
从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22
＋ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22
＝4c 2， 两边除以4a 2，得
4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）
2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2
，则上式变成
e 2＝4＋（t －2）2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13.进而12＜e 2≤59
， 即
22＜e ≤53
.。