福建省南安市侨光中学2020-2021学年高一下学期第一次阶段考试数学试题
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① ;
②
③ .
已知 的内角 的对应边分别为 ，.
（1）求 ;
（2）若 ，求 的面积.
23．已知 三个顶点的坐标分别为 .
(1)若 是 边上的高,求向量 的坐标;
(2)若点E在x轴上,使 为钝角三角形,且 为钝角,求点E的横坐标的取值范围.
24．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝ ，AB⊥AD，AB＝1．
19．如图，在 中， 为线段 上靠近 点的四等分点，若 ，则 ______．
四、解答题
20．已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 .
21．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，求四边形 绕直线 旋转一周所成几何体的表面积及体积.
22．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
福建省南安市侨光中学2020-2021学年高一下学期第一次阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 是虚数单位，则复数 对应的点所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在 中，已知 ， ， ，则此三角形的解的情况是（）
【详解】
所以 ，
故答案为：4
17．两个三棱台（或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥或一个三棱锥和一个六面体）
【分析】
尝试不同截面的作图方式即可得到截得的两个多面体.
【详解】
可以作出的截面如图所示：
答案不唯一.
故答案为：两个三棱台（或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥或一个三棱锥和一个六面体）
15．已知锐角 的面积为 ， ， ，则 ______．
16．设复数 ， （i是虚数单位， ），若 ，则 ______．
17．如图所示的是一个三棱台 ，如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是______．
18．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 处.若该小虫爬行的最短路程为 ，则圆锥底面圆的半径等于___________ .
故答案为：
20．（1） ；（2）
【分析】
（1）由题意结合平面向量数量积的运算律可得 ，再由平面向量数量积的定义即可得 ，即可得解；
（2）由题意结合平面向量数量积的知识可得 ，运算即可得解.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ；
（2）由题意 ，
所以 .
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 的圆，且高为 ，
所以其表面积为 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
4．A
【分析】
由已知条件，根据正弦定理，先得到 ，再由两角和的正弦公式，得出 ，进而可判断出结果.
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
11．ABD
【分析】
对于A，B，D，利用向量的概念判断，对于D，利用相等向量的定义判断即可
21． ， .
【分析】
可得四边形 绕直线 旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，分别求出表面积和体积即可.
【详解】
可得四边形 绕直线 旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，
，则 是等腰直角三角形， ，
，
，
.
22．（1） ；（2） .
【分析】
第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得 ；
23．(1) .(2) .
【分析】
（1）设 ，求出向量 ， ， 的坐标，再由向量垂直和共线的条件，得到方程，解得即可；
（2）设 ，求得向量 ， 的坐标，由向量的夹角为钝角的等价条件：数量积小于0，且不共线，计算即可得到范围．
【详解】
解：（1）设 ,则 , ,
由题意知 ,则 ,又 ,
则有 ,即 ,①
由 ,得 ,
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行，故②不正确；
由棱柱的定义可得③正确；
底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确.
故选：A.
6．C
【分析】
根据向量的加法法则与减法法则得解.
【详解】
①根据向量的加法法则， 可得 ，所以是正确的；
②根据向量的减法法则，可得 ，所以不正确；
③ ，所以正确的；
【详解】
由正弦定理得 ，得 ，
因此，该三角形无解.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，考查推理能力，属于基础题．
3．B
【详解】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为 的正方形，
5．下列关于棱柱的说法正确的个数是（）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.
A． B． C． D．
6．根据图形（如图），下列结论正确的是（）
（1）若AC＝ ，求 的面积；
（2）若∠ADC＝ ，CD＝4，求sin∠CAD．
参考答案
1．D
【分析】
先化简 ，再利用复数的除法化简得解.
【详解】
.
所以复数对应的点 在第四象限，
故选：D
【点睛】
结论点睛：复数 对应的点为 ，点 在第几象限，复数对应的点就在第几象限.
2．C
【分析】
利用正弦定理列出关系式，将 、 、 的值代入求出 的值，即可作出判断．
即 ,②
联立①②解得 .则 .
（2）设 ,则 ,
由 为钝角,得 ,解得 ,
由 与 不能共线,得 ,解得 .
故点E的横坐标的取值范围是 .
【点睛】
本题考查向量垂直和共线的坐标表示，考查向量的夹角为钝角的等价条件，属于中档题和易错题．
24．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用余弦定理求出BC＝ ，再求出 的面积；
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 为（）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
故选：ABD
12．ABD
【分析】
直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭的应用判断 、 、 、 的结论．
【详解】
设 ， ， ， ， ， ，
对于A： ，由于 ，所以 ，
所以 ， ，故 ，故 正确；
对于 ：由于 ，则 ， ，所以 ， ，故 ，故 正确；
对于 ：若 ，所以 ，故 ，即 或 ，故 错误；
对于 ：若 ，所以 ，而
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②B．③④C．①③D．②④
7．正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为 中点，则三棱锥 的体积为
A． B． C． D．
8．如图所示，矩形 是水平放置一个平面图形的直观图，其 ， ，则原图形是（）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
9．在直角梯形 中， ， ， ， ， 是 的中点，则
也就是在面 、面 、面 上的射影．
四边形 在面 和面 上的射影相同，如图B所示；
四边形 在该正方体对角面的 内，它在面 上的射影显然是一条线段，如图C所示．
故选：BC．
14．BC
【分析】
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 ，结合已知可求范围 ，利用正弦函数的性质可得 ，即可求解 的周长 的取值范围，从而可得答案．
所以 ，故 正确．
故选： ．
13．BC
【分析】
按照三视图的作法：上下、左右、前后三个方向的射影，四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．
【详解】
解：因为正方体是对称的几何体，
所以四边形 在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，
所以
即
又 ，
所以
所以
所以
方案③：因为
所以
即
又 ，
所以 ，
所以
所以
由余弦定理 ，得
即 ，
又因为
所以
所以
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
∴ ，同理 ，
∴ ，
故选D.
【点睛】
本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.
10．A
【详解】
试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的 ,即该几何体是 个球，设球的半径为 ，则 ，解得 ，所以它的表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和,即 ，故选A．
【详解】
由பைடு நூலகம்弦定理 ，
则 ，
，
为锐角三角形，则 且 ，可得 ，
，可得 ，
， ，
故 的周长 的取值范围是 ， ．
故选：BC.
15．3
【分析】
由已知条件，根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：因为锐角 的面积为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：3.
16．4
【分析】
根据乘法法则化简，进而根据实数特点得到结果.
【详解】
由正弦定理可得， ，
整理可得，
所以
故
因为 ，所以 ，即 为钝角，
则 为钝角三角形.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理及两角和的正弦公式判断三角形的形状，属于基础试题.
5．A
【分析】
由棱柱的几何特征逐个判断即可得解.
【详解】
四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；
方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得 ；
方案③利用两角和的正切公式将 化成 ，再利用 对式子进行化简得到 ；第（2）小问：由余弦定理 可以得到关于 的关系式，再结合 可求得 ，最后求得三角形的面积即可.
【详解】
方案①：由已知及正弦定理得
所以 ，
所以
又 ，
所以 ，
所以
所以
方案②：由已知正弦定理得
A． B． C． D．
10．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是
A．17πB．18πC．20πD．28π
二、多选题
11．下列命题不正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
12．已知复数 ， ，则下列命题中为真命题的是（）
18．
【分析】
把圆锥侧面沿过点 的母线展开，画出侧面展开图，根据题中条件，即可求出结果.
【详解】
把圆锥侧面沿过点 的母线展开成如图所示的扇形，
由题意 ， ，
则 ，所以 ，
设底面圆的半径为 ，则 ，所以 .
故答案为： .
19．
【分析】
利用向量的加减运算法则得 ，根据 三点共线即可得解.
【详解】
三点共线，所以 .
【详解】
解：对于A，由 可得 与 的大小相等，但方向不一定相同，所以 与 不一定相等，所以A错误，
对于B，由 可得 的长度大于 的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误，
对于C，由 可得 与 的大小相等，方向相同，所以有 ，所以C正确，
对于D，由 ，可得 ，而不是0，所以D错误，
A．若 ，则 B．若 ，则
C． ，则 为纯虚数D．若 ，则
13．如图所示， ， 分别为正方体 的面 、面 的中心，则四边形 在该正方体的面上的正投影可能是（）
A． B． C． D．
14．已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则角 ， 的周长的值可以是（）
A．2B． C．3D．
三、填空题
④ ，所以不正确，
故选C.
7．C
【详解】
试题分析：如下图所示，连接 ，因为 是正三角形，且 为 中点，则 ，又因为 面 ，故 ，且 ，所以 面 ，所以 是三棱锥 的高，所以 ．
考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．
8．C
【分析】
由已知得原图为平行四边形， ，利用勾股定理计算边长得到 ,
可判断原图形的形状.
【详解】
因为 ， ，
所以直观图还原得 ， ，
四边形 为平行四边形， ，
则 ， ，
， ，
，
所以 ，
故原图形为菱形．
故选：C.
9．D
【分析】
由数量积的几何意义可得 ， ，又由数量积的运算律可得
，代入可得结果.
【详解】
∵ ，
由数量积的几何意义可得： 的值为 与 在 方向投影的乘积，
又 在 方向的投影为 =2，
②
③ .
已知 的内角 的对应边分别为 ，.
（1）求 ;
（2）若 ，求 的面积.
23．已知 三个顶点的坐标分别为 .
(1)若 是 边上的高,求向量 的坐标;
(2)若点E在x轴上,使 为钝角三角形,且 为钝角,求点E的横坐标的取值范围.
24．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝ ，AB⊥AD，AB＝1．
19．如图，在 中， 为线段 上靠近 点的四等分点，若 ，则 ______．
四、解答题
20．已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 .
21．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，求四边形 绕直线 旋转一周所成几何体的表面积及体积.
22．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
福建省南安市侨光中学2020-2021学年高一下学期第一次阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 是虚数单位，则复数 对应的点所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在 中，已知 ， ， ，则此三角形的解的情况是（）
【详解】
所以 ，
故答案为：4
17．两个三棱台（或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥或一个三棱锥和一个六面体）
【分析】
尝试不同截面的作图方式即可得到截得的两个多面体.
【详解】
可以作出的截面如图所示：
答案不唯一.
故答案为：两个三棱台（或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥或一个三棱锥和一个六面体）
15．已知锐角 的面积为 ， ， ，则 ______．
16．设复数 ， （i是虚数单位， ），若 ，则 ______．
17．如图所示的是一个三棱台 ，如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是______．
18．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 处.若该小虫爬行的最短路程为 ，则圆锥底面圆的半径等于___________ .
故答案为：
20．（1） ；（2）
【分析】
（1）由题意结合平面向量数量积的运算律可得 ，再由平面向量数量积的定义即可得 ，即可得解；
（2）由题意结合平面向量数量积的知识可得 ，运算即可得解.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ；
（2）由题意 ，
所以 .
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 的圆，且高为 ，
所以其表面积为 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
4．A
【分析】
由已知条件，根据正弦定理，先得到 ，再由两角和的正弦公式，得出 ，进而可判断出结果.
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
11．ABD
【分析】
对于A，B，D，利用向量的概念判断，对于D，利用相等向量的定义判断即可
21． ， .
【分析】
可得四边形 绕直线 旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，分别求出表面积和体积即可.
【详解】
可得四边形 绕直线 旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，
，则 是等腰直角三角形， ，
，
，
.
22．（1） ；（2） .
【分析】
第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得 ；
23．(1) .(2) .
【分析】
（1）设 ，求出向量 ， ， 的坐标，再由向量垂直和共线的条件，得到方程，解得即可；
（2）设 ，求得向量 ， 的坐标，由向量的夹角为钝角的等价条件：数量积小于0，且不共线，计算即可得到范围．
【详解】
解：（1）设 ,则 , ,
由题意知 ,则 ,又 ,
则有 ,即 ,①
由 ,得 ,
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行，故②不正确；
由棱柱的定义可得③正确；
底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确.
故选：A.
6．C
【分析】
根据向量的加法法则与减法法则得解.
【详解】
①根据向量的加法法则， 可得 ，所以是正确的；
②根据向量的减法法则，可得 ，所以不正确；
③ ，所以正确的；
【详解】
由正弦定理得 ，得 ，
因此，该三角形无解.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，考查推理能力，属于基础题．
3．B
【详解】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为 的正方形，
5．下列关于棱柱的说法正确的个数是（）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.
A． B． C． D．
6．根据图形（如图），下列结论正确的是（）
（1）若AC＝ ，求 的面积；
（2）若∠ADC＝ ，CD＝4，求sin∠CAD．
参考答案
1．D
【分析】
先化简 ，再利用复数的除法化简得解.
【详解】
.
所以复数对应的点 在第四象限，
故选：D
【点睛】
结论点睛：复数 对应的点为 ，点 在第几象限，复数对应的点就在第几象限.
2．C
【分析】
利用正弦定理列出关系式，将 、 、 的值代入求出 的值，即可作出判断．
即 ,②
联立①②解得 .则 .
（2）设 ,则 ,
由 为钝角,得 ,解得 ,
由 与 不能共线,得 ,解得 .
故点E的横坐标的取值范围是 .
【点睛】
本题考查向量垂直和共线的坐标表示，考查向量的夹角为钝角的等价条件，属于中档题和易错题．
24．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用余弦定理求出BC＝ ，再求出 的面积；
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 为（）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
故选：ABD
12．ABD
【分析】
直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭的应用判断 、 、 、 的结论．
【详解】
设 ， ， ， ， ， ，
对于A： ，由于 ，所以 ，
所以 ， ，故 ，故 正确；
对于 ：由于 ，则 ， ，所以 ， ，故 ，故 正确；
对于 ：若 ，所以 ，故 ，即 或 ，故 错误；
对于 ：若 ，所以 ，而
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②B．③④C．①③D．②④
7．正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为 中点，则三棱锥 的体积为
A． B． C． D．
8．如图所示，矩形 是水平放置一个平面图形的直观图，其 ， ，则原图形是（）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
9．在直角梯形 中， ， ， ， ， 是 的中点，则
也就是在面 、面 、面 上的射影．
四边形 在面 和面 上的射影相同，如图B所示；
四边形 在该正方体对角面的 内，它在面 上的射影显然是一条线段，如图C所示．
故选：BC．
14．BC
【分析】
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 ，结合已知可求范围 ，利用正弦函数的性质可得 ，即可求解 的周长 的取值范围，从而可得答案．
所以 ，故 正确．
故选： ．
13．BC
【分析】
按照三视图的作法：上下、左右、前后三个方向的射影，四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．
【详解】
解：因为正方体是对称的几何体，
所以四边形 在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，
所以
即
又 ，
所以
所以
所以
方案③：因为
所以
即
又 ，
所以 ，
所以
所以
由余弦定理 ，得
即 ，
又因为
所以
所以
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
∴ ，同理 ，
∴ ，
故选D.
【点睛】
本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.
10．A
【详解】
试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的 ,即该几何体是 个球，设球的半径为 ，则 ，解得 ，所以它的表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和,即 ，故选A．
【详解】
由பைடு நூலகம்弦定理 ，
则 ，
，
为锐角三角形，则 且 ，可得 ，
，可得 ，
， ，
故 的周长 的取值范围是 ， ．
故选：BC.
15．3
【分析】
由已知条件，根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：因为锐角 的面积为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：3.
16．4
【分析】
根据乘法法则化简，进而根据实数特点得到结果.
【详解】
由正弦定理可得， ，
整理可得，
所以
故
因为 ，所以 ，即 为钝角，
则 为钝角三角形.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理及两角和的正弦公式判断三角形的形状，属于基础试题.
5．A
【分析】
由棱柱的几何特征逐个判断即可得解.
【详解】
四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；
方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得 ；
方案③利用两角和的正切公式将 化成 ，再利用 对式子进行化简得到 ；第（2）小问：由余弦定理 可以得到关于 的关系式，再结合 可求得 ，最后求得三角形的面积即可.
【详解】
方案①：由已知及正弦定理得
所以 ，
所以
又 ，
所以 ，
所以
所以
方案②：由已知正弦定理得
A． B． C． D．
10．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是
A．17πB．18πC．20πD．28π
二、多选题
11．下列命题不正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
12．已知复数 ， ，则下列命题中为真命题的是（）
18．
【分析】
把圆锥侧面沿过点 的母线展开，画出侧面展开图，根据题中条件，即可求出结果.
【详解】
把圆锥侧面沿过点 的母线展开成如图所示的扇形，
由题意 ， ，
则 ，所以 ，
设底面圆的半径为 ，则 ，所以 .
故答案为： .
19．
【分析】
利用向量的加减运算法则得 ，根据 三点共线即可得解.
【详解】
三点共线，所以 .
【详解】
解：对于A，由 可得 与 的大小相等，但方向不一定相同，所以 与 不一定相等，所以A错误，
对于B，由 可得 的长度大于 的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误，
对于C，由 可得 与 的大小相等，方向相同，所以有 ，所以C正确，
对于D，由 ，可得 ，而不是0，所以D错误，
A．若 ，则 B．若 ，则
C． ，则 为纯虚数D．若 ，则
13．如图所示， ， 分别为正方体 的面 、面 的中心，则四边形 在该正方体的面上的正投影可能是（）
A． B． C． D．
14．已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则角 ， 的周长的值可以是（）
A．2B． C．3D．
三、填空题
④ ，所以不正确，
故选C.
7．C
【详解】
试题分析：如下图所示，连接 ，因为 是正三角形，且 为 中点，则 ，又因为 面 ，故 ，且 ，所以 面 ，所以 是三棱锥 的高，所以 ．
考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．
8．C
【分析】
由已知得原图为平行四边形， ，利用勾股定理计算边长得到 ,
可判断原图形的形状.
【详解】
因为 ， ，
所以直观图还原得 ， ，
四边形 为平行四边形， ，
则 ， ，
， ，
，
所以 ，
故原图形为菱形．
故选：C.
9．D
【分析】
由数量积的几何意义可得 ， ，又由数量积的运算律可得
，代入可得结果.
【详解】
∵ ，
由数量积的几何意义可得： 的值为 与 在 方向投影的乘积，
又 在 方向的投影为 =2，