2020年江西省吉安市八江中学高三数学文上学期期末试题含解析

2020年江西省吉安市八江中学高三数学文上学期期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列中，则（）
A．45 B．42 C. 21 D．84
参考答案：
A
2. 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）
B
本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含
A.的值
B.的
值
C. 的值
D.的值
参考答案：
D
4. 设函数满足，，则当时，
（）
A、有极大值，无极小值
B、有极小值，无极大值
C、既无极大值，也无极小值
D、既有极大值，又有极小值
参考答案：
C
略
5. 函数的定义域为，若对于任意的正数a，函数都是其定义域上的增函数，则函数的图像可能是 ( ).
（A） (B) (C) (D)
参考答案：
D
6. 已知集合，，则集合
A．B．
C．D．
参考答案：
D
7. 已知，则（）
A. B. C.
D.
参考答案：
A
8. 将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增
参考答案：
B
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函
数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．
解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．
即y=3sin（2x﹣）．
当函数递增时，由，得
．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：B．
点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．
9. 已知，，，则a、b、c的大小关系是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
结合0,1进行a,b,c的大小比较，即可。

【详解】,,故,故选B.
【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小，关键可以结合0,1进行大小比较，难度中等。

10. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（）
A．3盏灯B．192盏灯C．195盏灯D．200盏灯
参考答案：
C
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意设顶层的灯数为a1，由等比数列的前n项和公式求出首项a1=3，从而能求出第7项的值，由此能求出塔的顶层和底层共有几盏灯．
【解答】解：由题意设顶层的灯数为a1，
则有=381，
解得a1=3，
∴=3×26=192，
∴a1+a7=195．
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则的值为
参考答案：
12. （4分）关于x的方程|log2x|﹣a=0的两个根为x1，x2（x1＜x2），则2x1+x2的最小值为．
参考答案：
2
【考点】：函数的最值及其几何意义．
【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】：由题意可得x1=2﹣a，x2=2a，（a＞0）；从而可得2x1+x2=21﹣a+2a；再利用基本不等式即可．
解：∵关于x的方程|log2x|﹣a=0的两个根为x1，x2（x1＜x2），
∴x1=2﹣a，x2=2a，（a＞0）；
∴2x1+x2=21﹣a+2a≥2=2；
（当且仅当21﹣a=2a，即a=时，等号成立）；
故答案为：2．
【点评】：本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于基础题．
13. 已知直线y=a与函数f（x）=2x及函数g（x）=3?2x的图象分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为．
参考答案：
log23
考点：指数式与对数式的互化．
专题：计算题．
分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．
解答：解：由2x=a，可得x=log2a；由3?2x=a，可得x==log2a﹣log23
∴A，B两点之间的距离为log2a﹣（log2a﹣log23）=log23
故答案为：log23
点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于基础题．
14. 若正项递增等比数列满足，则的最小值为．
参考答案：
15. 函数的值域是__________
参考答案：
16. 计算:= .
参考答案：
-45
17. 设i是虚数单位，复数的模为1，则正数a的值为_______．
参考答案：
【分析】
先化简复数，再解方程即得解.
【详解】由题得，
因为复数z的模为1，
所以，解之得正数a＝．
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（a∈R，且a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若直线y=ax的图象恒在函数y=f（x）图象的上方，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的定义域，求出导函数，根据导函数讨论参数a，得出函数的单调区间；
（2）构造函数令h（x）=ax﹣f（x），则．问题转化为h（x）＞0恒成立时a的取值范围．对参数a进行分类讨论，利用导函数得出函数的最值即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为，且．
①当a＜0时，∵，∴ax＜﹣1，∴f'（x）＞0，函数在是增函数；
②当a＞0时，ax+1＞0，在区间上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）在区间上是增函数；在区间（0，+∞）上是减函数．
（2）令h（x）=ax﹣f（x），则．
问题转化为h（x）＞0恒成立时a的取值范围．
当a＜0时，取，则h（x）=2ae﹣3＜0，不合题意．
当a＞0时，h（x）=ax﹣f（x），则．
由于，
所以在区间上，h'（x）＜0；在区间上，h'（x）＞0．
所以h（x）的最小值为，
所以只需，即，
所以，
所以．
19. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，.
（1）求曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上求一点D，使它到直线（为参数）的距离最长，求出点D的直角坐标.
参考答案：
解：（1）由，，
可得．
所以曲线C的普通方程为）．
从而曲线C的参数方程为为参数)
（2）法一：因为直线的参数方程为（为参数），消去得直线的普通方程为．
过圆心C作，则直线，
代入圆C：得
所以点D的直角坐标为
法二：利用圆C的参数方程求点D直角坐标。

如图，
直线的倾斜角为120°，
过圆心C作x轴的平行线，
易知点D在参数方程中对应的角，
所以，，
从而点D的直角坐标为
法三：利用圆C的极坐标求点D直角坐标。

如图，
连接，则易求得点D对应的极角
所以，
从而点D的直角坐标为
20. 设函数．
（I）求f(x)的值域和最小正周期；ks5u
（II）设A、B、C为△ABC的三内角，它们的对边长分别为a、b、c，若cosC＝，
A为锐角，且，，求△ABC的面积．
参考答案：
解：（１），（２）
略
21. 如图，在多面体中，四边形是正方形，AC=AB=1，
.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值的大小.
参考答案：
（1）证明见解析；（2）.
试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：解：（1）取的中点，连结，，
，，，
四边形为平行四边形，从而，
面，面
面
2分，，
四边形为平行四边形，且
又是正方形，，且
故为平行四边形，
面，面面
，面面
面，面
6分
（2）四边形为正方形, ,
，
由勾股定理可得：，
，
，面，
，
由勾股定理可得：，
8分
故以为原点，以为轴建立坐标系如图，则，，所以，，，.
设面的法向量为，由
，令，则
设面的法向量为，则
则，令，则 10分
所以
设二面角的平面角为，
所以 . 12分考点：1、直线与平面平行的判定；2、求二面角的余弦值.
22. （文科）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。

（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的最大值。

参考答案：
(Ⅰ)解：由题意可知ab sinC=2ab cosC. …………….3分
∴tan C=∵0<C<
∴C=
…………….5分
（Ⅱ)解：由已知sin A+sin B=sin A+sin(-C-A)=sin A+sin(-A)
=sin A+cos A+sin A=sin(A+)≤ . …………….10分。