专题09 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析

专题09 数系的扩充与复数的引入
【知识点总结】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ．
(2)复数的分类
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）.
(3)复数相等 a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．
(4)共轭复数
a ＋
b i 与
c ＋
d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．
(5)复数的模
向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )．
2．复数的几何意义
(1)复数z ＝a ＋b i ―→一一对应
复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应
平面向量OZ →．
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2
i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．
4．复数的运算技巧
(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．
(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．
5．复数代数运算中常用的几个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i
＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；
(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋
3＝0，n ∈N *. 题型一 复数的有关概念
【例1】 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )
A ．1
B ． 2 C. 3 D ．2
(2)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z ＋z 2的虚部为________． 【解析】 (1)因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，
所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝
12＋12＝2，选B ．
(2)因为z ＝1－i(i 为虚数单位)， 所以z z ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）－2i ＝2i 2－2i ＝－i.故其虚部为－1. 【答案】 (1)B (2)－1
【变式1】已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－i a ＋i
为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( ) A.2
B ．11 C. 3
D ． 6
【答案】C
[解析] 由题意得，2－i a ＋i ＝t i ，t ≠0，t ∈R ，所以2－i ＝－t ＋ta i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2a ＝12
，所以z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z |＝ 3.
题型二 复数的几何意义
【例2】 (1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )
A ．－5
B ．5
C ．－4＋i
D ．－4－i (2)已知复数z ＝11－i
，则z －|z |对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 (1)因为z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2，1)，即z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.
(2)因为复数z ＝11－i ＝1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋12i ， 所以z －|z |＝12＋12i －⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B ． 【答案】 (1)A (2)B
【变式2】若复数z ＝a ＋3i
i ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )
A ．－4
B ．－3
C ．1
D ．2
【答案】A [解析] 若z ＝a ＋3i
i ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a ＜－3.
【变式3】如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →
，则复数z 1·z 2对应的点位于(
)
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D [解析] 由已知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)，
所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ，
它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．
题型三 复数代数形式的运算
【例3】 (1)若z ＝1＋2i ，则4i
z z －1＝( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
(2)已知(z －1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i (3)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6
＝________．
【解析】 (1)4i z z －1
＝4i （1＋2i ）（1－2i ）－1＝i. (2)因为z ＝4＋3i 2－i ＋1－3i ＝（4＋3i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）
＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.
(3)原式＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21 008＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝⎛⎭⎫2－2i 1 008＋i 6＝i 1 008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1＋i 2＝0. 【答案】 (1)C (2)A (3)0
【变式4】 计算下列各式的值：
(1)⎝⎛⎭⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i （1＋i ）2；(3)1＋i 1－i
＋i 3. [解] (1)⎝⎛⎭⎫2i 1＋i 2＝4i 2
（1＋i ）2＝－42i ＝2i.
(2)2＋4i （1＋i ）
2＝2＋4i 2i ＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）
＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0.
题型四 与其他知识的交汇
【例4】已知复数(1＋i)(a ＋b i)＝2＋4i(a ，b ∈R )，则函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫ax ＋π6＋b 图象的一个对称中心是( )
A.⎝⎛⎭
⎫－π6，1 B ．⎝⎛⎭⎫－π18，0 C.⎝⎛⎭⎫－π6，3 D ．⎝⎛⎭⎫5π18，1 【答案】D [解析] 因为(1＋i)(a ＋b i)＝2＋4i ，所以a ＋b i ＝2＋4i 1＋i ＝（2＋4i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＝3＋i ，所以a ＝3，b ＝1.f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π6＋1，令3x ＋π6＝k π，k ∈Z ，所以x ＝－π18＋k π3，k ∈Z ，令k ＝1，得x ＝5π18，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π18，1，故选D ．
【变式5】－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，则p ＋q ＝________．
[解析] 由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0，
即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0，
即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.
[答案] 38
【课后练习】
1．若复数z 满足z (i ＋1)＝2i －1
，则复数z 的虚部为( ) A ．－1
B ．0
C ．i
D ．1
【答案】B [解析] 因为z (i ＋1)＝2i －1，所以z ＝2（i －1）（i ＋1）＝2－2＝－1，所以z 的虚部为0. 2．已知⎝⎛⎭
⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7
B ．7
C ．－4
D ．4 【答案】A [解析] 因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4，
所以a ＋b ＝－7，故选A.
3．在复平面内与复数z ＝2i 1＋i
所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( ) A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1－i
D ．－1＋i 【答案】B [解析] 因为z ＝
2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＝i(1－i)＝1＋i ，所以A 点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.故选B ．
4．已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2
在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D [解析] 由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15
i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35
，－15，在第四象限． 5．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 7
1＋a i ＝( ) A ．i
B ．1
C ．－i
D ．－1
【答案】C [解析] 因为z 为纯虚数，所以a ＝2，
所以a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝（2－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）
＝－3i 3＝－i. 6．已知复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)则2z
－z 2的共轭复数是( ) A ．－1＋3i
B ．1＋3i
C ．1－3i
D ．－1－3i
【答案】B [解析] 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）
－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B ．
7．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1
＝________． [解析] z 2－2z z －1＝（z －1）2－1z －1＝z －1－1z －1
＝(－i)－1－i ＝－i －i －i ·i
＝－2i. [答案] －2i
8．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________． [解析] 由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2
＝i 2＝－1. [答案] －1
9．已知复数z 满足z ＋2z －2
＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________． [解析] 由z ＋2z －2
＝i 知，z ＋2＝z i －2i ， 即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222
＝2. [答案] 2 10．已知复数z ＝
4＋2i （1＋i ）2
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________． [解析] z ＝4＋2i （1＋i ）
2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.
[答案] －5
11．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i
；
(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2
； (3)1－3i （3＋i ）2
. [解] (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i
＝i 2＋i
＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2
＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i
＝（－i ）（3－i ）4 ＝－14－34
i. 12．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i.
求z .
[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.因为z ·z ＋2i z ＝9＋2i ，所以(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，
即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，①2a ＝2.② 由②得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0.
解得b ＝－2或b ＝4.所以z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.。