2020届云南省曲靖市高三上学期第二次月考数学(理)试题word版含解析

2020届云南省曲靖市高三上学期第二次月考
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}
31≤≤=x x B ，则=B A （ ）
A ．]3,1(-
B ．]1,1(-
C ．)2,1(
D ．)3,1(- 2.下列函数中，与函数1
22
log +=x y 是同一个函数的是（ ）
A ．2
)1(+=x y B ．13
3
+=x y C ．12
+=x
x y D ．12+=x y
3.设命题12:,0log 1:2
1><<-x q x p ，则p 是q 成立的是（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4.设
100cos ,5log ,233
1===-c b a ，则（ ）
A ．c b a >>
B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．a b c >> 5.下列函数中，是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增的是（ ）
A ．x
y 3-= B ．3
1x y = C ．23log x y = D ．2
x x y -= 6.已知幂函数n
x x f =)(的图象过点)4
1,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）
A ．13<<-a
B ．3-<a 或1>a C.1<a D ．1>a 7.若12log 3-≥x ，则函数32
4)(1
--=+x x
x f 的最小值为（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．9
32
-
D ．0 8.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若对任意R x ∈，都有)()4(x f x f -=+，且当]2,0[∈x 时，12)(-=x
x f ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．函数)(x f 的最小正周期为4
B ．)3()1(f f <
C ．0)2016(=f
D ．函数)(x f 在区间]4,6[--上单调递减
9.函数4
12
7ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（ ）
A ．)3,4(-
B ．]3,4(-
C ．]4,3(
D ．)4,3( 10.已知函数m x x g x x x f +=+=
22
log )(,1
)(，若对]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥， 则m 的取值范围是（ ） A ．45-
≤m B ．2≤m C ．4
3
≤m D ．0≤m 11.已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切，则2
2a b
+的取值范围是（ ）
A ．),0(+∞
B ．(0,1)
C ．)2
1,0( D ．),1[+∞
12.若函数⎪⎩⎪
⎨⎧>+-≤+=)0(43
1),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3160<<a
B ．316<a
C ．0<a 或316>a
D ．3
16≤a
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.若命题“02,02
00<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是______.
14.
=++-⎰
dx x x x )1(31
2______.
15.已知曲线x x y ln 2
-=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2
+++=x a ax y 也相切，则=a _____. 16.若曲线x x x f ln 2
1)(2
+-
=在其定义域内的一个子区间)2,2(+-k k 内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知0)12(:,0132:2
22≤++-≤+-a x a x q x x p . （1）若2=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数)32(log )(22
1+-=ax x x f .
（1）当1-=a 时，求函数的值域；
（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨）满足关系式
⎪⎩⎪
⎨⎧≤<+≤<+-=,96,7
84,63,172x x
x x ax P （其中a 为常数），已知销售价格为4万元/吨时，每天可售出该产品9吨. （1）求a 的值；
（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值.
20.（本小题满分12分）
已知函数13)(3
-+=ax x x f 的导函数为)(x f '，3)()(--'=ax x f x g . （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间；
（2）若对满足11≤≤-a 的一切a 的值，都有0)(<x g ，求实数x 的取值范围； （3）若0ln )(>+'x x g x 对一切2≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f . （1）求)(x f 的解析式；
（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围； （3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-.
考点：1、利用导数函数的单调性及求最值；2、不等式恒成立问题及不等式证明问题.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者构造新函数进一步利用导数证明.本题（3）就是构造函数后利用单调性证明的.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，
直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比.
23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R . （1）求实数t 的最大值s ；
（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求b
a b a y 334
21++
+=的最小值.
2020届云南省曲靖市高三上学期第二次月考
数学（理）试题参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}
31≤≤=x x B ，则=B A （ ）
A ．]3,1(-
B ．]1,1(-
C ．)2,1(
D ．)3,1(- 【答案】A
【解析】
试题分析：因为{}{}(1)(2)0|12A x x x x x =+->=-<<， {}
13B x x =<≤，所以，
=B A {}13x x -<≤=(]1,3-，故选A.
考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.
2.下列函数中，与函数1
22
log +=x y 是同一个函数的是（ ）
A ．2
)1(+=x y B ．13
3
+=x y C ．12
+=x
x y D ．12+=x y
【答案】B
考点：函数的定义及“三要素”.
3.设命题12:,0log 1:2
1><<-x q x p ，则p 是q 成立的是（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、充分条件与必要条件.
4.设
100cos ,5log ,233
1===-
c b a ，则（ ）
A ．c b a >>
B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．a b c >> 【答案】B
【解析】
试题分析：因为()()()13
320,1,log 51,,cos100,0a b c -==
=∈+∞=∈-∞，所以，c a b >>，故选B.
考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、三角函数的基本性质.
5.下列函数中，是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增的是（ ）
A ．x
y 3-= B ．3
1x y = C ．23log x y = D ．2
x x y -= 【答案】C
【解析】
试题分析：因为3
1x y =、2
x x y -=不是偶函数，所以排除B 、D,又因为x
y 3-=在区间),0(+∞上单调递减，所以A 也不合题意，而23log x y =是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增，故选C. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.
6.已知幂函数n x x f =)(的图象过点)4
1,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）
A ．13<<-a
B ．3-<a 或1>a C.1<a D ．1>a 【答案】B
【解析】
试题分析：因为幂函数n
x x f =)(的图象过点)41,8(， 所以3212
82243
n n n -=⇒=⇒=-，2
3()f x x -=　是
偶函数，且在()0,+∞递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得，3-<a 或1>a ，故选B.
考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.
7.若12log 3-≥x ，则函数32
4)(1
--=+x x
x f 的最小值为（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．9
32
- D ．0 【答案】A
考点：1、指数的运算与性质；2、配方法求最值.
8.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若对任意R x ∈，都有)()4(x f x f -=+，且当]2,0[∈x 时，12)(-=x
x f ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．函数)(x f 的最小正周期为4
B ．)3()1(f f <
C ．0)2016(=f
D ．函数)(x f 在区间]4,6[--上单调递减 【答案】B
【解析】
试题分析：因为函数)(x f 是定义在R 上的偶函数， 所以)()4(x f x f -=+()f x =，可得函数)(x f 的最小正周期为4，A 正确；()()0
(2016)50440210f f f =⨯==-=，C 正确；而()()()311f f f =-=，
B 错；故选B.
考点：1、函数的周期性及函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性.
9.函数4
12
7ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（ ）
A ．)3,4(-
B ．]3,4(-
C ．]4,3(
D ．)4,3( 【答案】D
考点：1、函数的定义域；2、不等式的解法.
10.已知函数m x x g x x x f +=+=
22
log )(,1
)(，若对]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥， 则m 的取值范围是（ ） A ．45-
≤m B ．2≤m C ．4
3
≤m D ．0≤m 【答案】C
【解析】
试题分析：因为]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥等价于()()min min f x g x ≥，又因为
21()x f x x +=2
2111113
244
x x x ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭，
（2x =时等号成立），22()log log 1g x x m m m =+≥+=，所以
3
4
m ≥，即43≤m ，故选C.
考点：1、全称量词与存在量词的应用；2、对数函数的性质及配方法求最值.
【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用，属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）
12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只
需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）
12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥()min g x .
11.已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切，则2
2a b
+的取值范围是（ ）
A ．),0(+∞
B ．(0,1)
C ．)2
1,0( D ．),1[+∞ 【答案】C
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性.
【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性进而求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的取值范围即可.
12.若函数⎪⎩⎪
⎨⎧>+-≤+=)0(43
1),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3160<
<a B ．316<a C ．0<a 或316>a D ．3
16≤a 【答案】A
【解析】
考点：1、利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象；2、函数的零点几数形结合思想. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象、函数的零点及数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图象解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度. 本题就是将复杂的零点问题转化为形象函数图象问题解答的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.若命题“02,0200<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是______.
【答案】]22,22[-
考点：1、全称命题与特称命题；2、不等式恒成立问题及一元二次不等式的解法. 14.
=++-⎰
dx x x x )1(31
2______.
【答案】
4
3
+π
【解析】
试题分析：因为
1
1
3
3
000)()x x dx x x dx +=++⎰⎰⎰，1
3
()x x dx +⎰2410113|244x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，
⎰
dx 等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为4
π
，所以
=
++-⎰
dx x x x )1(31
24
3
+π，故答案为
4
3
+π.
考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.
15.已知曲线x x y ln 2-=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2
+++=x a ax y 也相切，则=a _____. 【答案】1
【解析】
试题分析：因为x x y ln 2
-=()f x =，所以()()1
'2,'11f x x f x
=-
=得()f x 点)1,1(处的切线斜率为1，方程为11,y x -=-即为y x =，又因为y x =与抛物线1)2(2
+++=x a ax y 相切，所以方程
2(2)1ax a x x +++=只有一个根，即2(2)1ax a x x +++=有唯一解，()2
140a a =+-=，得1a =，故
答案为1.
考点：1、利用导数求切线方程；2、直线与抛物线的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程.本题就是根据这种方法求出曲线x x y ln 2
-=在点)1,1(处的切线方程后，再根据其与抛物线相切，求解a 的值的.
16.若曲线x x x f ln 2
1)(2
+-
=在其定义域内的一个子区间)2,2(+-k k 内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是______.
【答案】32<<k
考点：1、函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想；2、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值. 【方法点睛】本题主要考查函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将函数区间)2,2(+-k k 内不是单调函数转化为函数在)2,2(+-k k 必有极值点，然后利用导数这一工具解答是解题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知0)12(:,0132:2
2
2
≤++-≤+-a x a x q x x p . （1）若2=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1=x ；（2）2
2
10+≤
≤a .
考点：1、充分条件与必要条件；2、数形结合思想及子集的应用. 18.（本小题满分12分）
已知函数)32(log )(22
1+-=ax x x f .
（1）当1-=a 时，求函数的值域；
（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由. 【答案】（1）]1,(--∞；（2）不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. 【解析】
试题分析：（1）先求得22
23(1)22x x x ++=++≥，再根据对数函数的性质可得函数的值域；（2）根据二次函数的单调新、对数函数的单调性、复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组可得结论. 试题解析：（1）当1-=a 时，)32(log )(22
1++=x x x f ，
设22)1(32)(2
2≥++=++=x x x x h ，∴1)(-≤x f ，∴)(x f 的值域为]1,(--∞.
（2）要使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，只需32)(2
+-=ax x x h 在)2,(-∞上单调递减且0322>+-ax x 在
)2,(-∞上恒成立，所以⎩
⎨
⎧>>,0)2(,
2h a 此不等式无解， 故不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增.
考点：1、二次函数的单调性、对数函数的单调性；2、复合函数的单调性以及对数函数的定义域. 19.（本小题满分12分）
某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨）满足关系式
⎪⎩⎪
⎨⎧≤<+≤<+-=,96,7
84,63,172x x
x x ax P （其中a 为常数），已知销售价格为4万元/吨时，每天可售出该产品9吨. （1）求a 的值；
（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值. 【答案】（1）2=a ；（2）该产品每天的利润最大且为15万元
.
设商品所获得的利润为⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-+≤<--=-=,96),3)(784(,63),3)(217()3(2x x x x
x x x P x y
当63≤<x 时，)3)(217(--=x x y ，当且仅当6=x 时，取得最大值15；
当96≤<x 时，16
175
)811(252252637)784)(3(222+
--=-+=+-=x x x x x x y ， 当8=x 时，取得最大值
1516
175
<. 综上可得6=x 时，取得最大值15，即当销售价格为6万元/吨时，该产品每天的利润最大且为15万元. 考点：1、阅读能力及建模能力；2、分段函数的解析式及利用导数研究函数的单调性. 20.（本小题满分12分）
已知函数13)(3
-+=ax x x f 的导函数为)(x f '，3)()(--'=ax x f x g . （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间；
（2）若对满足11≤≤-a 的一切a 的值，都有0)(<x g ，求实数x 的取值范围； （3）若0ln )(>+'x x g x 对一切2≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）函数)(x f 的单调递增区间为),2[],2,(+∞--∞，单调递减区间为)2,2(-；（2）
310<
<x ；（3）ln 2
122
a <+
.
考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求最值；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题(2)是利用方法①求得a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）
已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f . （1）求)(x f 的解析式；
（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围； （3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-. 【答案】（1）1ln )(+=x x f ；（2）1≥k ；（3）证明见解析. 【解析】
考点：1、利用导数函数的单调性及求最值；2、不等式恒成立问题及不等式证明问题.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者构造新函数进一步利用导数证明.本题（3）就是构造函数后利用单调性证明的.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，
直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比. 【答案】（1）9)3(2
2
=+-y x ；（2）2:1
.
考点：1、极坐标方程化直角坐标的方程；2、参数方程化普通方程及点到直线距离公式. 23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R . （1）求实数t 的最大值s ；
（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求b
a b a y 334
21++
+=的最小值. 【答案】（1）6=s ；（2）2
3. 【解析】
试题分析：（1）不等式01252≥--++t x x 的解集为R 等价于t x x ≥-++1252恒成立，而
621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ；（2）
b a b a y 33421+++=
14()[(2)(33)]233a b a b a b a b =++++++1
6
⨯，利用柯西不等式可得结果.
试题解析：（1）因为01252≥--++t x x ，所以t x x ≥-++1252， 又因为621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ，
考点：1、基本不等式求最值；2、柯西不等式的应用.。