任意阶幻方的编排

召
龟
1
”
定 位于
, ,:
a :
(、 , ) ,
a
如 九 阶幻方 中
,
,
“
1
,
定 位于
`
。
。 :
.
J
,
则数
+
1应 位于
(卜
)
( ,+
:
)
如九 阶幻方 中
8
”
位于
a
。,
则
g
.
”
应位于
.
a
: `
。
但当
数。
+
3
.
1 2
1
十
` =
1时
,
1
本应 填 于
,
。
。
(,
、
,
),
因属 空 行
a
,
则改填 于
。
a
(:
,
+ :
川
+
:
)
(实 际 上 我
们将 Zn
3
.
1与 O
等 同 ) 如九 阶 幻 方 中
Zn
“
“
3 1
”
原应 填 于
(卜 : ) (:
,
。7
应 改填 于
因属空 列
,
a 。. 7
1
.
2 2
.
当j
,
=
+
1时
,
数
。;
+
1木应 填 于 a
( 工。 )
,
+ 2
),
应 改 填于
a
(一, );
。
如
九 阶幻方 巾
3
。
6
,
”
a 原应 填 于 :
. .
十: 一
喇【
, ;
2+
(2。
,一:
):
即。2
,
.
a 这时 M 圣 本 应 位于
(
,
干;
)
,
但 此 位置 为 M I 占有
根据 则
牙 1 3所 述 材 资 应改 填于 。
。,
,
继 续编 排下 去
,
M全 应位于
a
:
( 卜 : 、,
M要 应 位于
。
(2
卜: ) ( 卜
.十2 )
第
期 1
孙威霖
:
任 意阶 幻 方程 的 编 排
证明
:
( 为便 于 叙述
我们 规定 以 乃 此 表 示第 f 组 的 第 P 个数
,
即 这个 数除 以 k
,
余
数为 P )
3
。
2
。
1
根 据 编 制方 法 3
、卜 ( :
,
。
}
。
1禾r 3
.
1 2
.
.
叼 l 位于a
,
(
,
+
,
)
则 衬孟 位于a
:
(:
,
+
:
) (
,
+ 2
)
,
…… M 孟 应
,
,
,
* :
位 于 甸:
、
(`
=
1
、
2 …… k)
、
,
这 些 数 逐 一 除以
k 所 得 的余数 分 别是
,
一
2
、
……
k
一
: *
(
:
,
、
:
:
……
、
: 。
两 两互 不相 等 )
若
a
,
二
o .
+ +
lr
?
2
a
:
=
1 冷
a 。二
( 凡一 1 ) 秃 + [0
+
* 。
问 艺
(及 一 1 ) 〕 2
一
k
3
一
几
2
( 1+
十
k ) 2
一
1 2
、 、 、
如 果从
一
k 这 k
“
“
个数 中 选 取 人 个数
,
它 们 分属 于 k 个 组 中的 每 个 组
,
而且 这
些数分 别 除 以
k
3
盼
得 的 余 数 又 分属 于 k 个 余 数 类 型 的
个类型 毒
、
那 么这 k个数 的 和为
+
秃
2
证明
:
设a
,
、
a
:
、
……
:
,
、
、
a 、
这 k 个 数 分 别 来 自第 ` 组
第
1期
韩 山 师 专学 报
7月 J
o n r
n
从
e
1
1 牙9 0
年
a
l
o
f H
a n
s
五
a n
T
e a
h
e r
s
C
o
ll
e
g
e
J
u
l 了 19 9 0
任
意
阶
幻
方
的
编
排
孙 威 霖
提
要
( 包括 单 偶
。
本 文 通 过 时 奇 阶 幻 方 编 排 规律 和 理 论 根据 的 探 索 , 推 导 出一 切 偶 阶 幻 方 阶幻 方和双 偶 阶 幻 方 ) 的 编 排 方 法
十
。
这里
一
(1
一
+
一
k )
二 二
“
k
儿
“
儿
J
`
—
Z 海— —
2
它 的 形 式如 表 一
表一
Q 1
1
口 22
…
口 1 ( 奋一
l
)
Q 一 k
口
Zt
Q
2 2
…
0
2
(卜 土 )
Q 么为 为
`
三
a
(卜
x) -
Q
(k
一
1
)
2
口 ( k一
1
) ( k一
i
)
口
(几
一
z
)为
Q k
(k
一
l
)
收稿 日期
:
一 一 1 99 0 0 3 12
“
“
个 自然 数 中 按 数 序 每 k 个 数 分 成一 组
、 、
,
,
共 有 秃个 组
,
又 将 这 些数
分别 除 以
是凡 的数 )
,
则 所 包 含的 余 数 有 1 乙 … …
k 共 k 个类 型
( 我们 把 能 被 k 整除 的 数 看 成余 数
。
显然 一 个 数 除 以 几 所 得 的 余 数 与 该 数 在 该 组 的顺 序 相 同
ห้องสมุดไป่ตู้
。
应改 填 于 叽
+
a
,
。
1 2
(:
。
。
.
3
.
当f
二
二 1 了 1 2
十
“
1 时
”
,
数川
1本 应 填 于 与 如 川
。( :
n
,
因属 空行 空列
。
,
所 以 改 填于
a :
+ :
)
如九 阶 幻 方 中
46
原 于填 于
)
,
应改 填于
a
。 玄
3
.
1 3 ( a
.
如 果 某 数 。 按 规 定 方 法 应填 于 :
,
使 任 意 阶 幻 方 的 编 排 这 个 问 题 得到 解 决
关 锐词
:
奇阶幻方
;
偶阶幻方
1
。
幻方
幻 方 就 是 将 1 .2
、
… k 这 左 个 自然 数 按一 定 规 律安 排 于 儿阶方阵中
、
、
“
’
,
使 方 阵 中每 一
行 ( 列 ) 上 各数 的 和
。
舀
主
.
幅帕
Z
二二
对 角 线 上 各数 的 和 等 于 S
,+ 2
。
“
,
但 此 位 置 巳 被前 面 的 数 所 占有
,: ,
,
则 数 。 应改 所以
“
填于
) (
a
3
, 一工 ) 。
如 九 阶方 阵 中
“
1。 原 应 填 于 a
”
但 此位置 已被
“
1
”
占有
,
0 1
”
应 改 填于
`
.
根据 上 述 方 法
3
。
,
我 们 便 能 编 制 所 育奇 阶 匀 方
,
。
2
7 7
位于 二
。
` :
,
.
)(
,
、
, 一:
*
,
)
.
如上 所 述
( 则 M姿位 于 a
* :
,
同一组 k个 数的 填 写 是 按编 排 方法 3
:
.
1 2所 述 进 行 的
.
.
当M 二 位 于。
,
。 :
时
,
`
一
( )
,、
;
),
即 每 后 一 个 数 在 方 阵 中所 在 位 置 的 行 标 比 前 一 个 数 少 1
几
—
k
a
Z
+
k
2
3
.
n 奇阶 (2
1
+
1
阶 ) 幻 方 的编 制
3
.
编 制方 法
( 为便 于 说 明
,
以 编 制 九 阶 幻 方 为例 )
7
炜 山 师 专学 报
( 自然 科 学 版 )
1
0 年
布、
一
九 阶幻 方
3 3
.
1 1 1 2
u
。
.
,
将 第一 个 自 然 数
如 果数 二 位 于 a
.
.
一 川
第 1期
孙威 霖
为
:
任意 阶 幻 方 程 的 编 排
了5
肠
这里
艺
j
一 1
l a
,
-
艺
i“
1 白
。
2
, =
r
一
乏
洲
几 a 、, =
艺
卜
: a 。
=
白 丫
几
几 a
。,
二
互
“ `“ =
`
万
二
二
a
o
j
护i
乏
j` 止
(`
一
凡+
s)
=
k
a
+
秃
2
2
.
幻 方 的编 制 原 则
在
1 2 …… k
. 、 、 、
k 这 k
而列 标 却
多
`
+
1
,
所 以 同一组 中
,
各 数所在 位置 的行标 和列 标 的和相 同
( 当`
十
j < Zn
,
十
1时可按
,
j
+
n 2
+
1计 算 )
,
所 以 同 一 行 ( 列 ) 中 不 可 能 有 同一 组 的 二 个 数 存 在
.
也 就是 说 同