2.2.1 配方法(一元二次方程)

例1：解方程：4x2-25=0.
解：原方程可化为 : 25 x 4 根据平方根的意义，得
2
25 25 x 或x ， 4 4 因此，原方程的根为 5 5 x1 ，x2 . 2 2

如何解方程（x+1）2=81？
分析： 若把1 x看作一个整体，则由（1 x) 2 81
一元二次方程的解法 配方法
如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程 ： x 2500 0
2
把方程写成：
x2=2500
这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得
x 2500 或x 2500
因此原方程的解为：x1=50，x2=-50 对于实际问题而言，x2=-50不合题意，舍去， 因此该圆的半径为50cm。
独立 作业
根据题意，列出方程：
知识的升华
1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同 的金色纸边，制成一幅挂图。如果要求风景画的面积是整个挂 图面积的72%。那么金边的宽应是多少？ 解：设金边的宽为 x cm，根据题意得
90 2x40 2x 72% 90 40.
总结归纳 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2+65x-350 ＝0. x 即 解这个方程,得 x1 ＝5;
答:金边的宽应是5cm.
x2 ＝-70(不合题意,舍去).
独立 作业
知识的升华
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. (1) 鸡场的面积能达到 180m2吗? (2) 鸡场的面积能达到 200m2吗?
12m
我是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相 同.你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是?m吗? 你能通过解方程,帮我得到 扇形的半径x是?m吗?
12m 16m xm
解 : 设扇形的半径为xm, 根据题意得 16 12 2 πx . 2 即πx 2 96. 解这个方程, 得 96 x1 x2 5.5.其中x 5.5不合题意, 舍去. π 答 : 扇形的半径约为5.5m.
25m 180m2
(3) 鸡场的面积能达到 180m2吗?
如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
下课了!
结束寄语
配方法是一种重要的数学方 法——配方法,它可以助你到 达希望的顶点. • 一元二次方程也是刻画现实 世界的有效数学模型.
•
1.布置作业：从教材习题中选取。 2.完成状元导练本课时的习题。
总结归纳 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
助手:
平方根的意义: 如果x2=,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
解方程：x2+4x=12
分析：如果能把方程写成（x+n)2=d(d≥0)的形式， 就可以求解方程。
解：把原方程写成： x 2 4x 2 2 2 2 12， 因此，有： x 2 4x 2 2 2 2 12， 即： (x 2) 2 16 根据平方根的意义据平： x 2 4或x 2 4, 解得： x1 2, x 2 6.
解 : 设小路的宽为xm, 根据题意得 16 12 16 2 x 12 2 x . 2 即x 2 14 x 24 0. 解这个方程, 得
老师提示:在检验时,方程 x1 2, x2 12(不合题意, 舍去). 的根一定要符合问题的实 际意义.否则,舍去.
答 : 小路的宽为2m.
得1 x 81或1 x 81， 即1 x 9或1 x 9. 解得x1 8, x2 10.
例2
解方程：（2x+1）2=2
通过“降次”，将一 个一元二次方程转化 为两个一元一次方程
解：根据平方根的意义，得 : 2 x 1 2或2 x 1 2， 因此，原方程的根为 2 1 2 1 x1 ，x2 . 2 2
我是最棒的设 心动 不如行动 计师 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园,
并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
你能给出设计方案吗?
12m
我是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等. 通过解方程,我得到小路的宽为2m或12m.
你认为小明的结果对吗?为什么? 你能将小明解答的过程重现吗? 16m