江苏省【人教A版】2019学年高中数学选修课时提升作业 五 1.4

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课时提升作业五
柱坐标系与球坐标系简介
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·泰安高二检测)设点A的柱坐标为(1,π,0),则点的直角坐标为
( ) A.(-1,0,0) B.(1,0,0)
C.(0,0,-1)
D.(-1,π,0)
【解析】选A.设点的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为(ρ,θ,z)=(1,π,0),
由得即
所以点A(1,π,0)的直角坐标为(-1,0,0).
【补偿训练】点M的直角坐标为(,1,-2),则它的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.ρ==2,tanθ==,θ=,所以点M的柱坐标为
.
2.点的球坐标化为直角坐标为( )
A.(1,,0)
B.(1,-,0)
C.(-1,,0)
D.(-1,-,0)
【解析】选C.设点的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ),因为(r,φ,θ)=,
由得即
故化为直角坐标为(-1,,0).
3.在球坐标系中,满足θ=,r∈[0,+∞),φ∈[0,π]的动点P(r,φ,θ)的轨迹为( )
A.点
B.直线
C.半平面
D.半球面
【解析】选C.由于在球坐标系中,θ=,r∈[0,+∞),φ∈[0,π],故射线OM平分∠xOy,由球坐标系的意义,知动点P(r,φ,θ)的轨迹为二面角x-ON-y的平分面,这是半平面,如图所示.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为,且点M在坐标轴Oy上的射影为N,则|MN|=________.
【解析】设点M在平面xOy上的射影为P,连接PN,
则PN为线段MN在平面xOy上的射影.
因为MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy,
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|=ρ=2,|PN|==1,
在Rt△MNP中,∠MPN=90°,
所以|MN|===.
答案:
5.点M的球坐标为,则M的直角坐标为________.
【解析】因为M的球坐标为,
所以r=4,φ=,θ=
所以x=rsinφcosθ=4×1×=2,
y=rsinφsinθ=4×1×=-2,
z=rcosφ=4×0=0,
故M的直角坐标为(2,-2,0).
答案:(2,-2,0)
【补偿训练】空间点P的柱坐标为,则点P关于z轴的对称点为________.
【解析】点P关于z轴的对称点坐标为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.设点M的直角坐标为(1,-1,),求点M的坐标.
【解析】由坐标变换公式,得r==2,
由rcosφ=z(0≤φ≤π),得cosφ==,
由于0≤φ≤π,所以φ=.
又tanθ==-1(0≤θ<2π,且θ角的终边过点(1,-1)),所以θ=,
故点M的球坐标为.
7.设点M的直角坐标为(1,1,),求点M的柱坐标与球坐标.
【解析】由坐标变换公式,可得ρ==,tanθ==1,θ=(点(1,1)在平面xOy的第一象限),
r===2.
由rcosφ=z=(0≤φ≤π),
得cosφ==,φ=.
所以点M的柱坐标为,
球坐标为.
8.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,如图建立空间直角坐标系A-xyz,Ax为极轴,求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.
【解析】点C1的直角坐标为(1,1,1),
设点C1的柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),
其中ρ≥0,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
由公式及
得及
得及
结合图形得θ=,
由cosφ=得tanφ=.
所以点C1的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为,球坐标为,其中tan φ=,0≤φ≤π.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.若点P的柱坐标为,则P到直线Oy的距离为( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选D.由于点P的柱坐标为(ρ,θ,z)=,故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos=,结合图形,得P到直线Oy的距离为.
2.已知点P1的球坐标是,P2的柱坐标是,则|P1P2|= ( )
A. B. C. D.4
【解析】选A.因为点P1的球坐标是,
所以
经计算得P 1(2,-2,0),
因为P2的柱坐标是,
所以
经计算得P 2(,1,1).
所以|P1P2|
==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知柱坐标系O-xyz中,点M的柱坐标为,则|OM|=________.
【解析】因为(ρ,θ,z)=,
设点M的直角坐标为(x,y,z),
则x2+y2=ρ2=4,
所以|OM|===3.
答案:3
4.将点的直角坐标(-,,2)化为柱坐标为________,化为球坐标为__________.
【解析】由点的直角坐标(x,y,z)=(-,,2),
得ρ==2,tanθ==-1,
且角θ的终边经过点(-,),得θ=,
所以点的直角坐标(-,,2)化为柱坐标为.
由(x,y,z)=(-,,2),得r==4.
由z=rcosφ(0≤φ≤π),得cosφ=,得φ=;
又tanθ==-1,且角θ的终边经过点(-,),
得θ=,所以点的直角坐标(-,,2)化为球坐标为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,…,十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200m,每相邻两排的间距为1m,每层看台的高度为0.7m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,把点A的坐标求出来.
【解析】以圆形体育场中心O为极点,选取以O为端点且过正东方向的射线Ox 为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.
所以点A的柱坐标为.
6.一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行,已知它上升的速度为v>0,盘旋的角速度为ω>0,求t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.
【解析】取圆锥的顶点O为坐标原点,建立球坐标系,
由题意得θ=ωt,z=vt,φ=,
由于=cosφ=cos=,于是r=2z=2vt,
所以t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标为
M,t∈[0,+∞).
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