第01招 函数的定义域常见求法

【知识要点】
一、函数的定义域的定义
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据
1、分式的分母不能为零.
2(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根
(21,)n x
n k k N *=+∈其中中，x R ∈.
3、指数函数x
y a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.
4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.
5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.
6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2
x x k k z π
π≠+∈.
7、复合函数的定义域的求法
（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.
（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数
()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.
8、求函数()()y f x g x =+的定义域
一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B I ，则A B I 就是所求函数的定义域.
9、求实际问题中函数的定义域
不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示
函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上
是集合的一种特殊表示形式.
四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.
五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.
研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】
方法一直接法
使用情景函数的结构比较简单.
解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.
【例1】求函数2
253
y x x
=+-的定义域.
【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域.
【反馈检测1】求函数
2
1
x
y
x
+
=
+
.
方法二求交法
使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()()
f x
g x
h x
=+型.
解题步骤
一般先分别求函数()
g x和()
h x的定义域A和B,再求A B
I,A B
I就是函数()
f x的定义
域.
【例2】求函数2
25
y x
=-
3
log cos x的定义域.
【解析】由题得
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈
+
<
<
-
≤
≤
-
∴
⎩
⎨
⎧
>
≥
-
z
k
k
x
k
x
x
x
2
2
2
2
5
5
cos
252
π
π
π
π
∴}5
2
3
2
2
2
3
5
|
{≤
<
<
<
-
-
<
≤
-x
x
x
xπ
π
π
π或
或
所以函数的定义域为}5
2
3
2
2
2
3
5
|
{≤
<
<
<
-
-
<
≤
-x
x
x
xπ
π
π
π或
或
【点评】（1）求函数()()
y f x g x
=+的定义域，一般先求()
y f x
=和函数()
y g x
=的定义域A和B，再求A B
I，则A B
I就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos0
x>时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求
55
22
22
x
k x k k z
ππ
ππ
-≤≤
⎧
⎪
⎨
-<<+∈
⎪⎩
的解集时，只需给参数k赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网
【例3】求函数0
2
)2
3(
3
|3
|
)
lg(
-
+
-
+
-
=x
x
x
x
y的定义域.
【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.
【例4】求函数log(1)(01)
x
a
y a a a
=->≠
且的定义域.
【解析】由题得0
101=
x x
a a a
->∴>
1
a>
当时，x>0;当0<a<1时，x<0.
1{
a
∴>
当时，函数的定义域为x|x>0},
1{
a<
当0<时，函数的定义域为x|x<0}.
【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a的取值范围，一般要分类讨论.
【反馈检测2】求函数
2
ln1)
23
x
y a
x x
=-+
--+
（的定义域.
方法三 抽象复合法 使用情景
涉及到抽象复合函数.
解题步骤
利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：
只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求
出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.
【例5】求下列函数的定义域：
（1）已知函数f （
x)的定义域为[2,2]-，求函数2
(1)y f x =-的定义域； （2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （
x)的定义域； （3）已知函数f （
x)的定义域为[1,2]-，求函数2
(1)(1)y f x f x =+--的定义域.
【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，
不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B I ，则A B I 就是所求函数的定义域.
【反馈检测3】已知函数(tan 2)y f x =的定义域为[0,]8
π
，求函数()f x 的定义域.
【反馈检测4】 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21
，求函数)(log 2x f 的定义域.
方法四 实际法
使用情景 数学问题是实际问题.
解题步骤
先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围
求交集，即得函数的定义域.
【例6】用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与关于x 的函数解析式，并求出它的定义域. 【解析】如图，
【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）
该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即2x 0
2x 02
x π⎧⎪
⎨⎪⎩＞L －－＞，不能遗漏.
vcm s的速度向容器内注入某【反馈检测5】一个圆柱形容器的底部直径是dcm,高是hcm.现在以3/
种溶液.求容器内溶液的高度xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第01讲：
函数定义域的常见求法参考答案
【反馈检测1答案】{|12}
x x x
>-≤-
或
【反馈检测1详细解析】由题得
(2)(1)012
2
10
11
x x x x
x
x
x x
++≥≥-≤-
⎧
⎧
+
≥∴∴
⎨⎨
+≠
+≠-
⎩⎩
或
所以12{|12}
x x x x x
>-≤-∴>-≤-
或函数的定义域为或.
【反馈检测2答案】当1
a>时，函数的定义域为{|01}
x x
<<；当01
a
<<时，函数的定义域为{|30}
x x
-<<.
【反馈检测3答案】[0,1]
【反馈检测3详细解析】由题得0020tan21
84
x x x
ππ
≤≤∴≤≤∴≤≤，所以函数的定义域为[0,1]. 【反馈检测4答案】{}4
2
|≤
≤x
x
【反馈检测4详细解析】依题意知：2
log
2
1
2
≤
≤x解之得4
2≤
≤x∴)
(log
2
x
f的定义域为
{}4
2
|≤
≤x
x
【反馈检测5答案】函数解析式为
2
4vt
x
d
π
=,函数的定义域为{t|0≤t≤
2
hd
4v
π
}，值域为{x|0≤x≤h}. 【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为t秒后,容器中溶液的高度为xcm.故t秒后溶液的体
积为＝底面积×高＝π⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
d
2x＝vt解之得：x＝
2
4vt
d
π
又因为0≤x≤h 即0≤
2
4vt
d
π
≤h ⇒ 0≤t≤2
hd
4v
π
，故函数的定义域为{t|0≤t≤
2
hd
4v
π
}，值域为{x|0≤x≤h}.。