七年级数学下第八章二元一次方程组 思维特训 ：二元一次方程组的解法技巧

思维特训(十七) 二元一次方程组的解法技巧
方法一 整体代入法
整体代入法是把含未知数的式子代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过我们可以创造条件进行整体代入．
1．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝500，
2320x －910y ＝950.
方法二 换元法
在解题中，常常把式子中某些具有相同特征元素的某一整体设为辅助元，从而使复杂式子简单化，使未知数由复杂变为简单来寻求解题思路．
2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5（x ＋y ）－3（x －y ）＝2，2（x ＋y ）＋4（x －y ）＝6.
若设x ＋y ＝A ，x －y ＝B ，则原方程组可变形为
⎩⎪⎨⎪⎧5A －3B ＝2，2A ＋4B ＝6.解方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝1.解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法．请用这种方法解方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，2（x ＋y ）－3x ＋3y ＝24.
方法三 对称法
一般来说，用对称法求解的方程组是对称方程组，即把一个方程交换x ，y 后的形式与另一个方程完全一样，由此可知x ＝y .
3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －14＋y －17＝11，x －17＋y －14＝11.
方法四 消去常数项法
若两个方程的常数项相等，则可利用两式相减，使常数项变为0，从而得到x ，y 的数量关系，代入求解．
4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋8y ＝59，10x ＋3y ＝59.
方法五 反复加减法
反复加减法是根据方程组的特征，先相加或相减求出某整体的值，再整体代入求值，或通过反复加减使原方程组简单化的一种解题方法．
5．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5（x ＋y ）＝36，3y ＋4（x ＋y ）＝36.
6．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧74a ＋73b －145＝0，73a ＋74b －149＝0.
典题讲评与答案详析
1．解：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝500，①
2320x －910y ＝950.②
由②，得1820(x －y )＋520
x ＝950. 化简，得910(x －y )＋14
x ＝950.③ 将①代入③，得910×500＋14
x ＝950， 解得x ＝2000，
将其代入①，得y ＝1500.
故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2000，y ＝1500.
2．解：设x ＋y ＝A ，x －y ＝B .
则原方程组可变形为⎩⎪⎨⎪⎧A 2＋B 3＝6，2A －3B ＝24.
整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋2B ＝36，①2A －3B ＝24.②
①×3＋②×2，得13A ＝156，即A ＝12.
把A ＝12代入②，得B ＝0.
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝6.
3．解：⎩⎪⎨⎪⎧x －14＋y －17＝11，①x －17＋y －14＝11，②
由方程组的特点可知x ＝y ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧x －14＋y －17＝11，x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝29，y ＝29. 4．解：⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋8y ＝59，①10x ＋3y ＝59.②
①－②，得－3x ＋5y ＝0，即x ＝53
y . 将x ＝53y 代入②，得503
y ＋3y ＝59， 即593
y ＝59，解得y ＝3. 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.
5．[解析] 两个方程的第一项未知数x ，y 的系数相同，并且都含有x ＋y 的倍数，故可将x ＋y 视为一个整体，把两方程相加，先求出x ＋y 的值，而后将x ＋y 的值分别代入两方程即可得解．
解：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5（x ＋y ）＝36，①3y ＋4（x ＋y ）＝36.②
①＋②，得x ＋y ＝6.③
把③代入①，得3x ＋5×6＝36，解得x ＝2.
把x ＝2代入③，得2＋y ＝6，解得y ＝4.
∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.
6．[解析] 方程组中各未知数的系数比较大且互为质数，我们若用代入消元法或加减消元法直接求解，解答过程会很复杂．我们可以根据方程组的特点，尝试先变形为简单方程组，再消元．
解：⎩⎪⎨⎪⎧74a ＋73b －145＝0，①73a ＋74b －149＝0.②
①＋②，得147a ＋147b －294＝0，
化简，得a ＋b ＝2.③
①－②，得a －b ＋4＝0，
即a －b ＝－4.④
③＋④，得2a ＝－2，解得a ＝－1.
把a ＝－1代入③，
得－1＋b ＝2，解得b ＝3.
所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.。