2022-2023学年江苏省苏北县高一数学第一学期期末调研试题含解析
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17、（1） ，证明见解析；
（2） ，方案1可以裁剪出面积最大的矩形.
【解析】（1）分别用含有 的三角函数表示 ，写出矩形的面积，利用三角函数求最值；
（2）利用（1）的结论，根据对称性知，矩形 的最大面积为 ，然后利用作差法比较大小即可
【小问1详解】
在图1中， ， ， ， ，
，
，
当 时，矩形 最大面积为 ，得证.
方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点.
（1）按照方案1裁剪，设∠NOC= ，用 表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为 ；
（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.
（2）根据补集、并集运算求解.
【详解】（1）因为 ， 或 ，
所以
（2）由 或 ， 知 ，
所以 .
当x>0时，即 <－ ，所以 <－ ，所以 > ，所以3x－1<8，解得x<2，
当x<0时，即 <－ ，所以 >－ ，所以3－x>32，所以x<－2，
综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2).
20、（1）
（2）
【解析】（1）设Q（x，y），根据PQ⊥MN得出 ，然后由PN∥MQ得出 ，解方程组即可求出Q的坐标；
【详解】设 ，将点 代入得 ，解得 ，则 ，
所以 ，答案 B.
【点睛】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.
8、B
【解析】根据全称命题的否定是特称命题判断可得.
【详解】解：命题： 为全称量词命题，其否定为 ；
故选：B
9、A
【解析】由幂函数的定义可得出关于 的等式，求出 的值，然后再将 的值代入函数解析式进行检验，可得结果.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知有半径为1，圆心角为a（其中a为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.
方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；
C. D.
12．设函数 的定义域为 ．则“ 在 上严格递增”是“ 在 上严格递增”的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是___________，乙组数据的25%分位数是___________
【详解】若函数 在 上严格递增，对任意的 、 且 ， ，
由不等式的性质可得 ，即 ，
所以， 在 上严格递增，
所以，“ 在 上严格递增” “ 在 上严格递增”；
若 在 上严格递增，不妨取 ，
则函数 在 上严格递增，但函数 在 上严格递减，
所以，“ 在 上严格递增” “ 在 上严格递增”.
因此，“ 在 上严格递增”是“ 在 上严格递增”的充分不必要条件.
【小问2详解】
设Q（x，0），
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP，
又∵kNQ ，kNP＝﹣2，∴ 2解得x＝1，
∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）在平面 内作出辅助线 ，然后根据线面平行 判定定理证明即可；
（2）作出三棱锥 的高，将 看作三棱锥的底面，利用三棱锥体积公式计算即可.
【小问2详解】
在图（2）中，设 与边 ， 分别交于点 ， ，
由（1）的结论，可得矩形 的最大面积为 ，
根据对称性知，矩形 的最大面积为 .
因为 为锐角，所以 ，于是 .
因此， .
故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为 .
18、（1）
（2）
【解析】（1）首先分别求解两个函数的定义域，根据集合包含关系，列不等式求解 的取值范围；
（2）根据 ，得 ，求 的取值范围.
【小问1详解】
解：由题知 ，
，解得： ，
若 ，则 ，即 ，
实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
解：若 ，则 ，即 ，
实数 的取值范围是 .
19、 (1) ；(2)(－∞，－2)∪(0,2)
【解析】（1）奇函数有f(0)＝0，再由x<0时，f(x)＝－f(－x)即可求解；
（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.
试题解析：
（1）因为f(x)是定义在 上的奇函数，所以当x=0时，f(x)＝0，
当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝ ，.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－ ＝ ..
综上所述：此函数的解析式 .
（2）f(x)<－ ，当x=0时，f(x)<－ 不成立；
【详解】因为函数 为幂函数，则 ，即 ，解得 或 .
若 ，函数解析式为 ，该函数在定义域上不单调，舍去；
若 ，函数解析式 ，该函数在定义域 上为增函数，合乎题意.
综上所述， .
故选：A.
10、B
【解析】先化简 ，再令 ，求出 范围，根据 在 上有两个零点，作图分析，求得 的取值范围.
【详解】 ，由 ，又 ，
1、B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】因为命题 ： ， 是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 ， ，
故选：B2、D【解析】 Nhomakorabea，选D.
3、C
【解析】由已知，该函数关于点 对称.故选C.
4、D
【解析】由分段函数可知必须每段有且只有1个零点，写出零点建立不等式组即可求解.
【详解】因为 时至多有一个零点，单调函数 至多一个零点，
14、
【解析】由不等式 ，即 ，所以不等式的解集为 .
15、
【解析】根据三角函数的定义求出 和 的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： .
16、
【解析】由已知可得 、 恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得实数 的取值范围.
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知命题 ： ， ，那么命题 为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2．函数 的单调递增区间是
A. B.
C. D.
3．关于函数 下列叙述有误的是
A.其图象关于直线 对称
14．不等式 的解集为__________.
15．若角 的终边经过点 ，则 ___________.
16．若存在常数k和b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数x都满足： 和 恒成立（或 和 恒成立），则称此直线 为 和 的“隔离直线”．已知函数 ， ，若函数 和 之间存在隔离直线 ，则实数b的取值范围是______
则可令 ，
又函数 在 上有两个零点，作图分析：
则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.
11、D
【解析】先根据三角函数的定义求出 ，然后采用弦化切，代入 计算即可
【详解】因为点 在角 的终边上，所以
故选：D
12、A
【解析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.
【小问1详解】
证明：连接 ，交 于 ，连接 ，因为 是直三棱柱，所以 为 中点，而点 为 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
【小问2详解】
解：过 作 于 ，
因为 是直三棱柱，点 为 的中点，
所以 ，且 底面 ，
所以 ,
因为 ，所以 ，
则 ,
所以
22、（1） （2）
【解析】（1）根据交集直接能算；
C.1D.2
8．命题： 的否定为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数 幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数 （）
A. B.
C. 或 D.
10．已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
11．已知角 顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，点 在角 的终边上，则 （）
A. B.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
18．设函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围;
（2）若 ，求实数 的取值范围.
19．设 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 的解析式；
（2）解不等式 .
20．已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）.
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ.
B.其图像可由 图象上所有点横坐标变为原来的 倍得到
C.其图像关于点 对称
D.其值域为
4．若函数 恰有 个零点，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．已知集 合， ，则 （）
A. B.
C. D.
6．已知角 的终边经过点 ，则 的值为
A. B.
C. D.
7．已知幂函数 的图象过点 ，则
A. B.
而函数 恰有 个零点，
所以需满足 有1个零点， 有1个零点，
所以 ，
解得 ，
故选：D
5、B
【解析】化简集合A，由交集定义直接计算可得结果.
【详解】化简可得 ，又
所以 .
故选：B.
6、C
【解析】因为点 在单位圆上，又在角 的终边上，所以 ；
则 ；故选C.
7、B
【解析】先利用待定系数法求出幂函数 的表达式，然后将 代入求得 的值.
（2）设Q（x，0）由∠NQP＝∠NPQ得出kNQ＝﹣kNP，解方程求出Q的坐标，然后即可得出结果.
【小问1详解】
设Q（x，y），
由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1即 （x≠3）①
由已知得kPN＝﹣2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即 （x≠1）②
联立①②求解得x＝0，y＝1，∴Q（0，1）；
（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
21．如图，在直三棱柱 中，点 为 的中点， ， ， .
（1）证明： 平面 .
（2）求三棱锥 的体积.
22．已知集合 ， 或 ，
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
故选：A.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、①.45②.35
【解析】利用中位数的概念及百分位数的概念即得.
【详解】由题可知甲组数据共9个数，
所以甲组数据的中位数是45，
由茎叶图可知乙组数据共9个数，又 ，
所以乙组数据的25%分位数是35.
故答案为：45；35.
【详解】因为函数 和 之间存在隔离直线 ，
所以当 时，可得 对任意的 恒成立，
则 ，即 ，所以 ；
当 时，对 恒成立，即 恒成立，
又当 时， ，当且仅当 即 时等号成立，
所以 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
（2） ，方案1可以裁剪出面积最大的矩形.
【解析】（1）分别用含有 的三角函数表示 ，写出矩形的面积，利用三角函数求最值；
（2）利用（1）的结论，根据对称性知，矩形 的最大面积为 ，然后利用作差法比较大小即可
【小问1详解】
在图1中， ， ， ， ，
，
，
当 时，矩形 最大面积为 ，得证.
方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点.
（1）按照方案1裁剪，设∠NOC= ，用 表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为 ；
（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.
（2）根据补集、并集运算求解.
【详解】（1）因为 ， 或 ，
所以
（2）由 或 ， 知 ，
所以 .
当x>0时，即 <－ ，所以 <－ ，所以 > ，所以3x－1<8，解得x<2，
当x<0时，即 <－ ，所以 >－ ，所以3－x>32，所以x<－2，
综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2).
20、（1）
（2）
【解析】（1）设Q（x，y），根据PQ⊥MN得出 ，然后由PN∥MQ得出 ，解方程组即可求出Q的坐标；
【详解】设 ，将点 代入得 ，解得 ，则 ，
所以 ，答案 B.
【点睛】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.
8、B
【解析】根据全称命题的否定是特称命题判断可得.
【详解】解：命题： 为全称量词命题，其否定为 ；
故选：B
9、A
【解析】由幂函数的定义可得出关于 的等式，求出 的值，然后再将 的值代入函数解析式进行检验，可得结果.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知有半径为1，圆心角为a（其中a为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.
方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；
C. D.
12．设函数 的定义域为 ．则“ 在 上严格递增”是“ 在 上严格递增”的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是___________，乙组数据的25%分位数是___________
【详解】若函数 在 上严格递增，对任意的 、 且 ， ，
由不等式的性质可得 ，即 ，
所以， 在 上严格递增，
所以，“ 在 上严格递增” “ 在 上严格递增”；
若 在 上严格递增，不妨取 ，
则函数 在 上严格递增，但函数 在 上严格递减，
所以，“ 在 上严格递增” “ 在 上严格递增”.
因此，“ 在 上严格递增”是“ 在 上严格递增”的充分不必要条件.
【小问2详解】
设Q（x，0），
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP，
又∵kNQ ，kNP＝﹣2，∴ 2解得x＝1，
∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）在平面 内作出辅助线 ，然后根据线面平行 判定定理证明即可；
（2）作出三棱锥 的高，将 看作三棱锥的底面，利用三棱锥体积公式计算即可.
【小问2详解】
在图（2）中，设 与边 ， 分别交于点 ， ，
由（1）的结论，可得矩形 的最大面积为 ，
根据对称性知，矩形 的最大面积为 .
因为 为锐角，所以 ，于是 .
因此， .
故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为 .
18、（1）
（2）
【解析】（1）首先分别求解两个函数的定义域，根据集合包含关系，列不等式求解 的取值范围；
（2）根据 ，得 ，求 的取值范围.
【小问1详解】
解：由题知 ，
，解得： ，
若 ，则 ，即 ，
实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
解：若 ，则 ，即 ，
实数 的取值范围是 .
19、 (1) ；(2)(－∞，－2)∪(0,2)
【解析】（1）奇函数有f(0)＝0，再由x<0时，f(x)＝－f(－x)即可求解；
（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.
试题解析：
（1）因为f(x)是定义在 上的奇函数，所以当x=0时，f(x)＝0，
当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝ ，.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－ ＝ ..
综上所述：此函数的解析式 .
（2）f(x)<－ ，当x=0时，f(x)<－ 不成立；
【详解】因为函数 为幂函数，则 ，即 ，解得 或 .
若 ，函数解析式为 ，该函数在定义域上不单调，舍去；
若 ，函数解析式 ，该函数在定义域 上为增函数，合乎题意.
综上所述， .
故选：A.
10、B
【解析】先化简 ，再令 ，求出 范围，根据 在 上有两个零点，作图分析，求得 的取值范围.
【详解】 ，由 ，又 ，
1、B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】因为命题 ： ， 是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 ， ，
故选：B2、D【解析】 Nhomakorabea，选D.
3、C
【解析】由已知，该函数关于点 对称.故选C.
4、D
【解析】由分段函数可知必须每段有且只有1个零点，写出零点建立不等式组即可求解.
【详解】因为 时至多有一个零点，单调函数 至多一个零点，
14、
【解析】由不等式 ，即 ，所以不等式的解集为 .
15、
【解析】根据三角函数的定义求出 和 的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： .
16、
【解析】由已知可得 、 恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得实数 的取值范围.
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知命题 ： ， ，那么命题 为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2．函数 的单调递增区间是
A. B.
C. D.
3．关于函数 下列叙述有误的是
A.其图象关于直线 对称
14．不等式 的解集为__________.
15．若角 的终边经过点 ，则 ___________.
16．若存在常数k和b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数x都满足： 和 恒成立（或 和 恒成立），则称此直线 为 和 的“隔离直线”．已知函数 ， ，若函数 和 之间存在隔离直线 ，则实数b的取值范围是______
则可令 ，
又函数 在 上有两个零点，作图分析：
则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.
11、D
【解析】先根据三角函数的定义求出 ，然后采用弦化切，代入 计算即可
【详解】因为点 在角 的终边上，所以
故选：D
12、A
【解析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.
【小问1详解】
证明：连接 ，交 于 ，连接 ，因为 是直三棱柱，所以 为 中点，而点 为 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
【小问2详解】
解：过 作 于 ，
因为 是直三棱柱，点 为 的中点，
所以 ，且 底面 ，
所以 ,
因为 ，所以 ，
则 ,
所以
22、（1） （2）
【解析】（1）根据交集直接能算；
C.1D.2
8．命题： 的否定为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数 幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数 （）
A. B.
C. 或 D.
10．已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
11．已知角 顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，点 在角 的终边上，则 （）
A. B.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
18．设函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围;
（2）若 ，求实数 的取值范围.
19．设 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 的解析式；
（2）解不等式 .
20．已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）.
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ.
B.其图像可由 图象上所有点横坐标变为原来的 倍得到
C.其图像关于点 对称
D.其值域为
4．若函数 恰有 个零点，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．已知集 合， ，则 （）
A. B.
C. D.
6．已知角 的终边经过点 ，则 的值为
A. B.
C. D.
7．已知幂函数 的图象过点 ，则
A. B.
而函数 恰有 个零点，
所以需满足 有1个零点， 有1个零点，
所以 ，
解得 ，
故选：D
5、B
【解析】化简集合A，由交集定义直接计算可得结果.
【详解】化简可得 ，又
所以 .
故选：B.
6、C
【解析】因为点 在单位圆上，又在角 的终边上，所以 ；
则 ；故选C.
7、B
【解析】先利用待定系数法求出幂函数 的表达式，然后将 代入求得 的值.
（2）设Q（x，0）由∠NQP＝∠NPQ得出kNQ＝﹣kNP，解方程求出Q的坐标，然后即可得出结果.
【小问1详解】
设Q（x，y），
由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1即 （x≠3）①
由已知得kPN＝﹣2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即 （x≠1）②
联立①②求解得x＝0，y＝1，∴Q（0，1）；
（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
21．如图，在直三棱柱 中，点 为 的中点， ， ， .
（1）证明： 平面 .
（2）求三棱锥 的体积.
22．已知集合 ， 或 ，
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
故选：A.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、①.45②.35
【解析】利用中位数的概念及百分位数的概念即得.
【详解】由题可知甲组数据共9个数，
所以甲组数据的中位数是45，
由茎叶图可知乙组数据共9个数，又 ，
所以乙组数据的25%分位数是35.
故答案为：45；35.
【详解】因为函数 和 之间存在隔离直线 ，
所以当 时，可得 对任意的 恒成立，
则 ，即 ，所以 ；
当 时，对 恒成立，即 恒成立，
又当 时， ，当且仅当 即 时等号成立，
所以 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）