二次函数与平行四边形综合

合集下载

二次函数和平行四边形的结合解题思路

二次函数和平行四边形的结合解题思路二次函数和平行四边形的结合解题思路1. 引言二次函数和平行四边形是数学中的两个重要概念。

二次函数是一种具有关于自变量的平方项的函数形式，常用来描述抛物线的形状和性质。

而平行四边形是一种具有四个边都平行的四边形，具有特殊的几何性质。

本文将通过结合二次函数与平行四边形，探讨它们在解题中的有趣应用，深入理解二次函数和平行四边形的知识点与概念。

2. 二次函数与平行四边形的基本概念2.1 二次函数的基本形式二次函数通常以一般式y=ax^2+bx+c的形式出现，其中a、b、c分别是常数，a不等于0。

通过调整a、b、c的值，可以改变二次函数的图像特征，如顶点的位置、开口方向等。

2.2 平行四边形的定义平行四边形是一种四边形，它的四条边两两平行。

其中，对边相等，对角线互相平分且互相垂直。

3. 二次函数与平行四边形的关联3.1 求解二次函数与平行四边形的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，它在函数图像上具有特殊的几何意义。

通过平行四边形的性质，可以推导出二次函数的顶点与对边的关联。

具体而言，可以建立一个平行四边形，其中顶边平行于x轴，底边与二次函数图像的切线重合，并垂直于x轴。

这样一来，平行四边形的高度就是二次函数的顶点坐标。

3.2 求解二次函数与平行四边形的根二次函数的根是方程y=0的解，也就是抛物线与x轴相交的点。

通过平行四边形的性质，可以将二次函数的零点与对边的关系进行探讨。

类似地，构建一个平行四边形，其中左边平行于y轴，右边与二次函数图像的另一条切线重合，并垂直于y轴。

这样一来，平行四边形的宽度就是二次函数的根的坐标。

4. 二次函数与平行四边形的解题思路4.1 平移变换与二次函数的关系平行四边形具有平移不变性，即保持所有边平行的同时可以移动。

我们可以利用平行四边形的特性，通过平移变换来研究二次函数的图像平移。

给定一个已知的抛物线y=x^2，在x轴上平移h个单位，得到新的抛物线y=(x-h)^2。

二次函数中平行四边形的通用解决方法

二次函数中平行四边形的通用解决方法要解决关于二次函数的平行四边形问题，我们需要了解二次函数的一般形式、平行四边形的性质以及如何将这两者结合起来解决问题。

首先，二次函数的一般形式可以写为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c是常数，a不等于0。

接下来，我们需要了解平行四边形的性质。

平行四边形是一个有四个边，且对边平行的四边形。

根据平行四边形的性质，我们可以得到以下重要结论：1.对边平行：平行四边形的相对边是平行的，也就是说，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB与CD平行，且AD与BC平行。

2.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，也就是说，对角线AC和BD相交于E，那么AE与CE的长度相等，BE与DE的长度也相等。

3.同底异位角相等：平行四边形的同底异位角相等，也就是说，对于平行四边形ABCD，∠A=∠C，且∠B=∠D。

现在我们来看一些具体问题，并探讨如何应用这些性质解决平行四边形问题。

问题1：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

如何证明函数图像与y轴平行？解答：要证明函数图像与y轴平行，我们需要证明函数的导数为0。

导数表示了函数的斜率，如果导数为0，则对应的函数图像是水平的，即与y轴平行。

首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。

要证明f'(x) = 0，我们可以解方程2ax + b = 0。

解这个方程可以得到x = -b/(2a)。

因此，当x=-b/(2a)时，函数的导数为0。

根据导数的意义，这意味着函数的图像与y轴平行。

问题2：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

如何确定函数图像的顶点坐标？解答：要确定函数图像的顶点坐标，我们可以利用导数的信息。

对于二次函数来说，它的顶点坐标对应着导数为0的点。

首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。

要求导数为0，我们可以解方程2ax + b = 0。

二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)

二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：1.坐标系中的点的平移点P(x,y)的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b个单位长度(x,y-b)2.图形的平移：从本质上讲就是图形上点的平移例1：如下图，线段AB平移得到线段AB',已知A(-2,2),B(-3,-1)B'(3,1)则:向右平移6个单位长度芳V1)向上平移2个单位长度例2•在平行四边形ABCD中，其中已知A(-1，0)，B(1，-2),C(3，1)，则D点坐标?向右2个单位长度(仁-2)C(31)向上3个单位长度向右2个单位长度(-1,0)D(?,?)向上3个单位长度二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、1122点A的坐标是三、对点法①若点A 与点B 相对，则点D 与点C 相对 ②若点A 与点D 相对，则点B 与点C 相对 ③若点A 与点C 相对，则点B 与点D 相对四、典型例题学习五、小试牛刀1. 抛物线中的平行四边形存在性问题(“三定一动”)•.•AB〃CD,AB=CD.•.边CD 可看成由边BA 向右、向上平移n 个单位长度得丿|什平移(爲"牛单位矗U I 兀4J 4RfV1,、|；RT 书乐-叩个单位中厂V”"\ £>1不2」2丿向计移(旳-忖个单位蟲/即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐⑶4,>+4)例4.如图,平面直角坐标系中，已知A(-l,0),B(l,-2),C(3,l)点D 是平面内一动点,若以点 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是思路点拨：先求出A(-1,0)B(2,0)C(0,2)设点M(x,y)①点A与点B相对②点A与点C相对③点A与点M相对—1+2二x二0+0二2+y=—1+0二x=30+2二0+、二—1+x二x二0+y二0+7二例5.已知,抛物线y二-X2+x+2与X轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,点M是平面内一点，判断有几个位置能使以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐•••M(1，-2)或(-3,2)或(3,2)2.抛物线中的平行四边形存在性问题(“两定两动”)1例6•如图，平面直角坐标系中，y=—-x2+x与x轴相交于点B(4,0),点Q在抛物线的对称4轴上，点P在抛物线上,且以点0、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.线上的动点，点Q是直线y二-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点变试题:2.如图，平面直角坐标中，y二X2-2x-3与X轴相交于点A(-1,O),点C的坐标是(2,-3),点P抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。

中考数学复习《二次函数与平行四边形的综合》专项检测卷(附带答案)

中考数学复习《二次函数与平行四边形的综合》专项检测卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，已知抛物线2y x x =-++23与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，点M 是直线BC 上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的顶点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)如图1，连接AM 交BC 于点P ，若12MP AP =，求此时点M 的坐标； (3)如图2，直线y x b =+与抛物线交于A ，E 两点，过顶点D 作DF y ∥轴，交直线AE 于点F ．若点G 是抛物线上一动点，试探究在直线AE 上是否存在一点H ，使得以点D ，F ，G ，H 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，二次函数28y ax bx =++的图像与坐标轴分别交于点A 、B 、C ，5cos B 和:1:2AO BO =．(1)求二次函数表达式；(2)在第二象限内，线段AC 上有一点D ，作PD 平行于x 轴，交二次函数图像于点P 、H （点P 在y 轴左侧），作点Q 与点P 关于y 轴对称．①证明：四边形AQHO 为平行四边形；①若ACQ 是以AC 为斜边的直角三角形，求点P 的横坐标；①直角坐标系内存在点(,)E x y ，使得四边形CQEH 为平行四边形，请直接写出y 与x 的函数表达式，并求当线段PD 的长度最大时，点E 的坐标．3．如图，二次函数()20y x bx c b =-++>的图像与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,4C ，二次函数的最大值为254，P 为直线BC 上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图1，过点P 作PD BC ⊥，垂足为D ，连接CP ．是否存在点P ，使以点C ，D ，P 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点Q 也是直线BC 上方抛物线上的一动点（点Q 在点P 的左侧），分别过点P ，Q 作y 轴的平行线，分别交直线BC 于点M ，N ，连接PQ ．若四边形PQNM 是平行四边形，且周长l 最大时，求l 的最大值及相应的点P 的横坐标．4．已知，如图1，在平行四边形ABCD 中，对角线6cm AC =，8cm BC =和10cm AB =，如图2，点G 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s ，过点G 作GH BC ⊥交AB 于点H ；将平行四边形ABCD 沿对角线AC 剪开，DEF 从图1的位置与点G 同时出发，沿射线BC 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点G 停止运动时，DEF 也停止运动．设运动时间为()08t t <≤，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点F 在线段GD 的垂直平分线上？(2)设四边形AHGD 的面积为()2cm S ，试确定S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值； (3)连接EG ，试求当AG 平分BAC ∠时，四边形EGFD 与四边形AHGE 面积之比．5．如图，已知抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且()3,0A -，()1,0B 和()0,3C ，顶点为P ．(1)求抛物线的解析式；(2)若以A ，C ，P ，M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．6．已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，点P 为抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式；(2)若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB S S =，求线段CE 的长是多少？(3)当点P 在第一象限时，连接PC 和PB ，求PBC 面积的最大值时多少？(4)若点Q 在x 轴上，当以点D ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点P 的坐标．7．如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)点()(),06P m n m <<在抛物线上，当m 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．8．综合与探究：如图1，已知抛物线2142y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，直线BD 与y 轴相交于点D ，交线段AC 于点E ，且27BD DE =.(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)如图2，若抛物线的对称轴l 与直线BD 交于点P ，试探究，在平面内是否存在一点Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.9．综合与探究如图，抛物线214433y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上一动点．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．(2)连接PB，PC，求PBC面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线223=-++与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，y x x连接BC．(1)求ABC的面积；(2)如图2，点P是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B运动至点A，连接PO、PB，并以PO、PB为边作平行四边形POQB．①当平行四边形POQB的面积为9时，求点P的坐标；①直接写出在整个运动过程中，点Q与线段BC的最大距离是．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，且四边形ANEM 是平行四边形． ①求点E 的坐标；①设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BP H △，求11BP 的最小值．12．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A ，(3,0)B 与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标；(3)若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．13．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式．(2)已知P 为抛物线22y x x c =-++上一点（不与点B 重合），若点P 关于x 轴对称的点P '恰好在直线BC 上，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，以AB 为对角线画平行四边形AMBP '，将抛物线22y x x c =-++的顶点沿直线y x b=-+平移得到的抛物线恰好经过点M ，求平移后的抛物线的函数表达式．14．如图，抛物线22(0)y x x m m =-++>与y 轴交于A 点，其顶点为D ．直线122y x m =--分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，与直线AD 相交于E 点．(1)求A 、D 的坐标（用m 的代数式表示）；(2)将ACE 沿着y 轴翻折，若点E 的对称点P 恰好落在抛物线上，求m 的值；(3)抛物线22(0)y x x m m =-++>上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．15．若直线5y x =-与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，点B ，且与x 轴交于点()1,0C -．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P 为直线AB 下方抛物线上一点，过点P 作直线AB 的垂线，垂足为E ，作PF y ∥轴交直线AB 于点F ，求线段PF 最大值及此时点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y '，Q 是新抛物线y '与x 轴的交点（靠近y 轴），N 是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M ，使得以M 、N 、B 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M 的坐标．参考答案：1．(1)()1,4D 3y x =-+(2)点M 的坐标的()1,4或()2,3(3)存在，点H 的坐标为()0,1或()2,3或117317++⎝⎭,或117317--⎝⎭,2．(1)228y x x =-++ (2)①12-①21102y x =-+ (4,2)E3．(1)抛物线的解析式为234y x x =-++，直线BC 的解析式为4y x =-+(2)点P 的坐标为1846,525⎛⎫ ⎪⎝⎭或12136,525⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)l 的最大值为12，相应的点P 的横坐标224．(1)2 (2)23924(08)8S t t t =-++<≤ (3)168955．(1)223y x x =--+(2)()2,1-- ()4,1- ()2,76．(1)223y x x =-++；(3)278；(4)点P 的坐标为()11-或()11-或()1或()1．7．(1)()2,0A - ()6,0B ()0,6C -；(2)3m =，PBC 面积的最大值272；(3)存在，()2+或()2-或()4,6-．8．(1)()2,0A - ()4,0B ()0,4C (2)1433y x =-+ (3)()3,3-或()1,3--或()3,59．(1)()()2060A B -，，， ()04C ， 243y x =+ (2)PBC 的面积最大值为9，此时点P 的坐标为()35-，(3)713⎛⎫ ⎪⎝⎭，或753⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()73--，10．(1)6(2)①(0,3)或(2,3)；212 11．(1)214433y x x =--+ (2)①()2,2E --；①6212．(1)243y x x =-+； (2)94，33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)点P 的坐标为2,1或()4,3或()0,3．13．(1)223y x x =-++(2)(2,5)P --．(3)2(6)1y x =---14．(1)()()0,,1,1A m D m + (2)32m = (3)2524y x x =-++或2124y x x =-++15．(1)245y x x =--(2)PF 有最大值254，点P 的坐标为53524,⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)满足条件的点M 的坐标有()4,9M -或()6,5-或()2,27-。

二次函数与平行四边形综合题

二次函数与平行四边形综合题【最新版】目录1.二次函数与平行四边形的关系2.如何利用二次函数解决平行四边形问题3.实例解析正文二次函数与平行四边形的关系二次函数是一种数学函数，其图像通常为抛物线。

在几何中，平行四边形是一种四边形，其中对边两两平行。

二次函数与平行四边形看似不相关，但在一些数学问题中，它们却有着密切的联系。

例如，在解决一些涉及平行四边形的综合题目时，我们可以通过二次函数来找到平行四边形的性质，从而解决问题。

如何利用二次函数解决平行四边形问题利用二次函数解决平行四边形问题的关键在于找到平行四边形的对角线。

对角线是平行四边形中连接不相邻顶点的线段。

根据平行四边形的性质，对角线互相平分，且对角线中点重合。

因此，在解决平行四边形问题时，我们可以通过找到二次函数图像上的两个点，并求出这两个点的中点，从而确定平行四边形的对角线。

实例解析假设我们有一个二次函数 y = 2x^2 + 3x - 2，我们需要找到这个二次函数与平行四边形的关系。

首先，我们可以通过求导数的方法找到二次函数的顶点坐标。

对于这个二次函数，顶点的横坐标为 -b / (2a)，即 -3 / (2 * 2) = -3 / 4。

将横坐标代入原函数，可得顶点的纵坐标为 y = 2 * (-3 / 4)^2 + 3 * (-3 / 4) - 2 = -25 / 8。

因此，顶点坐标为 (-3 /4, -25 / 8)。

接下来，我们可以根据顶点坐标和二次函数的性质，求出与平行四边形相关的两个点。

首先，我们可以求出过顶点的两条直线的方程。

一条直线的斜率为 -2 / 3，过顶点，可得直线方程为 y + 25 / 8 = -2 / 3 (x + 3 / 4)，即 y = -2 / 3 x - 1 / 4。

另一条直线的斜率为 1 / 2，过顶点，可得直线方程为 y + 25 / 8 = 1 / 2 (x + 3 / 4)，即 y = 1 / 2 x + 11 / 8。

二次函数与平行四边形综合题

二次函数与平行四边形综合题一、引言二次函数与平行四边形是高中数学中的重要内容，它们在实际生活中具有广泛的应用。

本文将通过对二次函数和平行四边形的综合题进行探讨，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。

二、二次函数1. 二次函数的概念二次函数是形如y=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数，而且a≠0。

二次函数的图像通常是一个平面上的抛物线。

这个函数常常被用来描述自然界中的现象，比如抛体运动、弹性力等。

2. 二次函数的性质(1) 对称性二次函数的图像关于直线x=−b2a对称。

这是由于二次函数的标准形式是y=a(x−−b2a )2+c，其中(x−−b2a)2关于直线x=0对称，再加上常数c的平移，整个二次函数图像关于直线x=−b2a对称。

(2) 单调性当二次函数的二次系数a>0时，函数图像开口向上，且函数是递增的；当a< 0时，函数图像开口向下，且函数是递减的。

(3) 零点二次函数的零点即方程ax2+bx+c=0的解，可以通过求根公式x=−b±√b2−4ac求得。

其中，若b2−4ac>0，即判别式大于0，则函数有两个不相等2a的实根；若b2−4ac=0，即判别式等于0，则函数有两个相等的实根；若b2−4ac<0，即判别式小于0，则函数无实根。

3. 二次函数的应用二次函数的应用非常广泛。

比如，在物理学中，用二次函数可以描述抛体运动的轨迹；在经济学中，用二次函数可以描述生产成本和利润之间的关系；在工程学中，用二次函数可以描述结构的弹性变形等。

三、平行四边形1. 平行四边形的定义平行四边形是四边形的一种特殊情况，它的对边是平行的。

平行四边形有很多重要的性质，应用十分广泛。

2. 平行四边形的性质(1) 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的交点可以将平行四边形分成两个面积相等的三角形。

(2) 边与角性质平行四边形的对边是平行的，对边的对角线之间的夹角大小是180度。

二次函数与平行四边形综合

这一关系提供了许多解析几何和图形问
题的有用工具，例如寻找最小值、最大
值和对称性。
3
图像
通过绘制函数和平行四边形的图形，可以应用这些概念进行可视化。
平行四边形和二次函数的图像
图像
绘制平行四边形和二次函数的图像可以使它们之间的关系更加清晰。
二次函数图像
二次函数的图像通常采用抛物线形式呈现，具有对称性和顶点。
平行四边形图像
平行四边形的图像可以通过将其边界显示为矩形来构建。
平行四边形和二次函数的应用Fra bibliotek1 应用
这些概念在解析几何、物理学、计算机图形学和工程等领域中有许多实际应用。
2 示例
可以使用这些概念解决包括区域最小化、体积最大化、场景生成和动画路径设计等问题。
平行四边形和二次函数的解析几何证明
证明
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一种形式为 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a、b 和 c 是常数，且 a ≠ 0。
性质
二次函数具有许多重要的性质，如顶点、对称轴、单调性和极限。
平行四边形与二次函数的关系
1
关系
二次函数的顶点是平行四边形的中心点，
性质
2
同时平行四边形的对角线是二次函数的对称轴。
需要应用纯粹的解析几何和一些基本的代数知识来证明二次函数和平行四边形之间的关系。
方法
关键在于了解二次函数和平行四边形的特点和性质，并将它们进行运算和变形，以显示它们之间的关系。
总结和要点
总结
在本演示中，我们介绍了平行四边形的定义和性质，二次函数的定义和性质，以及二者之间的关系和应用。
要点
关键是要理解二次函数和平行四边形的特征和性质，并能将它们相互关联。

(教学设计)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题教学设计

教学过程一、课堂导入如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为A（2，3）、B（6，3），C （4，0），现要找到一点D，使得这四个点构成的四边形是平行四边形，那么点D的坐标_______________________________.问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得四边形是平行四边形并求出该点坐标时,又该如何解答呢？如果是存在两个动点又该如何解答？二、复习平行四边形性质：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

三、例题精析【例题】1. （2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2+2x-3；(2)见解析；(3) F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）．【解析】解：（1）由题意得{−b2=−14c−b24=−4，解得：b=2，c=-3，则解析式为：y=x2+2x-3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0），∴AC=√9+9＝3√2，CD＝√1+1=√2，AD=√4+16＝2√5，由AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形；（3）∵A（-3，0），B（1，0），∴AB=4，∵点E在抛物线的对称轴上，∴点E的横坐标为-1，当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，∴F的横坐标为3或-5，把x=3或-5分别代入y=x2+2x-3，得到F的坐标为（3，12）或（-5，12）；当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合，∴F（-1，-4）．∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）四、课堂小结平行四边形模型探究：1. 已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标。

二次函数与平行四边形综合题

二次函数与平行四边形综合题摘要：1.二次函数与平行四边形的关系2.怎样找全平行四边形3.平行四边形的性质及应用4.实例解析5.总结与展望正文：一、二次函数与平行四边形的关系二次函数是一种数学函数，表示为y=ax+bx+c（a≠0），其中a、b、c 为常数。

在几何中，平行四边形是一种四边形，其中对边两两平行。

二次函数与平行四边形看似没有直接关系，但在一些数学问题中，它们可以结合起来解决一些复杂的问题。

例如，在二次函数的图像上，如果存在两个点A、B，使得线段AB 与x 轴、y 轴构成平行四边形，那么可以利用这个性质求解一些问题。

二、怎样找全平行四边形要找全平行四边形，需要先确定二次函数的解析式。

假设已知二次函数过三个点A(x1, y1)、B(x2, y2) 和C(x3, y3)，我们可以用待定系数法求解二次函数的解析式。

具体步骤如下：1.设二次函数的解析式为y=ax+bx+c。

2.将点A、B、C 的坐标代入解析式，得到三个方程：y1 = ax1 + bx1 + cy2 = ax2 + bx2 + cy3 = ax3 + bx3 + c3.解这三个方程，得到a、b、c 的值。

4.将a、b、c 的值代入解析式，得到二次函数的解析式。

得到二次函数的解析式后，可以进一步求解线段AB 与x 轴、y 轴构成平行四边形的问题。

具体方法如下：1.求线段AB 的中点M，即M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

2.求线段AB 的斜率k，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。

3.求过点M 且斜率为k 的直线方程，即y-(x1+x2)/2 = k(x-(x1+x2)/2)。

4.求该直线与x 轴、y 轴的交点，分别记为D 和E。

5.判断四边形ABED 是否为平行四边形。

如果AD//BE 且AD=BE，则四边形ABED 为平行四边形。

三、平行四边形的性质及应用平行四边形具有以下性质：1.对边平行且相等。

2.对角线互相平分。

二次函数与平行四边形

二次函数与平行四边形一、引言二次函数和平行四边形是高中数学中的重要概念和知识点。

二次函数是一种常见的函数形式，具有很多重要的特征和性质，而平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和定理。

本文将分别介绍二次函数和平行四边形的相关内容，并探讨它们之间的关联。

二、二次函数1.定义二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

2.性质(1)对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

(2)顶点：二次函数的图像的顶点是抛物线的最高点或最低点。

(3)零点：二次函数的图像与x轴相交的点称为零点，也就是函数的根。

(4)判别式：二次函数的判别式Δ=b²-4ac可以判断函数的图像与x 轴的交点情况，若Δ>0，则有两个不同的零点；若Δ=0，则有一个重根；若Δ<0，则无实根。

3.应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，抛物线的形状可以用来描述物体的抛射轨迹；二次函数的最优化问题可以用来求解最大值或最小值等。

三、平行四边形1.定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

平行四边形的对边长度相等，对角线互相平分，且对角线互相垂直。

2.性质(1)对边性质：平行四边形的对边长度相等。

(2)对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且互相垂直。

(3)角性质：平行四边形的对角线将四个角分成两对互补的角。

3.定理平行四边形有若干重要的定理，如以下几个例子：(1)对角线分割定理：平行四边形的对角线将其分割成两个面积相等的三角形。

(2)对角线互相平分定理：平行四边形的对角线互相平分，即将其分成两个面积相等的三角形。

(3)平行四边形面积定理：平行四边形的面积等于底边长乘以高。

四、二次函数与平行四边形的关联1.关联性质二次函数的图像是一个抛物线，而平行四边形的形状可以近似为一个抛物线。

二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，而平行四边形的对角线交点可以看作是其最高点或最低点。

二次函数与平行四边形综合PPT课件

完整编辑ppt
4
（2010陕西24题）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）， B（3,0）， C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；
解：设抛物线的表达式为 ya(x1)x (3)
把C（0，-1）代入上式得 -1=a（-3）
a1 ∴抛物线的表达式为 y 1(x1)3(x3)
3
完整编辑ppt
5
（2010陕西24题）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）， B（3,0）， C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
解：设抛物线的表达式为 yax2bx1
把A（-1,0），B（3,0）代入上式得
0 a b 1 0 9a 3b 1
∴抛物线的表达式为解得 Nhomakorabeaa
y 1b
=1 3
二次函数与平行四边形综合
完整编辑ppt
1
一、平行四边形的判定方法： 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
（2）若抛物线上的点D为（2, -1），点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。
完整编辑ppt
8
（变式2）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）， B（3,0）， C（0，-1）三点。
（2）若该抛物线的顶点为G ，点N在该抛物线上，点M在x轴上，是否存在以G、N、M、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。

初三数学二次函数与平行四边形的综合问题教案

教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。

主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。

此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。

就本节二次函数与平行四边形的点存在性问题，主要考查了学生能否将平行四边形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造题意所需图形的能力。

二、复习预习平行四边形的判定与性质1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形两组对边分别相等；③平行四边形两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分；3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。

二次函数中平行四边形通用与解决方法

二次函数中平行四边形通用与解决方法平行四边形是一种特殊的四边形，具有两组相对平行的边和相等的内角。

在二次函数中，我们可以通过确定二次函数的相关参数，来绘制出平行四边形。

一、二次函数的一般形式在二次函数中，一般形式可以表示为：$y = ax^2 + bx + c$其中，a表示二次函数的开口方向和大小，正数表示开口向上，负数表示开口向下；b表示二次函数的平移，正数表示向右平移，负数表示向左平移；c表示二次函数的平移，正数表示向上平移，负数表示向下平移。

二、平行四边形的定义平行四边形是指具有两组相对平行的边和相等的内角的四边形。

在二次函数图像中，我们可以通过调整参数来使函数图像具有平行四边形的特征。

三、绘制平行四边形的步骤1.确定平行四边形的基础线段平行四边形的相对平行边为基础线段。

通过确定基础线段的两个端点，可以确定平行四边形的位置。

2.确定平行四边形的高度平行四边形的高度决定了函数图像在y轴上的平移。

通过调整参数c的值可以改变二次函数的平移，从而确定平行四边形的高度。

3.确定平行四边形的宽度平行四边形的宽度是基础线段在x轴上的长度。

通过调整参数a和b的值可以改变二次函数的开口方向和大小，从而确定平行四边形的宽度。

4.绘制函数图像根据确定的基础线段、高度和宽度，我们可以得到平行四边形对应的二次函数图像。

使用坐标轴绘制出函数图像，可以得到平行四边形的形状。

四、解决方法1.已知平行四边形的形状，求解对应的二次函数表达式如果已知平行四边形的形状，可以通过观察其特征来确定对应的二次函数表达式。

根据平行四边形的基础线段、高度和宽度确定参数a、b和c的值，从而得到二次函数的表达式。

2.已知二次函数的表达式，求解对应平行四边形的形状如果已知二次函数的表达式，可以通过分析参数a、b和c的值来确定对应平行四边形的形状。

根据参数a的正负确定开口方向，根据参数b和c的值确定平移和缩放，从而确定平行四边形的形状。

3.图形推导法通过观察二次函数图像的特征，可以推导出对应平行四边形的形状。

二次函数与平行四边形的综合题

二次函数与平行四边形的综合题预备知识：1、作图题：已知A 、B 、C 三点，以已知A 、B 、C 三点为顶点作平行四边形ABCD ，这样的平行四边形能作几个？2、已知如图，写出A 、B 、C 三点的坐标，以A 、B 、C 三点为作平行四边形ABCD ，并求出D 的坐标。

3、在直角坐标系中有三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．求以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形，用含c 的式子并求出所有符合条件的P 点坐标．4、若点P 在抛物线2(53)y x c x c =---上，求出此时P 的坐标。

如图1，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －3与x 轴交于A 、B 两点，其顶点为C ，过点A 的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan ∠BAD ＝1．（1）求抛物线的解析式；ABC（2）点Q 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A ，D ，F ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．已知：抛物线y＝x 2－2x ＋a （a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M ．直线y ＝21x －a 分别与x 轴，y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线AM 相交于点N ．（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点A 、B 、C 、M 、N 的坐标，则A （，），B （，）；C （，），M （，），N （，）；（2）在抛物线y ＝x 2－2x ＋a （a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由．如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c 经过O ，D ，C 三点．（1）求AD 的长及抛物线的解析式；（2）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与备用图点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．。

二次函数与平行四边形综合

二次函数和平行四边形的结合解题思路

二次函数中平行四边形的通用解决方法

二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)

中考数学复习《二次函数与平行四边形的综合》专项检测卷(附带答案)

二次函数与平行四边形综合题

二次函数与平行四边形综合题

二次函数与平行四边形综合

(教学设计)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题教学设计

二次函数与平行四边形综合题

二次函数与平行四边形

二次函数与平行四边形综合PPT课件

初三数学 二次函数与平行四边形的综合问题教案

二次函数中平行四边形通用与解决方法

二次函数与平行四边形的综合题

初三数学二次函数与平行四边形的综合问题教案