离心率的五种求法专题

离心率的求法

椭圆的离心率10<e ，抛物线的离心率1=e ．

一、直接求出a 、c ，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a c e =

来解决。 例1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ） A. 43 B. 32 C. 21 D. 4

1 变式练习：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A.

23 B. 26 C. 2

3 D 2 二、构造a 、c 的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 213+ D. 13+

变式练习1：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率

为（ ）A 3 B 26 C 36 D 3

3 变式练习2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ． 31

B ．33

C ．2

1D ．23 变式练习3：设双曲线122

22=-b

y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

32 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

变式练习1：设1F 、2F 分别是双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ ）A 25 B 210 C 2

15 D 5 四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围

例4：已知双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A []2,1

B ()2,1

C [)+∞,2

D ()+∞,2

变式练习1.已知点1F ，2F 分别是双曲线22

22 1 (0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .

变式练习2.如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 配套练习

1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

A ．

31 B ．33 C ．2

1 D ．23 2．已知双曲线12222=-b

y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ ） A 35 B 34 C 4

5 D 23 3．如图，1F 和2F 分别是双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A 3

B 5

C 25

D 13+

4．设1F 、2F 分别是双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ ）A 25 B 210 C 2

15 D 5 5．已知双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A []2,1

B ()2,1

C [)+∞,2

D ()+∞,2

6.若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ）A ．3-B ． 13- C ．3 D ．

13

7.若椭圆221x ky +=的离心率是12，则实数k 的值是 ． 8.．椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ ）

A ．312+

B ．31-

C ．4(23)-

D ．324

+ 9.已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得213PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ．