2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第2章函数、导数及其应用 2-6a
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|2x＋1|，x<1， log2x－m，x>1，
若 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3 互不相等)，且 x1＋x2＋ x3 的取值范围为(1,8)，则实数 m 的值为___1_____．
解析 作出 f(x)的图象，如图所示，可令 x1<x2<x3，
则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线 x＝－12对称，所以 x1 ＋x2＝－1.又 1<x1＋x2＋x3<8，所以 2<x3<9.由 f(x1)＝f(x2)＝ f(x3)(x1，x2，x3 互不相等)，结合图象可知点 A 的坐标为(9,3)， 代入函数解析式，得 3＝log2(9－m)，解得 m＝1.
4．(2017·河南二模)函数 y＝ln2x|x|的图象大致为(
)
解析 函数 y＝ln2x|x|的定义域为{x|x≠0 且 x≠±1}，故排 除 A；∵f(－x)＝－ln 2|xx|＝－ln2x|x|＝－f(x)，
∴排除 C；当 x＝2 时，y＝ln42>0，故排除 D.故选 B.
5．(2015·湖南高考)设函数 f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)， 则 f(x)是( )
上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴－log3m2＝2 或 log3n
＝2.
若－log3m2＝2，则 m＝13，从而 n＝3，此时 log3n＝1， 符合题意，则mn ＝3÷13＝9.
若 log3n＝2，则 n＝9，从而 m＝19，此时－log3m2＝4， 不符合题意．
三、解答题 15．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)＝0， 当 x>0 时，f(x)＝log1 x.
＝12×(2×2016)＝2016，
∴a＋b＝4，∴a2＋b2≥a＋2 b2＝422＝8，当且仅当 a＝b
＝2 时取等号．
∴a2＋b2 的最小值为 8.故选 B.
二、填空题
11．(2018·禅城区月考)已知函数 f(x)＝|lg x|，若 0<a<b， 且 f(a)＝f(b)，则 2a＋b 的取值范围是__[_2__2_，__＋__∞__)__．
解 由题意知 f(x)＝12(logax＋1)·(logax＋2) ＝12[(logax)2＋3logax＋2]＝12logax＋322－18.当 f(x)取最小 值－18时，logax＝－32.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于 logax 的二次函数， ∴函数 f(x)的最大值必在 x＝2 或 x＝8 时取得． 若12loga2＋322－18＝1，则 a＝2－13 ， 此时 f(x)取得最小值时， x＝(2－13 )－32 ＝ 2∉[2,8]，舍去．
2
8．(2017·广东模拟)若函数 f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋
f(log1 x)≤2f(1)，则 x 的取值范围是( ) 5
A.15，1
B．[1,5]
C.15，5
D.－∞，15∪[5，＋∞)
解析 ∵f(x)＝(ex－e－x)x， ∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)(x∈R)，∴函数 f(x)是偶函数． ∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)>0 在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵f(log5x)＋f(log1 x)≤2f(1)，
2
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b
解析 函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x∈(－ ∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∵ b＝f(log1 4)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2<log25，∴c>b>a.故选 B.
3．(2018·太原调研)已知函数 f(x)＝13x－log2x，若实数 x0 是方程 f(x)＝0 的解，且 0<x1<x0，则 f(x1)( )
A．恒为负值 B．等于 0 C．恒为正值 D．不大于 0
解析 作出 y＝13x 和 y＝log2x 的图象，如图． 由图可知有 0<x1<x0 时，13 x1>log2x1. 即13 x1－log2x1>0. ∴f(x1)>0.故选 C.
(2)因为 f(4)＝log1 4＝－2，f(x)是偶函数， 2
所以不等式 f(x2－1)>－2 转化为 f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－ 5<x< 5， 即不等式的解集为(－ 5， 5)．
16．设 x∈[2,8]时，函数 f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a＞0 且 a≠1)的最大值是 1，最小值是－18，求 a 的值．
解析 画出 y＝|lg x|的图象如图： ∵0<a<b，且 f(a)＝f(b)， ∴|lg a|＝|lg b|且 0<a<1，b>1， ∴－lg a＝lg b，∴ab＝1，∴2a＋b≥2 2ab＝2 2. 当 2a＝b 时等号成立， ∴2a＋b≥2 2.
－1 12．函数 f(x)＝log2 x·log 2 (2x)的最小值为____4____．
14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数 f(x)＝|log3x|，实数 m， n 满足 0<m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在[m2，n]上的最大值 为 2，则mn ＝____9____.
解析 ∵f(x)＝|log3x|，实数 m，n 满足 0<m<n，且 f(m)
＝f(n)，∴m<1<n，－log3m＝log3n，∴mn＝1. ∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为 2，函数 f(x)在[m2,1)
∴
504(a
＋
b)
＝
f
e
2017
＋
f
2e
2017
＋
…
＋
f
2016e
2017
＝
1 2
f20e17＋f22001167e＋f220e17＋f22001157e＋…＋f22001167e＋f20e17
5
∴2f(log5x)≤2f(1)，即 f(log5x)≤f(1)， ∴|log5x|≤1，∴15≤x≤5.故选 C.
9．(2017·河北五校质检)函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，且
a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny＋2＝0 上，
其中 m>0，n>0，则m2 ＋1n的最小值为(
f(x)＝log1 2
(x2－ax－a)在－∞，－21上是增
函数，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－1，＋∞)
B．－1，12
C.－1，21
D．(－∞，－1]
解析
f(x)＝log1 2
(x2－ax－a)在－∞，－12上是增函数，
说明内层函数 μ(x)＝x2－ax－a 在－∞，－21上是减函数且
10．(2017·江西红色七校二模)已知函数 f(x)＝ln e－exx，
若 f20e17＋f220e17＋…＋f22001167e＝504(a＋b)，则 a2＋b2 的 最小值为( )
A．6
B．8
C．9
D．12
解析 ∵f(x)＋f(e－x)＝ln e－exx＋ln ee－x x＝ln e2＝2，
在函数 y＝lg x 图象上．故选 D.
2．已知函数 f(x)＝2＋log2x，x∈[1,2]，则函数 y＝f(x) ＋f(x2)的值域为( )
A．[4,5] C.4，123
B．4，121 D．[4,7]
解析 y＝f(x)＋f(x2)＝2＋log2x＋2＋log2x2＝4＋3log2x， 注意到为使得 y＝ f(x)＋ f(x2)有 意义，必有 1≤x2≤2，得 1≤x≤ 2，从而 4≤y≤121.故选 B.
若12loga8＋322－18＝1，则 a＝12， 此时 f(x)取得最小值时，x＝12－32 ＝2 2∈[2,8]，符合题 意，∴a＝12.
解法二：同解法一知 f(x)是奇函数．
当
x ∈ (0,1) 时 ， f(x) ＝ ln
1＋x 1－x
＝
ln
2－1－x 1－x
＝
ln
1－2 x－1. ∵y＝1－2 x(x∈(0,1))是增函数，y＝ln x 也是增函数，∴
f(x)在(0,1)上是增函数．综上，故选 A.
6．已知函数
)
A．2 2
B．4
5 C.2
9 D.2
解析 由函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，且 a≠1)的解析式 知：当 x＝－2 时，y＝－1，所以点 A 的坐标为(－2，－1)， 又因为点 A 在直线 mx＋ny＋2＝0 上，所以－2m－n＋2＝0， 即 2m＋n＝2，又 m>0，n>0，所以m2 ＋1n＝2mm＋n＋2m2＋n n＝ 2＋mn ＋mn ＋12≥52＋2＝92，当且仅当 m＝n＝23时等号成立，所 以m2 ＋1n的最小值为92.故选 D.
解析
显然
x>0 ， ∴ f(x) ＝ log2
x ·log
2
(2x)
＝
1 2
log2x·log2(4x2)
பைடு நூலகம்
＝
1 2
log2x·(log24
＋
2log2x)
＝
log2x
＋
(log2x)2
＝
log2x＋
122－14≥－14，当且仅当
x＝
22时，取“＝”，故
f(x)min
＝－14.
13 ． (2017·山 西 质 检 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析 解法一：函数 f(x)的定义域为(－1,1)，任取 x∈(－ 1,1)，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，则 f(x)是奇函 数．当 x∈(0,1)时，f′(x)＝1＋1 x＋1－1 x＝1－2 x2>0，所以 f(x) 在(0,1)上是增函数．综上，故选 A.
课后作业夯关
一、选择题
1．(2018·安阳检测)若点(a，b)在 y＝lg x 图象上，a≠1，
则下列点也在此图象上的是( )
A.1a，b C.1a0，b＋1
B．(10a,1－b) D．(a2,2b)
解析 当 x＝a2 时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)
2
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x2－1)>－2.
解 (1)当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝log1 (－x)． 2
因为函数 f(x)是偶函数， 所以 f(－x)＝f(x)＝log1 (－x)，
2
所以函数 f(x)的解析式为
f(x)＝l0o，g12xx＝，0x，>0， log12 －x，x<0.
μ(x)>0 成立，只需对称轴 x＝a2≥－12且 μ(x)min＝μ－12>0，∴
解得 a∈－1，21.故选 B.
7．(2017·安徽安庆二模)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上 的偶函数，当 x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若 a＝f(20.3)， b＝f(log1 4)，c＝f(log25)，则 a，b，c 的大小关系是( )
若 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3 互不相等)，且 x1＋x2＋ x3 的取值范围为(1,8)，则实数 m 的值为___1_____．
解析 作出 f(x)的图象，如图所示，可令 x1<x2<x3，
则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线 x＝－12对称，所以 x1 ＋x2＝－1.又 1<x1＋x2＋x3<8，所以 2<x3<9.由 f(x1)＝f(x2)＝ f(x3)(x1，x2，x3 互不相等)，结合图象可知点 A 的坐标为(9,3)， 代入函数解析式，得 3＝log2(9－m)，解得 m＝1.
4．(2017·河南二模)函数 y＝ln2x|x|的图象大致为(
)
解析 函数 y＝ln2x|x|的定义域为{x|x≠0 且 x≠±1}，故排 除 A；∵f(－x)＝－ln 2|xx|＝－ln2x|x|＝－f(x)，
∴排除 C；当 x＝2 时，y＝ln42>0，故排除 D.故选 B.
5．(2015·湖南高考)设函数 f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)， 则 f(x)是( )
上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴－log3m2＝2 或 log3n
＝2.
若－log3m2＝2，则 m＝13，从而 n＝3，此时 log3n＝1， 符合题意，则mn ＝3÷13＝9.
若 log3n＝2，则 n＝9，从而 m＝19，此时－log3m2＝4， 不符合题意．
三、解答题 15．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)＝0， 当 x>0 时，f(x)＝log1 x.
＝12×(2×2016)＝2016，
∴a＋b＝4，∴a2＋b2≥a＋2 b2＝422＝8，当且仅当 a＝b
＝2 时取等号．
∴a2＋b2 的最小值为 8.故选 B.
二、填空题
11．(2018·禅城区月考)已知函数 f(x)＝|lg x|，若 0<a<b， 且 f(a)＝f(b)，则 2a＋b 的取值范围是__[_2__2_，__＋__∞__)__．
解 由题意知 f(x)＝12(logax＋1)·(logax＋2) ＝12[(logax)2＋3logax＋2]＝12logax＋322－18.当 f(x)取最小 值－18时，logax＝－32.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于 logax 的二次函数， ∴函数 f(x)的最大值必在 x＝2 或 x＝8 时取得． 若12loga2＋322－18＝1，则 a＝2－13 ， 此时 f(x)取得最小值时， x＝(2－13 )－32 ＝ 2∉[2,8]，舍去．
2
8．(2017·广东模拟)若函数 f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋
f(log1 x)≤2f(1)，则 x 的取值范围是( ) 5
A.15，1
B．[1,5]
C.15，5
D.－∞，15∪[5，＋∞)
解析 ∵f(x)＝(ex－e－x)x， ∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)(x∈R)，∴函数 f(x)是偶函数． ∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)>0 在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵f(log5x)＋f(log1 x)≤2f(1)，
2
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b
解析 函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x∈(－ ∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∵ b＝f(log1 4)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2<log25，∴c>b>a.故选 B.
3．(2018·太原调研)已知函数 f(x)＝13x－log2x，若实数 x0 是方程 f(x)＝0 的解，且 0<x1<x0，则 f(x1)( )
A．恒为负值 B．等于 0 C．恒为正值 D．不大于 0
解析 作出 y＝13x 和 y＝log2x 的图象，如图． 由图可知有 0<x1<x0 时，13 x1>log2x1. 即13 x1－log2x1>0. ∴f(x1)>0.故选 C.
(2)因为 f(4)＝log1 4＝－2，f(x)是偶函数， 2
所以不等式 f(x2－1)>－2 转化为 f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－ 5<x< 5， 即不等式的解集为(－ 5， 5)．
16．设 x∈[2,8]时，函数 f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a＞0 且 a≠1)的最大值是 1，最小值是－18，求 a 的值．
解析 画出 y＝|lg x|的图象如图： ∵0<a<b，且 f(a)＝f(b)， ∴|lg a|＝|lg b|且 0<a<1，b>1， ∴－lg a＝lg b，∴ab＝1，∴2a＋b≥2 2ab＝2 2. 当 2a＝b 时等号成立， ∴2a＋b≥2 2.
－1 12．函数 f(x)＝log2 x·log 2 (2x)的最小值为____4____．
14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数 f(x)＝|log3x|，实数 m， n 满足 0<m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在[m2，n]上的最大值 为 2，则mn ＝____9____.
解析 ∵f(x)＝|log3x|，实数 m，n 满足 0<m<n，且 f(m)
＝f(n)，∴m<1<n，－log3m＝log3n，∴mn＝1. ∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为 2，函数 f(x)在[m2,1)
∴
504(a
＋
b)
＝
f
e
2017
＋
f
2e
2017
＋
…
＋
f
2016e
2017
＝
1 2
f20e17＋f22001167e＋f220e17＋f22001157e＋…＋f22001167e＋f20e17
5
∴2f(log5x)≤2f(1)，即 f(log5x)≤f(1)， ∴|log5x|≤1，∴15≤x≤5.故选 C.
9．(2017·河北五校质检)函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，且
a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny＋2＝0 上，
其中 m>0，n>0，则m2 ＋1n的最小值为(
f(x)＝log1 2
(x2－ax－a)在－∞，－21上是增
函数，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－1，＋∞)
B．－1，12
C.－1，21
D．(－∞，－1]
解析
f(x)＝log1 2
(x2－ax－a)在－∞，－12上是增函数，
说明内层函数 μ(x)＝x2－ax－a 在－∞，－21上是减函数且
10．(2017·江西红色七校二模)已知函数 f(x)＝ln e－exx，
若 f20e17＋f220e17＋…＋f22001167e＝504(a＋b)，则 a2＋b2 的 最小值为( )
A．6
B．8
C．9
D．12
解析 ∵f(x)＋f(e－x)＝ln e－exx＋ln ee－x x＝ln e2＝2，
在函数 y＝lg x 图象上．故选 D.
2．已知函数 f(x)＝2＋log2x，x∈[1,2]，则函数 y＝f(x) ＋f(x2)的值域为( )
A．[4,5] C.4，123
B．4，121 D．[4,7]
解析 y＝f(x)＋f(x2)＝2＋log2x＋2＋log2x2＝4＋3log2x， 注意到为使得 y＝ f(x)＋ f(x2)有 意义，必有 1≤x2≤2，得 1≤x≤ 2，从而 4≤y≤121.故选 B.
若12loga8＋322－18＝1，则 a＝12， 此时 f(x)取得最小值时，x＝12－32 ＝2 2∈[2,8]，符合题 意，∴a＝12.
解法二：同解法一知 f(x)是奇函数．
当
x ∈ (0,1) 时 ， f(x) ＝ ln
1＋x 1－x
＝
ln
2－1－x 1－x
＝
ln
1－2 x－1. ∵y＝1－2 x(x∈(0,1))是增函数，y＝ln x 也是增函数，∴
f(x)在(0,1)上是增函数．综上，故选 A.
6．已知函数
)
A．2 2
B．4
5 C.2
9 D.2
解析 由函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，且 a≠1)的解析式 知：当 x＝－2 时，y＝－1，所以点 A 的坐标为(－2，－1)， 又因为点 A 在直线 mx＋ny＋2＝0 上，所以－2m－n＋2＝0， 即 2m＋n＝2，又 m>0，n>0，所以m2 ＋1n＝2mm＋n＋2m2＋n n＝ 2＋mn ＋mn ＋12≥52＋2＝92，当且仅当 m＝n＝23时等号成立，所 以m2 ＋1n的最小值为92.故选 D.
解析
显然
x>0 ， ∴ f(x) ＝ log2
x ·log
2
(2x)
＝
1 2
log2x·log2(4x2)
பைடு நூலகம்
＝
1 2
log2x·(log24
＋
2log2x)
＝
log2x
＋
(log2x)2
＝
log2x＋
122－14≥－14，当且仅当
x＝
22时，取“＝”，故
f(x)min
＝－14.
13 ． (2017·山 西 质 检 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析 解法一：函数 f(x)的定义域为(－1,1)，任取 x∈(－ 1,1)，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，则 f(x)是奇函 数．当 x∈(0,1)时，f′(x)＝1＋1 x＋1－1 x＝1－2 x2>0，所以 f(x) 在(0,1)上是增函数．综上，故选 A.
课后作业夯关
一、选择题
1．(2018·安阳检测)若点(a，b)在 y＝lg x 图象上，a≠1，
则下列点也在此图象上的是( )
A.1a，b C.1a0，b＋1
B．(10a,1－b) D．(a2,2b)
解析 当 x＝a2 时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)
2
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x2－1)>－2.
解 (1)当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝log1 (－x)． 2
因为函数 f(x)是偶函数， 所以 f(－x)＝f(x)＝log1 (－x)，
2
所以函数 f(x)的解析式为
f(x)＝l0o，g12xx＝，0x，>0， log12 －x，x<0.
μ(x)>0 成立，只需对称轴 x＝a2≥－12且 μ(x)min＝μ－12>0，∴
解得 a∈－1，21.故选 B.
7．(2017·安徽安庆二模)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上 的偶函数，当 x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若 a＝f(20.3)， b＝f(log1 4)，c＝f(log25)，则 a，b，c 的大小关系是( )