6.1-3 岩石力学与工程 岩石地下工程
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dσ r σ r −σθ + =0 dr r
du dr u εθ = r
εr =
3.本构方程 本构方程
ν 1−ν 2 εr = σr − σθ E 1−ν ν 1−ν 2 εθ = σθ − σr E 1−ν
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4.边界条件 边界条件
6 岩石地下工程
6.1 概述
（1）概念 ） 1.岩石地下工程是指在地下岩体中开挖而修建的临 岩石地下工程是指在地下岩体中开挖而修建的临 时或永久的各种工程。 时或永久的各种工程。 2.围岩：开挖空间周围的应力状态发生改变的那部 围岩： 围岩 分岩体。 分岩体。 （2）载荷特性 ） 岩石工程的载荷是由于开挖引起地应力以变形能的 形式释放而形成的，这种“释放载荷” 形式释放而形成的，这种“释放载荷”是引起岩石 工程变形和破坏的作用力。 工程变形和破坏的作用力。
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（4）应力分布图
根据上式，可得到围岩在静水压力（ 根据上式，可得到围岩在静水压力（ λ = 1）作用下的应力分 作用下的应力分 布图，如下图所示。 布图，如下图所示。
净水压力下围岩应力分布
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（5）讨论 ）
1.开巷（ 1.开巷（孔）后，应力重新分布，也即次生应力场； 开巷 应力重新分布，也即次生应力场； 均为主应力，径向与切向平面为主平面； 2. σ θ , σ r 均为主应力，径向与切向平面为主平面； 3.应力大小与弹性常数 无关； 3.应力大小与弹性常数 E ,ν 无关； 4.周边 r = R0 , σ r = 0, σ ϑ = 2γH ；周边切向应力为最大应 4.周边 且与巷道半径无关。 力，且与巷道半径无关。 5.定义应力集中系数： 开巷后应力/ 5.定义应力集中系数： 开巷后应力/开巷前应力 定义应力集中系数
（1）应力场计算 ） 假设深埋圆巷的水平载荷对称于竖轴， 假设深埋圆巷的水平载荷对称于竖轴，竖向载荷对称 于横轴； 于横轴；竖向载荷为 p0 ，横向载荷为 λ p0，由于结构 本身的对称性，可应用叠加法来解决此类问题。 本身的对称性，可应用叠加法来解决此类问题。微元 体受力分析图如图6-4所示 所示。 体受力分析图如图 所示。
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6.2 深埋圆形巷道围岩应力的弹性解
基本假定
1.围岩为均质，各向同性； 围岩为均质，各向同性； 围岩为均质 2.线弹性、无蠕变性或为线粘弹性； 线弹性、 线弹性 无蠕变性或为线粘弹性； 3.巷道为无限长，断面形状和尺寸保持不变， 巷道为无限长，断面形状和尺寸保持不变， 巷道为无限长 符合平面应变问题； 符合平面应变问题； 4.深埋 H ≥ 20R0 )； 深埋( 深埋 ； 5.忽略巷道影响范围（3～5倍的）内的岩石 忽略巷道影响范围（ ～ 倍的 倍的） 忽略巷道影响范围 自重。 自重。
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4.叠加后可得任意一点的应力 叠加后可得任意一点的应力 处的应力为： 任意点 (r ,θ ) 处的应力为：
R02 1 R02 R04 1 σ r = (1 + λ ) p0 1 − 2 − (1 − λ ) p0 1 − 4 2 + 3 4 cos 2θ 2 r 2 r r R02 1 R04 1 σ θ = (1 + λ ) p0 1 + 2 + (1 − λ ) p0 1 + 3 4 cos 2θ 2 r 2 r R02 R04 1 τ rθ = (1 − λ ) p0 1 + 2 2 − 3 4 sin 2θ 2 r r
2）切向应力集中系数： ）切向应力集中系数：
K=
σθ
p0
= (1 + λ ) + 2 (1 − λ ) cos 2θ
3）在巷道的顶、底板，即 θ = 900 , 2700 ）在巷道的顶、底板， 在巷道的侧边， 处， θ = p0 (3λ − 1)；在巷道的侧边，即 θ = 0 0 , 180 0 σ 处， θ = p 0 ( 3 − λ ) 。 σ
k= 次生应力/ = 次生应力/原岩应力
周边： 为次生应力场的最大应力集中系数。 周边： = 2 ，为次生应力场的最大应力集中系数。 k
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（6）巷道影响圈边界 ） 1.05 1.一般定义以σ θ 高于 p0 或 σ r 低于 0.95 p0 为 一般定义以 r 巷道影响圈边界， 巷道影响圈边界，由此可计算到≈ 5 R 0 ；若 作为影响边界， 以10%作为影响边界，则可得影响半 r ≈ 3 R 0 作为影响边界 径 。 3R0 • 实际意义：应力解除试验，常以 作为影响 实际意义：应力解除试验， 圈边界，确定钻孔长度； 圈边界，确定钻孔长度；有限元法常划取 r = 5R0 的域内剖分单元进行计算； 的域内剖分单元进行计算； r →∞ 5R • 力学处理：从力学处理方法来看， 与 力学处理：从力学处理方法来看， 所 起的作用等价； 起的作用等价；
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4）应力集中系数与 θ , λ 的关系 ）
图6-6应力集中系数与 θ , λ 的关系 应力集中系数与
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2.巷道周边位移 巷道周边位移
1）径向位移 ）
1 −ν 2 ur = R0 p0 [(1 + λ) + 2(λ − 1) cos2θ ] E
2）切向位移 ）
1）应力集中造成的围岩变形破坏； ）应力集中造成的围岩变形破坏； 2）不连续结构面切割形成的块体失稳。 ）不连续结构面切割形成的块体失稳。
（4）研究方法的选择 ） 选择的数学力学方法与岩体所处的物理状态有关： 选择的数学力学方法与岩体所处的物理状态有关： 1.峰前区（变形体）：弹性段 弹性力学，弹塑性 峰前区（ ）：弹性段 弹性力学， 峰前区 变形体）：弹性段—弹性力学 弹塑性力学， 段—弹塑性力学，或刚塑性力学，或损伤力学 ； 弹塑性力学 或刚塑性力学， 2.峰值点（贯通裂隙形成点、突变点） ； 峰值点（ 峰值点 贯通裂隙形成点、突变点） 3.峰后区（刚性块体）——刚性块体力学，或实验 峰后区（ 刚性块体力学， 峰后区 刚性块体） 刚性块体力学 力学，或初等力学。 力学，或初等力学。
3.对于第二部分可以应用弹性力学 对于第二部分可以应用弹性力学P77的公式（4-18） 的公式（ 对于第二部分可以应用弹性力学 的公式 ） 式即可得到： 式即可得到：
2 R02 R02 R0 R04 1 σ r = − p′ 1 − 2 1 − 3 2 cos 2θ = − (1 − λ ) p0 1 − 4 2 + 3 4 cos 2θ r r r r 2 4 R0 R04 1 σ θ = p′ 1 + 3 4 cos 2θ = (1 − λ ) p0 1 + 3 4 cos 2θ r r 2 R02 R02 R02 R04 1 τ rθ = p′ 1 − 2 1 + 3 2 sin 2θ = (1 − λ ) p0 1 + 2 2 − 3 4 sin 2θ r r r r 2
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（3）岩体稳定性 ） 1.围岩稳定性取决于围岩应力状态和围岩的力学性 围岩稳定性取决于围岩应力状态和围岩的力学性 开挖影响、支护结构刚度等因素。 质、开挖影响、支护结构刚度等因素。 2.地下结构的稳定性分析包括两个方面： 地下结构的稳定性分析包括两个方面： 地下结构的稳定性分析包括两个方面
0
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（7）弹性位移 ）
1.特点 1.特点
1）周边径向位移最大，但量级小（以毫米计）； ）周边径向位移最大，但量级小（以毫米计）； 2）完成速度快（以声速计）； ）完成速度快（以声速计）； 3）一般，不危及断面使用与巷道稳定； ）一般，不危及断面使用与巷道稳定； 4）对于几何对称和荷载对称问题， 4）对于几何对称和荷载对称问题，在围岩中不可能
图6-4 微元体受力分析图
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1.载荷均化处理 1.载荷均化处理
将载荷均化处理后的计算图如下图所示， 将载荷均化处理后的计算图如下图所示，即：
λ ≠ 1 时圆形巷道计算简图
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2.对于第一部分可以应用静水压力情况的解，即为： 对于第一部分可以应用静水压力情况的解，即为： 对于第一部分可以应用静水压力情况的解
r = R0 , σ r = 0
（不支护） 不支护）
r →∞, σr = p0
（3）解答 ）
联立上述各式可解得方程的解为（弹性力学P71（4联立上述各式可解得方程的解为（弹性力学 （ 14）式，令 ∞ 即可得到）： ） R→ 即可得到）：
R02 σ θ = p0 1 + 2 r R02 σ = p 1 − 0 r r2
式中： 式中： σ r = σ r − p0 , ∆σ θ = σ θ − p0 , ∆
p0 为原岩的静水压应力。 为原岩的静水压应力。
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1）一般公式（包含开挖前变形和开挖后变形） ）一般公式（包含开挖前变形和开挖后变形）
2 (1+ν ) p0 R0 u= (1− 2ν )r + E r
产生切向位移，围岩只有径向位移； 产生切向位移，围岩只有径向位移； 2.计算原则 2.计算原则 1）考虑到原岩应力不引起位移，或只有铅直位移， ）考虑到原岩应力不引起位移，或只有铅直位移， 并且在过去地质年代已经发生， 并且在过去地质年代已经发生，故计算时应减去 各应力分量中的原岩应力，只用其增量； 各应力分量中的原岩应力，只用其增量； 2）巷道位移只和应力变化量有关，与原岩应力无关； ）巷道位移只和应力变化量有关，与原岩应力无关；
2）开挖前（岩体内） ）开挖前（岩体内）
(1+ν ) p0 u= (1− 2ν )r E
3）开挖后（岩体内） ）开挖后（岩体内）
2 (1 +ν ) p0 R0 u= E r
4）开挖后（周边） ）开挖后（周边）
(1+ν ) u= p0 R0 E
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6.2.2 不等压（侧压系数 λ ≠ 1 ）下围岩应力 不等压（
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（2）讨论 ）
1.巷道周边应力 巷道周边应力 1）将 r = R 0 代入上式，即可得到巷道周边的围岩应力： 代入上式，即可得到巷道周边的围岩应力： ）
σ r = 0 σ rθ = 0 σ = p [(1 + λ ) + 2(1 − λ ) cos 2θ ] 0 θ
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3.计算公式 3.计算公式
根据上述弹性位移的特点和计算原则， 根据上述弹性位移的特点和计算原则，轴对称圆巷的弹性 位移
u 应由下式确定： 应由下式确定：
du 1 − υ 2 υ εr = = ∆σ r − ∆σ θ dr E 1−υ 2 ε = u = 1 − υ ∆σ − υ σ r θ θ r E 1−υ
R02 1 R02 σ θ = p 1 + 2 = (1 + λ ) p0 1 + 2 r 2 r 2 2 σ = p 1 − R0 = 1 1 + λ p 1 − R0 ( ) 0 r r2 2 r2
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λ 6.2.1净水压力（侧压系数 = 1 ）下围岩应力与位移 净水压力（ 净水压力
（1）计算模型 ）
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微元体（ 受力图 受力图； 变形图 变形图） 微元体（(a)受力图；(b)变形图）
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（2）基本方程 ）
1.平衡方程 平衡方程 2.几何方程 几何方程
1 −ν 2 uθ = R0 p0 [2(1 − λ ) sin 2θ ] E
du dr u εθ = r
εr =
3.本构方程 本构方程
ν 1−ν 2 εr = σr − σθ E 1−ν ν 1−ν 2 εθ = σθ − σr E 1−ν
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4.边界条件 边界条件
6 岩石地下工程
6.1 概述
（1）概念 ） 1.岩石地下工程是指在地下岩体中开挖而修建的临 岩石地下工程是指在地下岩体中开挖而修建的临 时或永久的各种工程。 时或永久的各种工程。 2.围岩：开挖空间周围的应力状态发生改变的那部 围岩： 围岩 分岩体。 分岩体。 （2）载荷特性 ） 岩石工程的载荷是由于开挖引起地应力以变形能的 形式释放而形成的，这种“释放载荷” 形式释放而形成的，这种“释放载荷”是引起岩石 工程变形和破坏的作用力。 工程变形和破坏的作用力。
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（4）应力分布图
根据上式，可得到围岩在静水压力（ 根据上式，可得到围岩在静水压力（ λ = 1）作用下的应力分 作用下的应力分 布图，如下图所示。 布图，如下图所示。
净水压力下围岩应力分布
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（5）讨论 ）
1.开巷（ 1.开巷（孔）后，应力重新分布，也即次生应力场； 开巷 应力重新分布，也即次生应力场； 均为主应力，径向与切向平面为主平面； 2. σ θ , σ r 均为主应力，径向与切向平面为主平面； 3.应力大小与弹性常数 无关； 3.应力大小与弹性常数 E ,ν 无关； 4.周边 r = R0 , σ r = 0, σ ϑ = 2γH ；周边切向应力为最大应 4.周边 且与巷道半径无关。 力，且与巷道半径无关。 5.定义应力集中系数： 开巷后应力/ 5.定义应力集中系数： 开巷后应力/开巷前应力 定义应力集中系数
（1）应力场计算 ） 假设深埋圆巷的水平载荷对称于竖轴， 假设深埋圆巷的水平载荷对称于竖轴，竖向载荷对称 于横轴； 于横轴；竖向载荷为 p0 ，横向载荷为 λ p0，由于结构 本身的对称性，可应用叠加法来解决此类问题。 本身的对称性，可应用叠加法来解决此类问题。微元 体受力分析图如图6-4所示 所示。 体受力分析图如图 所示。
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6.2 深埋圆形巷道围岩应力的弹性解
基本假定
1.围岩为均质，各向同性； 围岩为均质，各向同性； 围岩为均质 2.线弹性、无蠕变性或为线粘弹性； 线弹性、 线弹性 无蠕变性或为线粘弹性； 3.巷道为无限长，断面形状和尺寸保持不变， 巷道为无限长，断面形状和尺寸保持不变， 巷道为无限长 符合平面应变问题； 符合平面应变问题； 4.深埋 H ≥ 20R0 )； 深埋( 深埋 ； 5.忽略巷道影响范围（3～5倍的）内的岩石 忽略巷道影响范围（ ～ 倍的 倍的） 忽略巷道影响范围 自重。 自重。
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4.叠加后可得任意一点的应力 叠加后可得任意一点的应力 处的应力为： 任意点 (r ,θ ) 处的应力为：
R02 1 R02 R04 1 σ r = (1 + λ ) p0 1 − 2 − (1 − λ ) p0 1 − 4 2 + 3 4 cos 2θ 2 r 2 r r R02 1 R04 1 σ θ = (1 + λ ) p0 1 + 2 + (1 − λ ) p0 1 + 3 4 cos 2θ 2 r 2 r R02 R04 1 τ rθ = (1 − λ ) p0 1 + 2 2 − 3 4 sin 2θ 2 r r
2）切向应力集中系数： ）切向应力集中系数：
K=
σθ
p0
= (1 + λ ) + 2 (1 − λ ) cos 2θ
3）在巷道的顶、底板，即 θ = 900 , 2700 ）在巷道的顶、底板， 在巷道的侧边， 处， θ = p0 (3λ − 1)；在巷道的侧边，即 θ = 0 0 , 180 0 σ 处， θ = p 0 ( 3 − λ ) 。 σ
k= 次生应力/ = 次生应力/原岩应力
周边： 为次生应力场的最大应力集中系数。 周边： = 2 ，为次生应力场的最大应力集中系数。 k
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（6）巷道影响圈边界 ） 1.05 1.一般定义以σ θ 高于 p0 或 σ r 低于 0.95 p0 为 一般定义以 r 巷道影响圈边界， 巷道影响圈边界，由此可计算到≈ 5 R 0 ；若 作为影响边界， 以10%作为影响边界，则可得影响半 r ≈ 3 R 0 作为影响边界 径 。 3R0 • 实际意义：应力解除试验，常以 作为影响 实际意义：应力解除试验， 圈边界，确定钻孔长度； 圈边界，确定钻孔长度；有限元法常划取 r = 5R0 的域内剖分单元进行计算； 的域内剖分单元进行计算； r →∞ 5R • 力学处理：从力学处理方法来看， 与 力学处理：从力学处理方法来看， 所 起的作用等价； 起的作用等价；
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4）应力集中系数与 θ , λ 的关系 ）
图6-6应力集中系数与 θ , λ 的关系 应力集中系数与
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2.巷道周边位移 巷道周边位移
1）径向位移 ）
1 −ν 2 ur = R0 p0 [(1 + λ) + 2(λ − 1) cos2θ ] E
2）切向位移 ）
1）应力集中造成的围岩变形破坏； ）应力集中造成的围岩变形破坏； 2）不连续结构面切割形成的块体失稳。 ）不连续结构面切割形成的块体失稳。
（4）研究方法的选择 ） 选择的数学力学方法与岩体所处的物理状态有关： 选择的数学力学方法与岩体所处的物理状态有关： 1.峰前区（变形体）：弹性段 弹性力学，弹塑性 峰前区（ ）：弹性段 弹性力学， 峰前区 变形体）：弹性段—弹性力学 弹塑性力学， 段—弹塑性力学，或刚塑性力学，或损伤力学 ； 弹塑性力学 或刚塑性力学， 2.峰值点（贯通裂隙形成点、突变点） ； 峰值点（ 峰值点 贯通裂隙形成点、突变点） 3.峰后区（刚性块体）——刚性块体力学，或实验 峰后区（ 刚性块体力学， 峰后区 刚性块体） 刚性块体力学 力学，或初等力学。 力学，或初等力学。
3.对于第二部分可以应用弹性力学 对于第二部分可以应用弹性力学P77的公式（4-18） 的公式（ 对于第二部分可以应用弹性力学 的公式 ） 式即可得到： 式即可得到：
2 R02 R02 R0 R04 1 σ r = − p′ 1 − 2 1 − 3 2 cos 2θ = − (1 − λ ) p0 1 − 4 2 + 3 4 cos 2θ r r r r 2 4 R0 R04 1 σ θ = p′ 1 + 3 4 cos 2θ = (1 − λ ) p0 1 + 3 4 cos 2θ r r 2 R02 R02 R02 R04 1 τ rθ = p′ 1 − 2 1 + 3 2 sin 2θ = (1 − λ ) p0 1 + 2 2 − 3 4 sin 2θ r r r r 2
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（3）岩体稳定性 ） 1.围岩稳定性取决于围岩应力状态和围岩的力学性 围岩稳定性取决于围岩应力状态和围岩的力学性 开挖影响、支护结构刚度等因素。 质、开挖影响、支护结构刚度等因素。 2.地下结构的稳定性分析包括两个方面： 地下结构的稳定性分析包括两个方面： 地下结构的稳定性分析包括两个方面
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（7）弹性位移 ）
1.特点 1.特点
1）周边径向位移最大，但量级小（以毫米计）； ）周边径向位移最大，但量级小（以毫米计）； 2）完成速度快（以声速计）； ）完成速度快（以声速计）； 3）一般，不危及断面使用与巷道稳定； ）一般，不危及断面使用与巷道稳定； 4）对于几何对称和荷载对称问题， 4）对于几何对称和荷载对称问题，在围岩中不可能
图6-4 微元体受力分析图
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1.载荷均化处理 1.载荷均化处理
将载荷均化处理后的计算图如下图所示， 将载荷均化处理后的计算图如下图所示，即：
λ ≠ 1 时圆形巷道计算简图
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2.对于第一部分可以应用静水压力情况的解，即为： 对于第一部分可以应用静水压力情况的解，即为： 对于第一部分可以应用静水压力情况的解
r = R0 , σ r = 0
（不支护） 不支护）
r →∞, σr = p0
（3）解答 ）
联立上述各式可解得方程的解为（弹性力学P71（4联立上述各式可解得方程的解为（弹性力学 （ 14）式，令 ∞ 即可得到）： ） R→ 即可得到）：
R02 σ θ = p0 1 + 2 r R02 σ = p 1 − 0 r r2
式中： 式中： σ r = σ r − p0 , ∆σ θ = σ θ − p0 , ∆
p0 为原岩的静水压应力。 为原岩的静水压应力。
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1）一般公式（包含开挖前变形和开挖后变形） ）一般公式（包含开挖前变形和开挖后变形）
2 (1+ν ) p0 R0 u= (1− 2ν )r + E r
产生切向位移，围岩只有径向位移； 产生切向位移，围岩只有径向位移； 2.计算原则 2.计算原则 1）考虑到原岩应力不引起位移，或只有铅直位移， ）考虑到原岩应力不引起位移，或只有铅直位移， 并且在过去地质年代已经发生， 并且在过去地质年代已经发生，故计算时应减去 各应力分量中的原岩应力，只用其增量； 各应力分量中的原岩应力，只用其增量； 2）巷道位移只和应力变化量有关，与原岩应力无关； ）巷道位移只和应力变化量有关，与原岩应力无关；
2）开挖前（岩体内） ）开挖前（岩体内）
(1+ν ) p0 u= (1− 2ν )r E
3）开挖后（岩体内） ）开挖后（岩体内）
2 (1 +ν ) p0 R0 u= E r
4）开挖后（周边） ）开挖后（周边）
(1+ν ) u= p0 R0 E
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6.2.2 不等压（侧压系数 λ ≠ 1 ）下围岩应力 不等压（
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（2）讨论 ）
1.巷道周边应力 巷道周边应力 1）将 r = R 0 代入上式，即可得到巷道周边的围岩应力： 代入上式，即可得到巷道周边的围岩应力： ）
σ r = 0 σ rθ = 0 σ = p [(1 + λ ) + 2(1 − λ ) cos 2θ ] 0 θ
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3.计算公式 3.计算公式
根据上述弹性位移的特点和计算原则， 根据上述弹性位移的特点和计算原则，轴对称圆巷的弹性 位移
u 应由下式确定： 应由下式确定：
du 1 − υ 2 υ εr = = ∆σ r − ∆σ θ dr E 1−υ 2 ε = u = 1 − υ ∆σ − υ σ r θ θ r E 1−υ
R02 1 R02 σ θ = p 1 + 2 = (1 + λ ) p0 1 + 2 r 2 r 2 2 σ = p 1 − R0 = 1 1 + λ p 1 − R0 ( ) 0 r r2 2 r2
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λ 6.2.1净水压力（侧压系数 = 1 ）下围岩应力与位移 净水压力（ 净水压力
（1）计算模型 ）
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微元体（ 受力图 受力图； 变形图 变形图） 微元体（(a)受力图；(b)变形图）
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（2）基本方程 ）
1.平衡方程 平衡方程 2.几何方程 几何方程
1 −ν 2 uθ = R0 p0 [2(1 − λ ) sin 2θ ] E