2016年淮南市高中自主招生数学试题及答案

数学试题
一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）
1．,00,,,><∈b a R c b a 且设则下列不等式一定成立的是( )
.A 22b a < .B 22bc ac > .
C b
a 1
1> .
D a b a 11>- 2．抛物线2ax y =与直线1=x ，,3=x 1=y ，,2=y 围成的长方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
.
A 191≤≤a .
B 291≤≤a .
C 131≤≤a .
D 23
1
≤≤a 3．
的值是则是正有理数，且若a a a a b b b b a b ---=+>,321( )
.A 22 .B 3 .C 10 D.32
4．若)20161
1)(201511)...(411)(311)(211(2
2222-----
=S ,则S 的值为( ) .A 20162013 .B 20162015 .C 40322015 .D 4032
2017
二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）
5．的值为有唯一实数解，则
的方程若关于a x ax x 0342
=-+ . 6．已知1223=++c b a ，且bc ac ab c b a ++=++222则=--c b a 2
3 .
7． 已知函数322
--=x x y ，则使m y =成立的x 值恰好有三个，则m 的值为 .
8．如图,AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 的长分别是一元二次方程01582
=+-x x 的两根，则=∠APC sin .
三、解答题（共4题，满分48分）
9．（10分）已知ABC ∆的两边,AB AC 的长是关于x 的一元二次方程065)52(2
2=++++-k k k x 的两个实数根，第三边长为5.
（1）k 为何值时，ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形；
（2）k 为何值时，ABC ∆是等腰三角形，并求ABC ∆的周长．
10．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BCD=90︒
，且AB=2，BC=3，tan ∠ADC=3. ⑴求证：DC=BC ；
⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断
△ECF 的形状，并证明你的结论．
11．（12分）淮南市春苗中学初三年级欲在“五一”期间到上海开展研学活动，青春旅行社现有42座和48座两种客车供选择租用，若只租用42座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过36人；已知42座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金440元． （1）该校初三年级共有多少学生参加此次研学活动？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
12．（14分）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、2(,0)B x 和y 轴上的点)8,0(-C ，
P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若a b 2=，6=AB ．
求：
（1）抛物线的解析式；
（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称， 问直线BD 是否经过圆心P ？并说明理由；
（3）设直线BD 交P 于另一点E ，求点E 的坐标．
C M
B
y
x
D E O A P
数学试题答案
一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分 题号 1 2 3 4 答案
D
B
A
D
二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）
5．340-
==a a 或 6．2 7． 4=m 8．5
4
sin =∠APC
三、解答题（共4题，满分48分）
9、解：（1）因为,AB AC 是方程065)52(22=++++-k k k x 的两个实数根，
()()[]()[]32655222+-∙+-=++++-k x k x k k k x 3,2+=+=∴k AC k AB 不妨取……………………2分
又因为ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，且5BC =
所以2
2
2
AB AC BC +=,所以()()25322
2=+++k k 所以 6,121-==k k ……………………4分
当1=k 时，方程为2
7120x x -+=，解得成立,4,3==AC AB
当6-=k 时，显然不成立,3,4-=-=AC AB
所以当1=k 时，ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形。

……………………6分
（2）若ABC ∆是等腰三角形，
则有①AB AC =②AB BC =③AC BC =三种情况。

因为AB AC ≠，故第①种情况不成立。

……………………8分
所以当AB BC =时3,52=∴=+k k 此时等腰ABC ∆的三边长分别为5、5、6，周长是16.
当AC BC =时,2,53=∴=+k k ，此时等腰ABC ∆的三边长分别为5、5、4，周长是14 ……………10分 10、解：（1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M,则AM=BC=3.又tan ∠ADC=3,所以1=DM ……………………3分
因为MC=AB=2,所以DC=DM+MC=3即DC=BC. ……………………6分 (2)结论是等腰直角三角形. ……………………8分 下面证明：
因为.BC DC FBC EDC BF DE =∠=∠=,, 所以，△DEC ≌△BFC ……………………10分 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.
所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即△ECF 是等腰直角三角形. ……………………12分
11.解：（1）设租42座的客车x 辆．依据题意得：
⎩⎨
⎧+->-<36)2(4842)
1(4842x x x x 解得：⎩⎨⎧<>10
8x x 由题意x 应该取9
, 则研学人数为：378942=⨯（人）．……………………6分
（2）方案一：租42座车9辆的费用：36004009=⨯元 方案二：租48座车8辆的费用：35204408=⨯元 方案三：因为378142748=⨯+⨯
租48座车7辆和42座车1辆总费用：348040014407=⨯+⨯元
所以，方案三：租用48座车7辆和42座车1辆最省钱．……………………12分
12．解：（1）由2y ax bx c =++过点)8,0(-C ，a b 2=
822-+=ax ax y 364)(21221=-+x x x x ∴1=a ∴ 822-+=x x y ……………………4分 （2）由（1）得0822
=-+x x 时，41-=x ，22=x
∴)0,2(),0,4(B A -,又D C 、两点关于直线1-=x 对称
D ∴的坐标为)8,2(--，过)0,2(B ，)8,2(--两点的直线42-=x y
设
P 与y 轴另一交点为(0,)M m ，圆心为(0,)P n ，则2OM OC OB ⋅=
1
2
OM ∴=
P ∴点的坐标为)4
15,0(-
P 点的坐标不满足42-=x y
∴直线BD 不经过圆心P ……………………9分
（3）设BD 交P 于另一点E ，
过E 作EF y ⊥轴于F ，如图 则OPB FPE ∆≅∆
OP PF ==
4
15
2==EF OB E ∴点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--215,2………………14分
C
M B
y
x
D
E O A
P。