数学史—杨辉三角

数学史—杨辉三角
通过数学史学习，可以使学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，了解数学概貌，获得数理方面的修养。

而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。

本文将以杨辉三角为例探讨数学史的教育价值。

杨辉三角是现行高中数学教材中数学历史材料之一,它不仅记载了一些中外数学家们一段美好而又动听的故事,而且还科学地揭示了二项展开式的二项式系数的构成规律，更具有许多奇妙的性质．因此，杨辉三角是不可多得的集思想性、科学性、知识性、趣味性于一体的珍贵的历史材料．为了充分发挥杨辉三角的教育功能，笔者指导了学生对杨辉三角的研究，现将研究的过程、成果及体会分述如下．
1．实践过程
利用二项式定理第二课时的小结时间（约10分钟），向学生简介杨辉三角，并发给每人一份研究提纲，指导、布置研究任务．
1．1杨辉三角简介
杨辉三角因最早出现在我国宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》的附录中而被称为“杨辉三角”．其实，在11世纪中叶，我国北宋数学家贾宪就著就了《皇帝九章算法细草》一书，可惜这部书早已失传了．但该书部分内容（包括杨辉三角）因被收入《详解九章算法》一书而幸存．西方把杨辉三角称为“帕斯卡三角”，这是因为“帕斯卡三角”在西方最早出现在法国数学家帕斯卡1665年出版的《算术三角》的著作中，这要比贾宪晚400年左右．
1．2杨辉三角的研究提纲
（1）阅读．
（2）如图1-1，一个儿童从A处进入图中的曲经，请计算这个儿童分别到达B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O处的最短路线的条数，并把它填入图1-2的相应的圆圈内．你从中发现有什么规律？按照你计算的结果和发现的规律对照杨辉三角，写出杨辉三角的前8行．
（图1-1） （图1-2）
（3）研究杨辉三角中的数字与组合数是否有关系？有怎样的关
系?
（4）在杨辉三角中，如图2，一些直线连接的数字分别构成了一
些数列，请研究这些数列的性质．
例如，杨辉三角是一个“等腰三角形”，左腰上的数字构成了常
数列1，1，1，…，1…；平行于左腰的直线上的数字依次构成等差数
列1，2，3，4，…；二阶等差数列（其一阶差分数列是等差数列）1，
3，6，10，…；三阶等差数列（其二阶差分数列是等差数列）1，4，
10，20，…；……
(5)从“形”上研究杨辉三角的性质，例如奇数的分布，偶数的分
布，3的倍数的分布等等．
（6）研究杨辉三角其它方面的性质．
（7）参考文献（略）．
1．3研究活动的具体要求
（1）自愿为原则，每班组成10个研究小组，每组4至5人，并
推选一名组长,负责组织本组的研究及研究成果的整理，写成一篇小论
文．
（2）对于研究的成果，要进行严格的证明，如果是摘录的结论，请
注明出处．
（3）三周后进行交流，各研究小组分别委派一名代表宣读论文．
（4）评选出优秀研究成果（不超过研究成果总数的三分之一）．
2．研究成果（如图3）
2．1杨辉三角的数字构成规律是，每行两相邻数字的和等于它们共同
对应的下行的数字（如图中
），这条性质可由m n m n m n C C C 11+-=+得证．
2．2横行（如1—4—6—4—1）与首末两端“等距离”的两个数字相
等，这条性质就是二项式系数的性质1．
2．3第n 行（如1—4—6—4—1）的所有数字之和为21-n ，这条性质
可由组合数的性质1112111012------=++++n n n n n n C C C C 得证．
2．4当n 为奇数时,第n 行有奇数项,中间一项最大;当n 为偶数时,第n
行有偶数项,中间两项相等且最大．这条性质就是二项式系数的性质2．
2．5第n 行的平方和等于1)1(2--n n C （如12+42+62+42+12=70=
4815)15(2C C =--）,
这条性质可由恒等式1)1(2211221211201)()()()(-------=++++n n n n n n n C C C C C 得证．
2．6平行于杨辉三角的腰的直线（包括腰所在的直线）上各个数字之
和等于末项的下一行偏向中央的第一项（如图3中1+2+3+4+5+6=21,
1+3 +6+10+15=35）,可由恒等式1121++++++=++++m n m m n m m m m m m m C C C C C
得证．
2．7第2n （-∈Z n ）行所有各项都是奇数．
证明：第2n 行各项为k n C 1
2-（k =0，1，2……，12-n ）， （1）当k =0，1时，k n C 1
2-=1，12-n 均为奇数； （2）假设当k =m -1（m ≥2）时命题正确，即11
2--m n C 为奇数，则 m n C 12-=m m n -2112--m n C ……①，若m 为奇数，由①知m n C 12-=奇数奇数
奇数⨯,假设m n C 12-是偶数，则有偶数=奇数奇数
奇数⨯,即有偶数⨯奇数=奇数⨯奇数，矛盾，故m n C 12-必为奇数；若m 为偶数，可设m =2p 1m ，其中1m 为正奇数，N p ∈，n p <．①可化为m n C 12-=11
2m m p n --112--m n C ，同理可证m n C 1
2-仍为奇数．因而当k =m 时,命题也正确．由（1）、（2）可知第2n 行所
有各项都是奇数．
2．8中轴线（1，2，6，20……所在的直线）上的各项或平行于中轴
的直线上的各项构成的数列，都有这样的性质：每一项与前一项的比
构成的新数列的极限均为4．
证明：原数列的通项为211k
n n C +--(它是杨辉三角中的第n 行，且与中
轴线的距离为k 的直线上的数)，当k =0时，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--211n
n C 是中轴线上的数列
（n =1,3,5,…,2m -1,…）；当k =1时,⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-2
1n n C （n =2,4,6,…,2m ,…）是平 行于中轴线且与其相邻（即距离为1）的直线上的数列;当k =2时,
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-211n
n C （n =3,5,7,…,2m -1,…）是平行于中轴线且与中轴线距离为2 的直线上的数列…．因为211k n n C
+--的前一项是233k n n C +--,故
211k
n n C +--÷233k
n n C +--=])1][()1[()2)(1(4k n k n n n --+---,故有∞→n lim （211k n n C +--÷233k
n n C +--）
=∞→n lim ]
)1][()1[()2)(1(4k n k n n n --+---=4． 2．9把每一行各项从左至右分别乘以m 0,m 1,…m r ,…（m C ∈，
m ≠-1）
，再把它们加起来所得到的和数列是公比为（1+m ）的等比数列．
证明：第n 行各项为11211101,,,,-----n n n n n C C C C ,由题设新数列的通项为
n a =11112211101)1(-------+=++++n n n n n n n m m
C m C m C C ,故有n a ÷1-n a =（1+m ）,得证．
2．10英国的《SMP 英国中学数学教科书》中，把帕斯卡三角（即杨辉
三角）改写成如图4的形式，并将每一条斜线上的数字分别相加，得
到数列1,1,3,5,8,13,21，…，此数列是著名的斐波那契数列．
2．11在杨辉三角中（如图3）,以第n 行(包括该行)为底边,以第一行的
“1”为顶点的三角形是等边三角形．我们称之为边长为n 的杨辉三角．
2．12在边长为16的杨辉三角中，把偶数“聚集区”（图5中“0”代
表偶数，“1”代表奇数，可称为杨辉三角的0-1三角）看作是“倒等
边三角形”，只有一个偶数的“聚集区”，也可看作是一个边长为1的
“倒等边三角形”．把这些“倒等边三角形”从杨辉三角中“挖去”，
剩余部分就是有趣的西尔平斯基衬垫(如图6)．西尔平斯基衬垫是由波
兰数学家西尔平斯基（Sierpinski ）于1915年发现的，故而得名．使用
Gbasic 语言编程：
运行结果如图5：
（图5）（图6）
通过民主评议，同学们一致认为2．7、2．8、2．12是我们依靠自己的聪明才智，并做了很多具有开拓性的工作获得的，因而无可争议地被评为优秀成果．2．10虽然不是学生自己的研究成果，但是，多数同学认为2．10也来之不易，是一个小组的同学费尽周折获得的，并且还有很强的趣味性;另外，“拿来主义”也是学习的一种方法．因此，2．10也被评为优秀成果．
3．教育价值
3．1德育价值
3．1．1培养爱国主义思想的教育价值
杨辉三角“是数学史上的重大发现，它在数学的许多领域都有及其重要的应用”[1]，这一重大发现比西方要早四百年左右，是我国数学家对数学发展的重要贡献之一．通过向学生介绍杨辉三角的来龙去脉，展示了我国悠久的历史、灿烂的文化和我国古代数学发展的成就，显示了我们中华民族的勤劳和智慧．改革开放的今天，是我国历史上经济发展和社会进步的最好时期，中华古老文化的底蕴与中华民族的聪明才智，必将化作21世纪的民主、富强、文明的社会主义现代化强国，屹立在世界的东方．这是一次生动的爱国主义思想教育，极大地激发了学生实现为社会主义现代化强国而刻苦学习的热情．
3．1．2培养献身科学精神的价值
通过杨辉三角的介绍和查阅大量的资料，学生还获得了许多科学
知识和鲜为人知的关于科学和科学家的故事，从而引起了学生对科学的极大兴趣和热爱．在研究的过程中，学生也体会到了在科学研究中遇到挫折时的困惑和取得成功的喜悦．这些都会使学生萌发和树立爱科学、学科学、用科学、献身科学的思想．而从事科学研究首先要有科学的态度，还要有脚踏实地、知难而上的实干精神，通过这项研究，也有利于磨练学生的意志，培养学生一丝不苟的科学态度、坚忍不拔的毅力和刻苦钻研的精神．
3．1．3培养合作意识和精神的价值
和平与发展是当今世界的主流，而和平与发展需要合作，没有合作就没有和平，就没有发展．一个人不谋求并善于与他人合作，就很难融入现代社会，就没有发展的空间，甚至难以生存．我国已经进入了独生子女时代，学校教育要重视培养学生与他人合作的意识和精神．这项研究活动是在自愿的基础上组成研究小组，以研究小组为单位，组员之间既有分工又有合作，研究成果是集体智慧的结晶，使学生体会到了合作的快乐和合作的重要性，从而引导学生广泛交流，主动寻求合作，互相帮助共同进步．
3．2智育价值
3．2．1开发智力培养能力的价值
这是一个研究性学习的学习过程．虽然有研究提纲，但也仅限于研究的方向，具有高度的开放性，需要学生自己提出问题，并想方设法解决问题．因此，这是一个锻炼和提高问题解决能力的好机会．有了研究的方向，学生首先对杨辉三角进行观察、分析，通过感性认识进行归纳、抽象、概括提出问题，有利于培养学生思维的灵活性和思维的广阔性；对所提出的问题进行计算、演绎、推理、分析和判断得出结论，然后加以论证或否定，有利于培养学生思维的深刻性和思维的批判性．在这个过程中，学生的思维能力、运算能力、空间想象能力都得到了锻炼和提高，有利于形成和提高分析问题和解决问题的能力，起到了开发智力培养能力的作用．
3．2．2培养数学应用的意识和能力的价值
使学生学会从事社会主义现代化建设事业或进一步学习所必须的数学知识，培养学生数学应用的意识和能力，是中学数学的教学目的之一．通过对杨辉三角的研究，不仅使学生所学的知识得以巩固和加强，还使学生感到自己的所学有了用武之地，提高了学生学习数学的兴趣以及数学应用的意识和能力．特别是有一组的同学，使用Gbasic 语言编程，运用计算机这一现代化手段，打印出了杨辉三角、杨辉三角的0-1三角和西尔平斯基衬垫，这一“开拓性”的工作，使学生受到了巨大的鼓舞．
3．2．3培养科学研究的意识和能力的价值
现代教育需要培养创新型的人才，而培养学生科学研究的意识和
能力，是培养创新精神的重要方面；现代社会的发展需要人才的知识结构不断更新，因此，学习将伴随人们的终身，学校教育肩负着培养学生终身学习能力的重任，要使学生掌握与现代社会发展相适应的学习方法．指导学生对杨辉三角的研究，使学生了解了科学研究和研究性学习的过程和方法，为进一步培养和提高自学能力、科学研究能力奠定了基础．
3．3美育价值
2的杨辉三角的杨辉三角中的数字都关于中轴线对称；边长为n
0-1三角，关于“三条高线”都对称；西尔平斯基衬垫也具有上述性质； 体现了数学的对称美．杨辉三角的0-1三角还可由下面的
作出：先由三个边长为2的杨辉三角（如图7-1），
方法
拼成边长为4的杨辉。

三角的0-1三角（如图7-2），空位用“0”补；在由三个边长为4的杨辉三角的0-1三角，拼成边长为8的杨辉三角的0-1三角（如图7-3），空位用“0”补（如图7-4）；
如此继续下去，直到做成为止．这种作法体现了杨辉三角的“形”的结构特点，而“形”决定于杨辉三角的“数”的构成，是杨辉三角的本质的反映，杨辉三角的“数”与“形”的结合如此完美令人叹为观止．杨辉三角又与组合数、数列、数学归纳法紧密地联系在一起，合情合理、顺理成章，体现了数学的和谐美．然而，杨辉三角能够与著名的斐波那契数列、有趣的西尔平斯基衬垫联系在一起，实属意料之外，使人体味到了数学知识的巧夺天工、奥妙无穷，体现了数学的奇异美．杨辉三角是对一些数学规律的高度抽象和概括，而西尔平斯基衬垫又是对杨辉三角的抽象的结果，体现了数学的抽象美和简洁美．数学既是“真”的科学，又是“美”的科学，是真与美的结合体．引导学生并给他们创造机会去发现数学美、体会数学美、感受数学美，激发他们勇敢地追求美、主动地创造美，从而陶冶学生的情操，培养学生刻苦钻研、勇于创新的精神，这是本次研究活动的又一收获．
（图7-1）（图7-2）（图7-3）（图7-4）。