洛阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

洛阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．64
B ．72
C ．80
D ．
112
【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 3． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A
，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
4． 已知函数f （x ）=Asin （ωx
﹣
）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角
形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）
A
．向左平移个长度单位 B
．向右平移个长度单位 C
．向左平移
个长度单位 D
．向右平移
个长度单位
5． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ） A ．
725
B ．725- C. 725± D ．2425
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
6． 已知双曲线﹣
=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．5
7． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）
A ．1
B ．±2
C ．或3
D ．1或2
8． 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
9． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 10．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥n B ．α∥β，l ⊂α⇒l ⊥β C ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m D ．l ⊥α，l ∥β⇒α⊥β
11．在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.
12．若函数2
()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(]
[),4064,-∞+∞ B ．[40,64] C ．(],40-∞ D ．[)64,+∞
二、填空题
13．（x ﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．
14．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
15．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，12n n a S +=（其中*)n ∈N ，则n S = .
16．设函数f （x ）=
的最大值为M ，最小值为m ，则M+m= ．
17．已知实数x ，y 满足约束条，则z=的最小值为 ．
18．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：
①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；
②若点P 到点A 的距离为
，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；
③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线PA 与圆O 相切于点A ，PBC 是过点O 的割线，CPE APE ∠=∠，点H 是线段ED 的中 点.
（1）证明：D F E A 、、、四点共圆； （2）证明：PC PB PF ⋅=2
.
20．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，将三角形ABD沿BD翻折，使面ABD⊥面BCD．
（Ⅰ）求线段AC的长度；
（Ⅱ）求证：AD⊥平面ABC．
21．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：+=1，
（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；
（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．
22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；
（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．
23．我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100：500元，600：1000元，以及年龄在20：39岁，4059
（2）在缴费100：500元之间抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40：59岁之间的概率．
24．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．
洛阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），
且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，
∴，∴θ为第二象限角，
故选：B．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．
2．【答案】C.
【解析】
3．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
4．【答案】A
【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω==，
即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sin x，
由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，
故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
5．【答案】A
【解析】
考点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θ
θ
θ
θ
θ2
2
2
2sin
cos
2
cos
,1
cos
sin-
=
=
+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理R
C
c
B
b
A
2
sin
sin
sin
a
=
=
=，余弦定理A
bc
c
b
a cos
2
2
2
2-
+
=，实现边与角的互相转化.
6．【答案】A
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．
7．【答案】D
【解析】解：∵当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|． 当1≤x ＜2时，2≤2x ＜4，
则f （x ）=f （2x ）=（1﹣|2x ﹣3|），
此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x ≤4时， f （x ）=1﹣|x ﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x ≤8时，2＜≤4，
则f （x ）=cf （）=c （1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c ．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c ）共线，
∴=，
解得c=1或2． 故选D ．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f （x ）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
8． 【答案】B
【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，
设底面边长为a ，则，∴a=6，
故三棱柱体积．
故选B
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
9． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
10．【答案】D
【解析】解：对于A ，α∥β，l ⊂α，n ⊂β，l ，n 平行或 异面，所以错误； 对于B ，α∥β，l ⊂α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；
对于C ，l ⊥n ，m ⊥n ，在空间，l 与m 还可能异面或相交，所以错误． 故选D ．
11．【答案】B
12．【答案】A 【解析】
试题分析：根据()2
48f x x kx =--可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为8
k
x =
，所以若函数()f x 在区间[]5,8上为单调函数，则应满足：
58k ≤或88
k
≥，所以40k ≤或64k ≥。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

二、填空题
13．【答案】 ﹣160
【解析】解：由于（x ﹣）6
展开式的通项公式为 T r+1=
•（﹣2）r •x 6﹣2r ，
令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x ﹣）6
展开式的常数项为﹣8
=﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
14．【答案】 6 ．
【解析】解：根据题意可知：f （x ）﹣2x
是一个固定的数，记为a ，则f （a ）=6，
∴f （x ）﹣2x =a ，即f （x ）=a+2x
，
∴当x=a 时，
又∵a+2a
=6，∴a=2，
∴f （x ）=2+2x
，
∴f （x ）+f （﹣x ）=2+2x +2+2﹣x =2x +2﹣x
+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
15．【答案】1
3n --
【解析】∵12n n a S +=，∴12n n n S S S +-=， ∴∴13n n S S +=，11133n n n S S --=⋅=． 16．【答案】 2 ．
【解析】解：函数可化为f （x ）==
，
令，则
为奇函数，
∴
的最大值与最小值的和为0．
∴函数f （x ）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即M+m=2． 故答案为：2．
17．【答案】
．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=
=32x+y ，
设t=2x+y ， 则y=﹣2x+t ， 平移直线y=﹣2x+t ，
由图象可知当直线y=﹣2x+t 经过点B 时，直线y=﹣2x+t 的截距最小， 此时t 最小．
由
，解得
，即B （﹣3，3），
代入t=2x+y 得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t 最小为﹣3，z 有最小值为z==3﹣3=
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
18．【答案】①②④
【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，
②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；
对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，
∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；
对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，
∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【
解
析
】
11
11]
试题解析：解：（1）∵PA 是切线，AB 是弦，∴C BAP ∠=∠，CPE APD ∠=∠， ∴CPE C APD BAP ∠+∠=∠+∠，
∵CPE C AED APD BAP ADE ∠+∠=∠∠+∠=∠, ∴AED ADE ∠=∠，即ADE ∆是等腰三角形
又点H 是线段ED 的中点，∴ AH 是线段ED 垂直平分线，即ED AH ⊥
又由CPE APE ∠=∠可知PH 是线段AF 的垂直平分线，∴AF 与ED 互相垂直且平分， ∴四边形AEFD 是正方形，则D F E A 、、、四点共圆. （5分） （2由割线定理得PC PB PA ⋅=2
，由（1）知PH 是线段AF 的垂直平分线，
∴PF PA =，从而PC PB PF ⋅=2
（10分）
考点：与圆有关的比例线段． 20．【答案】
【解析】解法一：
解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，
取CD 中点E ，连接BE ，因为AB ⊥AD ，AB=AD=2，
所以，又
，
所以四边形ABDE 为正方形，即有BE=2，BE ⊥CD ，
所以
…
在△BCD 中，
，所以BD ⊥BC ，
翻折之后，仍有BD ⊥BC …
又面ABD ⊥面BCD ，面ABD ∩面BCD=BD ，BC ⊂面BCD ，所以BC ⊥面ABD … 又AB ⊂面ABD ，所以BC ⊥AB …
所以
…
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥面ABD ，又AD ⊂面ABD ，所以BC ⊥AD ，… 又AB ⊥AD ，AB ∩BC=B ，所以AD ⊥平面ABC ．… 解法二：
解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，取CD中点E，连接BE，
因为AB⊥AD，AB=AD=2，所以
又，所以四边形ABDE为正方形，
即有BE=2，BE⊥CD，所以…
在△BCD中，，所以BD⊥BC，
翻折之后，仍有BD⊥BC…
取BD中点F，连接AF，CF，则有BD⊥AF，
因为面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BD⊥AF，AF⊂面ABD，
所以AF⊥面BCD…
又CF⊂面BCD，AF⊥CF…
因为，，
所以．…
证明：（Ⅱ）在△ACD中，，CD=4，AD=2，
AD2+AC2=CD2，
所以AD⊥AC…
又AB⊥AD，AB∩AC=A，
所以AD⊥平面ABC．…
【点评】本题考查线段长的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．【答案】
【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=1，y1+y2=1，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：+=1，
得，∴k AB==﹣=﹣，
∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0．
（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1，
则cos∠F1PF2==﹣1=﹣1=﹣1，
又r1r2≤（）2=a2（当且仅当r1=r2时取等号）
∴当r1=r2=a，即P（0，）时，cos∠F1PF2最小，
又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．
（3）∵=12，=3，∴=9．
则由题意，设所求的椭圆方程为+=1（a2＞9），
将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a2﹣9）x2+18a2x+90a2﹣a4=0，
依题意△=（18a2）2﹣4（2a2﹣9）（90a2﹣a4）≥0，
化简得（a2﹣45）（a2﹣9）≥0，
∵a2﹣9＞0，∴a2≥45，
故所求的椭圆方程为=1．
【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．
22．【答案】
【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，
由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，
∴DF∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；…
（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．
DF=BC1==1，A1D==，A1F=A1C=1．
在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，
∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，
∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…
（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==1．
∴=﹣S△BDE﹣﹣=
∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：（1）设抽取x人，则，解得x=2，
即年龄在20：39岁之间应抽取2人．
（2）设在缴费100：500元之间抽取的5人中，年龄在20：39岁年龄的两人为A，B，在40：59岁之间为a，b，c，
随机选取2人的情况有（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种，
年龄都在40：59岁之间的有（a，b），（a，c），（b，c），共3种，
则对应的概率P=．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，以及古典概型的计算，利用列举法是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）证明：在△CEF中，
∵G、H分别是CE、CF的中点，
∴GH∥EF，
又∵GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH⊂平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
（Ⅲ）由（Ⅰ），得AC⊥平面BDEF，
又∵AO=，四边形BDEF的面积S=3×=6，
∴四棱锥A﹣BDEF的体积V1=×AO×S=4，
同理，四棱锥C﹣BDEF的体积V2=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．
【点评】本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．。