物理学中的混沌及其应用研究_张东

由于混沌的奇异特性 , 特别是对初始条件极其微小
变化的高度敏感性及不稳定性 , 所谓“差之毫厘 , 失
之千里”的缘故 , 长期以来有些人总觉得混沌是不
可控的 、不可靠的 , 因而是无法应用的怪物 , 在应用
及工程领域中 总被回避和抵制 。 但是 , 20 世纪 90
第 20 卷第 3 期
张 东等 :物理学中的混沌及其应用研究
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图 1 螺环型的混沌吸引子
图 2 单环型的混沌吸引子
图 3 双环型的混沌吸引子
年代以来国际上混沌同步及混沌控制的突破性进 展 , 由此激发起来的混沌理论与混沌实验应用研究 的蓬勃开展 , 使物理 学混沌 的可能应 用出现了 契 机 , 为人们提供了广阔的应用前景 。
2 混沌的应用
数 δ=4.669 201 666 …。 人类每承认一项限制 , 人
在理解 和控制 环境方面 就变得更 丰富和更 理智 。
相信 , 随着科学的发展 , 简单性将会不断地获得新
的内涵 , 而使简单性原则在更高的层次上被确立为
一条重要的方法论原则 。
如图 1 , 图 2 , 图 3 , 是典型的混沌吸引子图形 。
见第三个系统有着比前两个系统更加丰富的动力
学性质 。 当参数 a , b , c 满足下列条件 a >0 , b <0 ,
c <0 , a +b +c <0 时 , 第三个系统产生混沌 。
由于非线性方程一般不能积分精确求解 , 因而
就只能满足于计算吸引子和分形维数等整体特征 。
在自然科学中人们公认的“ 简单性原则”在复杂性
混沌运动广泛存在于物理学 、化学 、生物学 、大 气学 、海洋学 、宇宙学等许多学科中[ 1] , 美国气象学 家罗伦兹在研究分析长期天气预报的可能性时 , 发 现了所谓的蝴蝶效应 , 揭开了混沌研究的序 幕[ 2] 。 混沌是一种复杂运动现象 , 具有复杂运动的共性 。 如存在非线 性相互作 用 ;系 统处在开 放的非平 衡 态 ;系统 内部 存在 自组 织现象 ;运 动过 程不 可 逆 等[ 3] 。混沌 运动的研 究作为一 门新的学 科 , 自 20 世纪 60 年代问世以来 , 得到了迅速的发展[ 4-5] 。 目 前 , 人们对混沌运动的规律及其在自然科学各个领 域的表现已经有了十分丰富的认识 , 对混沌运动的 研究也越来越深入 , 混沌在物理学与控制 、通信 、网 络中具有重要地位和广泛的应用[ 6] 。
混沌现象显露了自然界现象中的另一个 本质 侧面 , 即确 定论系统 中也会 出现本质 的内在随 机 性,这是出人意料的 。完全确定论性的动力学方 程 , 他的解却可能由于敏感依赖初始条件而变成完 全不确定的 。 混沌系统中一条轨道满足确定论性 的方程 , 但其整体特征却表现为有条件的不可预测 性 。系统的内在随机性会放大而最终导致混沌的 出现 。 确定论产生了随机性 , 确定性和随机性没有 了不可逾越的界限 , 确定论和非确定论在新 的程 度上达到了统一 , 这真是人类对偶然性和必然性相 互关系认识的一大飞跃 ! 支配复杂性现象的数理 模型可能是很简单的 , 而简单方程的解却可能是很 复杂的 , 这对人们正确认识简单性和复杂性之间的 关系提供了一个重要的启示 。在这里 , 复杂性指的 就是混沌系统非线性动力学方程的不可积性 。
(2)
dz dt = xy -bz
(3)
同样 , p 、q 、r 为常数 , 则下面方程(4)、(5)、(6)也组 成了非线性动力学方程混沌系统
dx d t = p(y -x)
(4)
dy dt = qy -xz
(பைடு நூலகம்)
dz dt = xy -rz
(6)
对于下面的方程(7)、(8)、(9)组成的混沌系统
DO I :10.16255/j .cnki .ldxbz.2006.03.014
2006 年 9 月
北京联 合大学学报(自然科学版)
第 20 卷第 3 期总 65 期
Journal of Beijing Union University(Natural Sciences)
Sep .2006 Vol.20 No .3 Sum No .65
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北京联 合大学学报(自然科学版)
系统 。物理学中的确定论以牛顿力 学为代表 。 牛 顿力学的数学基础是欧氏几何和微积分 , 一个给他 构造了时空模型 , 一个给他提供了计算工具 , 只要 知道现在时刻物体的位置和速度(动能), 就可以计 算出此物体过去和未来的位置和速度(动能), 换句 话说 , 就可以知道它的运动轨迹 。 其标志是法国天 文学家勒威耶根据牛顿力学计算 , 于 1846 年预言 了海王星的轨道 , 几星期后德国天文学家加勒在该 轨道上果真找到了这颗星 。 确定论的含义就是给 定一个微分方程和它的初值 , 然后就可求解这个微 分方程 。 但近 30 年来对混沌运动的研 究表明 :一 个确定性动力系统的物理运动方程若是非线性的 ,
近年来 , 借助于计算机进行数值模拟 , 人 们不 断地发现新的非线性混沌系统 。 如下面的非线性 方程(1)、(2)、(3), 组成一个非线性动力学方 程混 沌系统 。其中 a 、b 、c 为常数 , x 、y 、z 为与时 间有
关的变量 。
d x dt = a(y -x)
(1)
dy d t =(c -a)x +zy -xz
了参数扰动过程如何加速从一个系统状态转移到 另一个状态 , 并给出了数值分析方法和计算机获 得这种控制所需的时间 。Nitsche 和 Dressler 对这种 方法作了进一步推广 。在某些情形下通过一时间 序列利用时滞坐标来重构吸引子 , 并对原始控制算 法提出一些修改便于实际应用 。Hunt 在一个物理 系统 , 即二极 管共振 器中 研究了 参数扰 动方 法 。 他将系统的混沌动力学特性转移入具有 23 个驱动 环的稳定轨迹 。在全局耦合 、多模态 、自治激光系 统及纤维缴光中 , 这种方法及相似的方法也被用来 控制混沌 。总之 , 这种控制方法有两个突出优点 : 它不要求知道严格的系统数学方程 , 并能通过微小 的控制信号而获得明显的控制效果 。 缺点是人为 因素起主导作用 , 参数的调整非常机巧 , 并且没有 固定的模式可以遵循 。 迄今 , 混沌控制的目标有两 种 :一种是基于在混沌奇怪吸引子内存在无穷多的
1 物理学中的混沌
混沌现象是自然界中的普 遍现象 , 在微观 、介 观 、宏观 、宇观等各个领域中 , 处处 可见 。 人类 不 仅需要从物理学中掌握力 、热 、声 、光 、电磁和原子 等领域既有的知识 , 而且要了解物理学对自然现象 的思维方法和表达语言 , 更需要从物理学中了解诸 如混沌等现象的物理解释 。 混沌理论揭示了确定 性理论具有内在随机性 , 对牛顿力学中存在对初始 条件的敏感性的发现 , 正在改变着人们对于确定性
和随机性的传统认识 。 混沌理论同相对论 、量子力 学一样 , 冲破了牛顿力学的局限性 , 被认为是 20 世 纪物理学的 又一次革 命 。 因此 , 混沌 应该同 相对 论 、量子力学一样 , 成为 21 世纪物理学发展中不可 缺少的一根支柱 。 1.1 混沌运动的确定性与随机性
物理中的混沌运动虽然复杂 , 但产生混沌运动 的模型有时却相当简单 。人们习惯认为遵从牛顿 运动定律的物体有着完全确定的运动轨道 , 是一种 确定性的运动 。一个物理意义上的确定论系统 , 是 不含任何随机因素的完全确定的数学模型描述的
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则该系统就具有“内在的随机性 —概率性” , 在适当 的条件下就会出现类似随机的运动 , 而且出现随机 性运动的情形要比出现确定性运动的情形多的多 。 混沌运动就是在确定性的动力系统中出现的一种 类似随机的运动行为 。 完全的确定论和完全的概 率论都是以某种无穷过程为前提的 。 确定论意味 着可以无限 精确地预 测未来 , 在给定 的初始条 件 下 , 系统的运动轨道将是唯一确定的 。 而概率论则 不同 , 它是非确定论的 , 对于某个随机现象来说 , 即 便在同样的条件下 , 每次出现的结果都可能不同 , 但它又是有着确定规律的 , 这就是大量随机事件中 表现出来的统计规律性 。 长期以来 , 自然科学有着 确定论与概率论两套描述体系 , 分别对应着必然事 件和 偶然事件 两大类研 究对象 。 而且一 直认为 , 确定论体系是天经地义的 , 概率描述只是一种不得 已而为之的近似的补充 。 例如对于量子描述的统 计性问题 , 两位物理学大师玻尔和爱因斯坦就对此 问题进行了 长达近半 个世纪的 争论 , 至今余波 未 平 。实际上 , 确定论和 概率论都是建立在无限 精 确测量的假定基础之上的 。 牛顿力学要求给出精 确的初始条件或边界条件 , 而统计规律性则要求有 一个无限长的样本序列 。 可是 , 实际的测量其精度 和次数又总是有限的 。 只要把有限性作为基本原 则 , 确定论与概率论的人为对立也就会消失 。 1.2 非线性动力学方程产生混沌
第二种类型的混沌同步则是两个不同混沌系统相互耦合由gaponovgrekhov及其合作者在研究流体湍流时提出的后来rahman从理论上研究了在半导体激光阵列系统中的混沌同步的可能性1994年美国roythornbury及日本srgawaratachikawatsukamoto等人已分别独立地从实验上观察到两个混沌的激光系统达到完全同步他们就是利用激光光强相互耦合的结果前者用两个nd
dx d t =-yz +ax
(7)
dy dt = xz +by
(8)
dz
dt
=
1 3
xy
+cz
(9)
当参数 a =5 , b =-10 , c =-3.8 时 , 该系统有一
个混沌吸引子 。
在上述这 3 组非线性混沌系统中 , 第三个系统
的右边有 3 个非线性项 xz , xy 和 yz 。因此 , 可以预
[ 收稿日期] 2006-05-16 [ 基金项目] 国家“十五” 教育科学重点立项课题(BIA010091-1-D03) [ 作者简介] 张东(1950 —), 男 , 北京市人 , 北京联合大学基础部副 教授 , 研究方 向为理 论物理 、现代 物理 、物理教 学 ; 张宁(1962—), 男 , 广东五华人 , 北京联 合大学信息技术研究所教授 , 光学博士 , 光通信博士后 , 从事物 理光学理论 、光通信等 方面的研究和教学 。
现象中是否仍然有效? 这在认识论上是十分重要
的 。 应该认为 , 复杂性与非对称性一样也是一个发
展着的 、相对的概念 。动力学方程的不可积性可能
是复杂性现象对经典力学现象的第三个限制(前两
个是高速运动现象对经典力学的限制 , 以光速 c 为
标志 , 以及微观现象对经典力学的限制 , 以普朗克
常数 h 为标志), 它的标志很可能就是费根鲍姆常
物理学中的混沌及其应用研究
张 东1 , 张 宁2
(1.北京联合大学 基础部 , 北京 100101 ;2.北京联合大学 信息技术研究所 , 北京 100101)
[ 摘 要] 讨论了物理中的混沌问题 , 分析了混沌在控制 、通信和网络中的应用 。 混沌是物理学 中的重要现象 , 他的性质是对初值的敏感性 , 他在长时间内是不可预测的 , 混沌方程像确定性系 统 , 但却有类似随机信号样的输出结果 。 他是部分的不稳定 , 但在物理上却是很吸引人的 , 不同 于常规运动 , 他的曲线从来不重复 , 但却总是落入确定的区域 。 他给科学带来了很大的一个冲 击 。人们相信 , 混沌现象的发现 , 否定了传统的确定性系统概念 , 并成为 20 世纪继量子力学和相 对论后的第三次科学概念的革新 。 [ 关键词] 非线性系统 ;混沌 ;混沌方程 ;确定性系统 ;随机 [ 中图分类号] O 415.5 [ 文献标识码] A [ 文章编号] 1005-0310(2006)03-0053-05
2.1 混沌在系统参数控制上的应用 在系统参数控制上 , Ott , Grebogi 和 Yorke 提出
了一种比较系统和严密的参数扰动方法 , 取他们 3 人的第一个字母组合 , 亦称为 OGY 方法 。 这种 思 想源于一个混沌吸引子可以嵌入到它的不稳定周 期轨道的一个稠密子集里 。 它是通过逐次局部线 性化配合小参数调整的手段来实现控制混沌现象 的目的 。由于在调整参数的过程中需要使用系统 输出的信息 , 这种方法亦具有一定的传统反馈控制 的特色 。Shinbro , Ott , Grebogi 和 Yorke 进一步研究