工程数学积分变换试题

工程数学积分变换试题
题1：
计算以下不定积分：
(1) ∫(2x+3)dx
(2) ∫(3sinx+4cosx)dx
(3) ∫(e^x/x)dx
(4) ∫(lnx/x)dx
解答：
(1) ∫(2x+3)dx = x^2 + 3x + C （其中C为常数）
(2) ∫(3sinx+4cosx)dx = -3cosx + 4sinx + C
(3) ∫(e^x/x)dx = Ei(x) + C （其中Ei(x)为指数积分函数，C为常数）
(4) ∫(lnx/x)dx = (lnx)^2/2 + C
题2：
计算以下定积分：
(1) ∫[0,1] x^2 dx
(2) ∫[π/2,π] sinx dx
(3) ∫[0, ∞] e^(-x) dx
解答：
(1) ∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3 |[0,1] = 1/3
(2) ∫[π/2,π] sinx dx = -cosx |[π/2,π] = -cosπ + cos(π/2) = 1
(3) ∫[0, ∞] e^(-x) dx = -e^(-x) |[0,∞] = 0 - (-1) = 1
题3：
使用积分变换计算下列不定积分：
(1) ∫(xsinx + cosx)dx
(2) ∫(x^2e^x + xe^x)dx
解答：
(1) 针对∫(xsinx + cosx)dx，我们可以进行分部积分法：
设u = x, dv = sinx + cosx dx
则du = dx, v = -cosx + sinx
根据分部积分法，有∫(xsinx + cosx)dx = uv - ∫vdu
= -xcosx + xsinx - ∫(-cosx + sinx)dx
= -xcosx + xsinx + sinx - cosx + C
= xsinx - xcosx + sinx - cosx + C
(2) 针对∫(x^2e^x + xe^x)dx，我们可以进行再次分部积分法：设u = x^2, dv = e^x dx
则du = 2xdx, v = e^x
根据分部积分法，有∫(x^2e^x + xe^x)dx = uv - ∫vdu
= x^2e^x - 2∫x*e^x dx
再次应用分部积分法，设u = x, dv = e^x dx
则du = dx, v = e^x
根据分部积分法，有2∫x*e^xdx = 2(xe^x - ∫e^xdx)
= 2xe^x - 2e^x + C
将此结果代入前一步骤的求解中，有∫(x^2e^x + xe^x)dx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x - C
= x^2e^x - 2xe^x + (2e^x - C)
= x^2e^x - 2xe^x + Ce^x （其中C为常数）
本文为工程数学积分变换试题，涵盖了不定积分和定积分的计算，以及使用分部积分法求解积分变换等内容。

通过深入解析每个题目的步骤，我们能够清晰地了解如何将数学问题转化为积分求解的形式，并得出准确的结果。