2022-2023年研究生入学《数学一》考前冲刺卷I(答案解析19)

2022-2023年研究生入学《数学一》考前冲刺卷I（答案
解析）
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第I卷
一.综合考点题库(共50题)
1.设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意常数k,l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2,α3线性无关的
A.A必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
正确答案：A
本题解析：2.设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是
A.Af1(x)f2(x)
B.2f2(x)F1(x)
C.f1(x)F2(x)
D.f1(x)F2(x)+f2(x)f1(x)
正确答案：D
本题解析：
匀分布，令
(Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度；
(Ⅱ)请问U与X是否相互独立？并说明理由；
(Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z).
正确答案：
本题解析：
4.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：B 本题解析：5.
A.连续，但不可偏导
B.可偏导，但不连续
C.连续、可偏导，但不可微
D.可微
正确答案：D
本题解析：
正确答案：1、2
本题解析：
暂无解析
7.设总体X的概率密度为
其中θ为未知参数，X1，X2，…，Xn，为来自该总体的简单随机样本.
(Ⅰ)求θ的矩估计量；
8.将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
(Ⅱ)求θ的最大似然估计量.
正确答案：
本题解析：
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：D
本题解析：
设木棒截成两段的长度分别为X和Y.显然X+Y=1，即Y=1-X，然后用公式
【求解】Y=1-X，则DY=D(1-X)=DX.
Cov(X，Y)=Cov(X，1-X)=Cov(X，1)=Cov(X，X)=0-DX=-DX.
答案应选(D).
9.设随机变量X ~ N(0.1),在X=x条件下随机变量Y ~ N(x，1)，则X与Y的相关系数为（）
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：D 本题解析：
10.由方程确定的函数y=y(x)
A.有驻点且为极小值点
B.有驻点且为极大值点
C.有驻点但不是极值点
D.没有驻点
正确答案：A
本题解析：
11.设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：C
本题解析：12.设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性
A.A仅与m的取值有关
B.仅与n的取值有关
C.与m，n的取值都有关
D.与m，n的取值都无关
正确答案：D
本题解析：
13.设随机变量X，Y不相关，且EX=2，EY=1，DX=3，则E［X(X+Y-2)］=
A.A-3
B.3
C.-5
D.5
正确答案：D
本题解析：
14.设A为四阶实对称矩阵，且A^2+A=O.若A的秩为3，则A
相似于
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：D
本题解析：
这是一道常见的基础题，由Aα=λα，α≠0知A^nα=λ^nα，那么对于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是实对称必有A～A，而A即是A的特征值，那么由r(A)=3，可知(D)正确15.矩阵与相似的充分必要条件为
A.Aa=0，b=2
B.a=0，b为任意常数
C.a=2，b=0
D.a=2，6为任意常数
正确答案：B
本题解析：
两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值.
因为
由λ=2必是A的特征值，即|2E-A|=2［2^2-2(b+2)+2b-2a^2］=0，故必有a=0.
由λ=b必是A的特征值，即|bE-A|=b［b^2-(b+2)b+2b］=0，b可为任意常数.
所以选(B).
16.设二次型，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为
A.A单叶双曲面
B.双叶双曲面
C.椭球面
D.柱面
正确答案：B
本题解析：
17.设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω.
(Ⅰ)求曲面∑的方程；
(Ⅱ)求Ω的形心坐标. 正确答案：
本题解析：
【分析】利用定义求旋转曲面∑的方程；利用三重积分求Ω的形心坐标.
18.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{X
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：A
本题解析：
X～E(1)，Y～E(4)且相互独立，所以(X，Y)的概率密度
利用公式可以计算出结果.
【求解】
19.设，则I，J，K 的大小关系为
A.AI
B.I
C.J
D.K
正确答案：B
本题解析：
同一区间上定积分大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小.由于当时，0故，即I<K<J.
20.设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F'2≠0，则
=
A.Ax
B.z
C.-x
D.-z
正确答案：B
本题解析：
21.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：B
本题解析：
数字型行列式，有较多的0且有规律，应当有拉普拉斯公式的构思.
22.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D 正确答案：A 23.若二次曲面的方程经正交变换化为
，则a=________.
正确答案：1、1
本题解析：
暂无解析
24.如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：B
本题解析：
由微分定义知f(x，y)在(0，0)处可微，故应选(B).【评注】1.本题主要考查二元函数连续、偏导数、可微的定义.
2.可采用举反例排除错误答案.取f(x，y)=｜x｜+｜y｜排除(A)，f(x，y)=x+y排除(C)、(D).
25.(Ⅰ)设函数u(x)，ν(x)可导，利用导数定义证明
［u(x)ν(x)］’=u’(x)ν(x)+u(x)ν’(x)；
(Ⅱ)设函数u1(x)，u2(x)，…，un(x)可导，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，写出f(x)的求导公式. 本题解析：
【解】(Ⅰ)令f(x)=u(x)ν(x)，由导数定义知
26.设，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C
正确答案：
本题解析：
由题意可知矩阵C为2×2阶矩阵，故可设
求所有矩阵C，即求出方程组①的通解。

对方程组①的增广矩阵进行行初等变换：
由于方程组①有解，故有1+
27.设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求
正确答案：
本题解析：
所以，令x=y=1，且注意到g(1)=1，g'(1)=0，得28.A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：B 本题解析：
29.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：B
本题解析：
30. 已知AX=B有解（I）求常数a,b. (II) 求
X.
正确答案：本题解析：
31.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：D 本题解析：
32.(Ⅰ)证明：任意的正整数n，都有成立；
(Ⅱ)设，证明数列{an}收敛.
正确答案：
33.
本题解析：
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：C
本题解析：
34.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：C 本题解析：35.
A.①③
B.①②
C.②③
D.②④
正确答案：D 本题解析：
36.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为
P{Y=0}=P{Y=1}=.记Fz(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数Fz(z)的间断点个数为A.A0
B.1
C.2
D.3
正确答案：D 本题解析：37.(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且=A，则存在，且.
正确答案：
本题解析：
38.设总体X 的概率密度为
其中θ为未知参数且大于零.X1，X2，…，Xn 为来自总体X 的简单随机样本. (Ⅰ)求θ的矩估计量； (Ⅱ)求θ的最大似然估计量.
正确答案：
本题解析：
39.设是二阶常系数非齐次线性微分方程
的一个特解，则
A.Aa=-3，b=2，c=-1
B.a=3,b=2,c=-1
C.a=-3，b=2，c=1
D.a=3，b=2，c=1
正确答案：A
本题解析：
【评注】其实，我们可看出齐次线性微分方程的特征根为1和2，非齐次线性微分方程的一个特解可为y=xe^x，进一步求得a，b，c.
40.下列积分发散的是A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：D 本题解析：
41.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：B 本题解析：42.设A,B均为n阶矩阵，若AX=0与BX=0同解，则
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：C
本题解析：
AB可逆，B错误，也不能满足D选项中方程组得秩相等。

43.设总体X的概率分布为
其中参数θ∈(0，1)未知.以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i
的个数(i=1，2，3).试求常数α1，α2，α3，使为θ的无偏估计量，并
求T的方差.
正确答案：
本题解析：
44.设，其中c1，c2，c3，c4
为任意常数，则下列向量组线性相关的为
A.Aα1，α2，α3
B.α1，α2，α4
C.α1，α3，α4
D.α2，α3，α4
正确答案：C
本题解析：
45.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D 正确答案：C 本题解析：
46.
正确答案：本题解析：
47.设L是柱面x^2+y^2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分=________.
正确答案：1、π.
本题解析：
暂无解析48.设数列{an}单调减少，无界，则幂级数
的收敛域为
A.A(-1，1］
B.［-1，1)
C.［0,2)
D.(0,2］
正确答案：C
本题解析：
49.下列曲线中有渐近线的是
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：C 本题解析：50.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：A 本题解析：。