广西壮族自治区贵港市石龙民族中学2021年高三数学文模拟试题含解析

广西壮族自治区贵港市石龙民族中学2020-2021学年高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≤0} D．{x|x≥1}∪{0}
参考答案：
A
略
2. 复数的虚部是（）
A．﹣i B．i C．﹣D．
参考答案：
C
略
3. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）
A．B．C．D．不存在
参考答案：
A
略
4. 对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( )
A．若则 B．若,则
C．若则 D．若,则
参考答案：C
【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4 G5
A．根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误．
B．根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误．
C．根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确．D．根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行．所以D错误．
【思路点拨】A．利用线面垂直的定义和判定定理判断．B．利用线面平行的判定定理判断．C．利用面面平行的性质判断．D．利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断．
5. 已知，则=（）
A．10 B．8 C．6 D．
参考答案：
A
6. 如图3给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件
是
A． B． C． D．
参考答案：
C
该程序框图为求和运算．s=0，n=2，i=1，i10？否；s=0+，n=4，i=2，i10？否；
s=0++，n=6，i=3，i10？否；…；s=0+++…+，n=22，i=11，i10？是，输出s=.得C选项．
7. 已知函数：，其中：，记函数满足条件：
为事件为，则事件发生的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
8. 如果复数的实部和虚部互为相反数，那么b等于
A. B. C. D.
参考答案：
因为，且实部和虚部互为相反数，
9. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度参考答案：
C
依题意，把函数左右平移各单位长得函数的图象，即函数的图象，∴，解得，故选C.
10. 下列函数中，既是偶函数，又在（0,1）上单调递增的函数是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式
的解的集合是
.
参考答案：
12. （2008?福建）（x+）9展开式中x3的系数是_________．（用数字作答）
参考答案：
84
略
13. 已知函数y＝f(x) (x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为________．
参考答案：
6
略
14. 已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。

参考答案：
15. 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝a· b，则y ＝a ＋b 的最小值为 .
参考答案：
4
16. 已知函数f （x ）的导函数为f′（x ），对任意x∈R，都有2f′（x ）＞f （x ）成立，则不等式
的解集为 ．
参考答案：
（1，+∞）
【考点】6B
：利用导数研究函数的单调性．
【分析】令g （x ）=，利用导数研究其在R 上的单调性即可得出．
【解答】解：令g （x ）=，则g′（x ）==＞0，
∴函数g （x ）在R 上单调递增，
而不等式
化为：
＞
，
∴2x﹣1＞x ，解得x ＞1，
∴不等式
的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性解不等式的方法，考查了推理能力与计
算能力，属于难题．
17. f （x ）=x 3+x ﹣8在（1，﹣6）处的切线方程为 ．
参考答案：
4x ﹣y ﹣10=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程． 【解答】解：f （x ）=x 3+x ﹣8的导数为f′（x ）=3x 2+1， 可得切线的斜率为k=3+1=4， 即有切线的方程为y+6=4（x ﹣1）， 化为4x ﹣y ﹣10=0． 故答案为：4x ﹣y ﹣10=0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求出导数和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知函数．
（1）求
的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
参考答案：
解：（1）因为
所以的最小正周期为．------------------6分
（2）因为
于是，当时，取得最大值2；
当取得最小值．-------------12分
略
19. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）．
（1）当a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e2x﹣be x（e为自然对数的底数），x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）令V（x）=2f（x）﹣x2﹣kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，且线段AB的中点为C（x0，0），求证：V′（x0）≠0．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求函数f（x）的定义域，然后利用h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，则得到h'（x）≥0恒成立．
（2）换元，设t=e x，将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的单调性求函数的最小值．（3）求函数V（x）的导数，构造新函数，利用新函数的单调性证明V′（x0）≠0．
【解答】解：（1）当=﹣2时，h（x）=f（x）﹣g（x），所以h（x）=lnx+x2﹣bx，其定义域为（0，+∞），
因为函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，所以h'（x）≥0恒成立，即
恒成立，所以，当x＞0时，，当且仅当时取等号，所以，所以b的取值范围．
（2）设t=e x，则函数φ（x）=e2x﹣be x等价为ω（t）=t2+bt，t∈[1，2]，
则，且，
所以①当时，函数ω（t）=t2+bt，在t∈[1，2]，上为增函数，所以当t=1时，ω（t）的最小值为b+1．
②当，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=时，ω（t）的最小值为﹣．
③当时，函数ω（t）=t2+bt，在t∈[1，2]上为减函数，所以当t=2时，ω（t）的最小值为4+2b．
综上：当时，φ（x）的最小值为b+1．
当﹣4＜b＜﹣2时，φ（x）的最小值为﹣．
当b≤﹣4时，φ（x）的最小值为4+2b．
（3）因为V（x）=2f（x）﹣x2﹣kx=，
假设V′（x0）=0，成立，且0＜x1＜x2，则由题意知，
，
①﹣②得，
所以，由（4）得，所以，
即，即⑤
令，则，所以，
所以u（t）在（0，1）上为单调递增函数，所以u（t）＜u（1）=0，
即，即，
这与⑤式相矛盾，所以假设不成立，故V′（x0）≠0．
【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，极值以及最值问题，运算量较大，综合性较强．
20. 选修4—1：几何证明选讲
D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且不与△ABC的顶点重合。

已知AE的长为，AC的长为,AD、AB的长是关于的方程的两个根。

（1）证明：C、B、D、E四点共圆；
（2）若∠A=90°，，且，求C、B、D、E所在圆的半径。

参考答案：
解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此
∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
21. 已知全集U＝R，集合A＝{x|log2(3－x)≤2}，集合B＝{x|≥1}．
(1)求A、B；
(2)求(?U A)∩B.
参考答案：
(1)由已知得log2(3－x)≤log24，
∴解得－1≤x<3，
∴A＝{x|－1≤x<3}．
由≥1，得(x＋2)(x－3)≤0，且x＋2≠0，解得－2<x≤3.
∴B＝{x|－2<x≤3}．
(2)由(1)可得?U A＝{x|x<－1或x≥3}．
故(?U A)∩B＝{x|－2<x<－1或x＝3}．
22. 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，，
．在梯形中，∥，
且，⊥平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若二面角为，求的长．
参考答案：
（Ⅰ）证明：在中,
所以,由勾股定理知所以
．……2分
又因为⊥平面，平面
所以
．………………………4分
又因为所以⊥平面，又平面
所以
．………………………6分
（Ⅱ）解：因为⊥平面，又由（Ⅰ）知，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，
则,,，,
，
. …………………………8分
设平面的法向量为，则所以
令.所以
. ……………………………9分
又平面的法向量
……………………………10分
所以，解得
．……………………11分
所以的长为
．……………………………………12分
略。