函数奇偶性的应用

般借助定义进行证明．
[解]
(1)当x＝y＝0时，有f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0. 令y＝－x，有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数． (2)在(－1,1)上任取x1，x2，令x1>x2，则 f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2) ∵x1>x2，∴x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0. ∴f(x1)－f(x2)<0即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在(－1,1)上单调递减．
答案：<
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ 2 ，试求f(x)的解析式． x＋1
解：当x<0时，－x>0， 2 此时f(x)＝f(－x)＝ ， －x＋1 2 ，x≥0， x＋1 ∴f(x)＝ 2 ，x<0. －x＋1 2 即f(x)＝ . |x|＋1
2
变式训练1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋ ∞)时，f(x)＝x(1＋ 式． 3 x )，求当x∈(－∞，0)时， f(x)的解析
解：设 x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)． 由已知得 f(－x)＝－x(1＋ －x)＝－x(1－ x)． ∵f(x)是 R 上的奇函数， 3 ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－ x)． 即 f(x)＝x(1－ x)， 3 3 3 3
是增函数．故选B.
类型三 函数奇偶性与单调性的综合应用 [例3] 已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，并且对一
切x，y∈(－1,1)恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)；且当x>0时， f(x)<0； (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断并证明该函数的单调性； (3)若f(1－m)＋f(1－m2)>0，求实数m的取值范围． [分析] 与单调性、奇偶性有关的抽象函数问题，一
1 ∴0<x<2
1 ∴原不等式的解集为{x|0<x<2}．
随
知 能
完成清学稿
1．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点 在函数f(x)图象上的是( A．(－3，－2) ) B．(3,2)
)
C．(2，－3) D．(3，－2) 2．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于(
A．－2 B．－1
C．1 D．2 4．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]
上是减函数，则f(－5)________f(3)．(填“>”或“<”)
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ 2 ，试求f(x)的解析式． x＋1
1．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点 在函数f(x)图象上的是( A．(－3，－2) C．(2，－3) ) B．(3,2) D．(3，－2)
解：∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(1－x)＋f(1－3x)<0⇔f(1－x)<－f(1－3x) ⇔f(1－x)<f(3x－1)．
又∵y＝f(x)在(－1,1)上是减函数， －1<1－x<1， ∴f(1－x)<f(3x－1)⇔－1<1－3x<1， 1－x>3x－1， 0<x<2， 0<3x<2， ⇔ 1 x<2， 0<x<2， 0<x<2， 3 ⇔ 1 x< . 2
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0， ＋∞)上是
增函数 ．
思考感悟
1．讨论以下几种常见函数的奇偶性： (1)f(x)＝kx＋b(k≠0)；(2)f(x)＝ax ＋bx＋c； (3)f(x)＝c(c 为常数)．
2
提示：(1)函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在b＝0时为奇函数，在 b≠0时既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若为偶函数，则有b＝0；若 为奇函数，则有a＝c＝0. (3)常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数．特别地，f(x)＝ 0既是奇函数又是偶函数．
[分析]
要比较各函数值的大小，需判断函数在区间
[－5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5] 上的单调性． [解析] 函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且
f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数． 由已知条件及偶函数性质，知函数f(x)在区间[－5,0]上 是增函数．
[答案]
B
选项A中，－3<－1，故f(－3)<f(－1)．
选项B中，0>－1，故f(0)>f(－1)． 同理选项C中f(－1)＝f(1)，选项D中f(－3)>f(－5)．
变式训练2 已知偶函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，则 一定有( ) 答案：B
A．f(－3)>f(π) B．f(－3)<f(π) C．f(－3)≥f(π) D．f(－3)与f(π)的大小关系不确定 解析：偶函数中f(－3)＝f(3)，又3<π，且f(x)在[0,4]上
∴f(－x)＝－f(x)． ∵当x<0时，－x>0， ∴f(x)＝－f(－x)＝－2x ＋3x＋1. 又∵奇函数f(x)在原点的定义，f(0)＝0. 2x2＋3x－1 x>0， ∴f(x)＝0 x＝0， －2x2＋3x＋1 x<0. [点评] 解题时不能漏掉x＝0这一特殊点．
答案：C
4．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6] 上是减函数，则f(－5)________f(3)．(填“>”或“<”)
解析：∵函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(－5)＝f(5)． 又∵函数y＝f(x)在[2,6]上是减函数，且5>3，∴ f(5)<f(3)．∴f(－5)<f(3)．
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(1－m2)＝－f(m2－1)． ∴f(1－m)>f(m2－1)． 又∵f(x)在(－1,1)上是减函数， －1<1－m<1， 2 －1<1－m <1， ∴ 1－m<m2－1.
解得1<m< 2.[点 Nhomakorabea] 义域．
对于(3)，易漏定义域，函数问题都应考虑定
变式训练3 已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)在(－1,1)上 是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.
∴当 x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式为 f(x)＝x(1－ x)．
类型二 [例2]
利用函数奇偶性、单调性比较大小 已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，在区 )
间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则( A．f(－1)<f(－3) C．f(－1)<f(1)
B．f(0)>f(－1) D．f(－3)<f(－5)
2．函数的奇偶性与单调性的区别是什么？
提示：函数奇偶性与单调性的差异：函数的奇偶性是 相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性 不同．从这个意义上来说，函数的单调性是函数的“局 部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数 定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝ f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．
数．
y轴为对称 (2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以
轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于 则这个函数是 ． 偶函数
对称， y轴
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M， 则f(x)在[－b，－a]上是
，且有 . 增函数 最小值－M
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)．又f(－3)＝ 2，则f(3)＝－2，则点(3，－2)在f(x)图象上．
答案：D
2．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( A．－2 C．1 B．－1 D．2
2
)
解析：二次函数y＝(x＋1)(x－a)＝x ＋(1－a)x－a的对
a－1 称轴是直线x＝ ，又函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则 2 其图象关于y轴即直线x＝0对称， a－1 所以 2 ＝0，解得a＝1.
典例导悟
类型一 利用函数奇偶性求函数解析式 [例1]
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)
＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式． [分析]
由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)
计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数．
[解]
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
第2课时
函数奇偶性的应用
1.利用函数的奇偶性求函数的解析式(重点)． 2．函数的单调性与奇偶性的综合应用(难点).
知识复习
1．奇(偶)函数图象的对称性
原点 (1)若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以
为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是 以
原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函